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1、 新高二数学教师讲义1第三章空间向量与立体几何31 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减法【考点同步解读】1理解空间向量概念及其运算性质，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法.2能够结合图形说明空间向量加减法及其运算律. 考点 1：空间向量基本概念及理解例 1:给出下列命题：若空间向量 a， b满足| a| b|，则 a b；若空间向量 m， n， p满足 m n， n p，则 m p；零向量没有方向；若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同其中假命题的个数是()A1 B2 C3 D4正解：模相等的两个向量不一定相等，错；| m| n|，| n| p|，所以| m| p|，又
2、m与 n同向， n与 p同向，从而 m与 p同向，所以 m p，对；零向量方向任意，但并不是没有方向，错；错C正解依据：（1）空间中的单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中对应的概念完全一样（2）两个向量的模相等，只是它们的长度相等，但它们的方向不一定相同.考点 2：空间向量加减法及运算律例 2如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， M、 N分别为AB、 B1C的中点用 、 、 表示向量 ，则AB AD AA1 MN _MN 正解：解析 MN MB BC CN ( )12AB AD 12CB BB1 ( )12AB AD 12 AD AA1 .12AB 12AD 12
3、AA1 正解依据：（1）掌握好向量加、减法的三角形法则是解决这类问题的关键，灵活应用相反向量及两向量的和、差，可使这类题迅速获解，另外需注意零向量的书写要规范（2）利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果考点 3：对数函数的性质 例 4已知点 G是 ABC的重心， O是空间任意一点，若 ，求 的值OA OB OC OG 正解：解连结 CG并延长交 AB于 D，则 D为 AB中点，且 CG2 GD， OA OB OC 新高二数学教师讲义2 OG GA OG GB OG GC 3 OG GA GB GC 3
4、2 OG GD GC 3 3 .OG ( ) GC GC OG 3.正解依据：（1）根据向量加减运算的法则进行化简，注意向量的起点、终点；（2）几何与向量结合及数形结合是常见的数学方法.【易错题纠正案】 （不少于 3道例题）例 1 下列说法正确的是(A)A向量 与 的长度相等BurB将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆C空间向量就是空间中的一条有向线段D不相等的两个空间向量的模必不相等例 2 在空间四边形 ABCD中，2 _ABurCrADuBr答案：0例 3 已知空间四边形 ，连结 ，设 分别是 的中点，化简下D,MG,C列各表达式，并标出化简结果向量：（1） ；rr
5、（2） ；（3） ()ABCurr1()2G正解：解：如图，（1） ；Aur（2） ()DBDrrur；ABMu（3） ()GCGMrrr【高考试题链接】例 1 （2011上海高考理科T17） 设 12345,A是平面上给定的 5个不同点，则使 2345MAururr0成立的点 的个数为（ ）（A）0. （B）1. （C）5. （D）10 .正解：在平面中我们知道“三角形 ABC的重心 G满足： 0ABGCurr”则此题就能很快的答出，点 M即为这 5个点的重心，即点 M只有一个点。【双基夯实训练】一、选择题（答案直接附在题后）1下列说法中正确的是 (B)A若| a| b|，则 a、 b的长度
6、相同，方向相同或相反BCDM GA 新高二数学教师讲义3B若向量 a是向量 b的相反向量，则| a| b|C空间向量的减法满足结合律D在四边形 ABCD中，一定有 AB AD AC 2在平行六面体 ABCD A B C D的棱所在向量中，与向量 模相等的向量有 (AA C)A0 个 B3 个 C7 个 D9 个3在正方体 ABCD A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量 的共有(D)AC1 (1)( )AB BC CC1 (2)( )AA1 A1D1 D1C1 (3)( )AB BB1 B1C1 (4)( ) .AA1 A1B1 B1C1 A1 个 B2 个C3 个 D4 个4已知 G是
