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1、12013 年福建省南平一中自主招生数学试题及答案（满分：100 分 考试时间：90 分钟）一、选择题（每小题 3 分，共 10 题，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知 ,则 ( )6,5xy2yA. 1 B. 13 C. 17 D. 252已知圆锥的底面半径为 9，母线长为 30，则圆锥的侧面积为（ ）A cm2 B cm2 C cm2 D cm270304505403.代数式 的值等于 7，则 的值为（ ）543xxA. 7 B. 12 C. 1 D. -14 、 都是正数,并且成反比，若 增加了 ，设 减少的百分数为 ，则 的值为xy pyq（ ）A. B. C. D.
2、 10%p10p1010p5下列命题：若 ，则 ；0cba42acb若 ，则一元二次方程 有两个不相等的实数根；02cbx若 ，则一元二次方程 有两个不相等的实数根；c32若 ， 则 二 次 函 数 的 图 象 与 坐 标 轴 的 公 共 点 的 个 数 是 2 或 3.04abcxay2正确命题的个数有（ ）A.1 B.2 C.3 D.46一个几何体是由一些大小相同的小正方块摆成的，其俯视图与主视图如图所示，则组成这个几何体的小正方块最多有（ ） A4个 B5个 C6个 D7个7如图，ACB60 ，半径为 2 的0 切 BC 于点 C，若将O 在 CB上向右滚动，则当滚动到O 与 CA 也相
3、切时，圆心 O 移动的水平距离为（ ） A B C D42438父亲每天都爱带报纸去上班，父亲离开家的时间记为 ，送报人来的时间记为 ，若xy， ，则父亲能拿不到报纸上班的概率为（ ）0:83:7x0:8:7yA. B. C. D. 413121439在平面直角坐标系中，已知点 （ ，0） ，B （2，0） ，若点 C 在一次函数 A4 21xy的图象上，且ABC 为直角三角形，则满足条件的点 C 有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个10如图，AB 为半O 的直径， C 为半圆弧的三等分点，过 B，C 两点的 半O 的切线交于点02cbxaP，若 AB 的长是 2