7、正方形 ABCD的中心，点 P为正方形 ABCD所在平面外一点，则 (A)PA PB PC PD A4 B3PG PG C2 D.PG PG 5如图所示，空间四边形 OABC中， a， b， c, 点 M在 OA上，且 2 ， NOA OB OC OM MA 为 BC中点，则 等于(B)MN A. a b c12 23 12B a b c23 12 12C. a b c12 12 23D. a b c23 23 126已知正方体 ABCD A B C D ，点 E是 A C的中点，点 F是 AE的三等分点，且AF EF，则 等于(D)12 AF 新高二数学教师讲义4A. B. AA 12AB
8、12AD 12AA 12AB 12AD C. D. 12AA 16AB 16AD 13AA 16AB 16AD 二、填空题（答案直接附在题后）7对于空间中的非零向量 、 、 ，有下列各式： ； ；|AB BC AC AB BC AC AB AC BC | | |；| | | |.其中一定不成立的是_AB BC AC AB AC BC 8设 A， B， C， D为空间任意四点，则 _.AC BC BD 答案 AD 9已知点 M是 ABC的重心，则 _MA MB MC 答案010在正方体 ABCDA1B1C1D1中，向量表达式 的化简结果为_AB CD BC DA 答案2 AC 三、解答题（答案直
9、接附在题后）11如图，在长、宽、高分别为 AB3， AD2， AA11 的长方体 ABCD A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，(1)单位向量共有多少个？(2)试写出模为 的所有向量；5(3)试写出与 相等的所有向量；AB (4)试写出 的相反向量AA1 解(1)由于长方体的高为 1，所以长方体 4条高所对应的向量 、 、 、 、 、AA1 A1A BB1 B1B CC1 、 、 共 8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为 1，故单位向量共 8C1C DD1 D1D 个(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为 ，故模为 的向量有 、5 5 AD1 、 、 、 、 、
10、、 ，共 8个D1A A1D DA1 BC1 C1B B1C CB1 (3)与向量 相等的所有向量(除它自身之外)共有 、 及 ，共 3个AB A1B1 DC D1C1 (4)向量 的相反向量为 、 、 、 ，共 4个AA1 A1A B1B C1C D1D 新高二数学教师讲义512在四面体 ABCD中， E、 F分别为棱 AC、 BD的中点，求证： 4 .AB CB AD CD EF 证明左( )( )AB AD CB CD 2 2 2( )4 右得证AF CF AF CF EF 13 A是 BCD所在平面外一点， M， N分别是 ABC和 ACD的重心，若 BD4 试求 MN的长解析连 AM
11、并延长与 BC相交于 E，又连 AN并延长与 CD相交于 F，则 E、 F分别是 BC和 CD之中点，由 MN AN AM 23AF 23AE ( )23AF AE 23EF ( ) ( )23CF CE 2312CD 12CB ( )13CD CB 13BD | | | | .MN 13BD 4314如图所示，在四面体 OABC中， a， b， c， DOA OB OC 为 BC的中点， E为 AD的中点，试用 a， b， c表示向量 .OE 解析 E为 AD的中点，根据向量的平行四边形法则得 ( )，OE 12OA OD 同理，可得 ( )，OD 12OB OC OE 12OA 14OB
12、14OC a b c.12 14 1415如图所示，已知矩形 ABCD， P为平面 ABCD外一点，且PA平面 ABCD， M、 N分别为 PC、 PD上的点，且 PM MC21 ， N为 PD中点，求满足 x y z 的实数 x、 y、 z的值MN AB AD AP 解析在 PD上取一点 F，使 PF FD21，连结 MF，则 MN MF FN 新高二数学教师讲义6而 FN DN DF 12DP 13DP ( )， .16DP 16AP AD MF 23CD 23BA 23AB ，MN 23AB 16AD 16AP x y z .23 16 16第三章空间向量与立体几何31 空间向量及其运算3.1.2 空间向量的数乘运算【考点同步解读】1理解空间向量数乘运算的含义及运算律，并能进行向量数乘运算.2掌握向量的共线与共面定理,能够运用定理证明线线,线面,面面之间的平行关系. 考点 1：考点 2：空间向量共线,共面定理例 1 有下列命题：若 p xa yb，则 p与 a， b共面；若 p与 a， b共面，则 p xa
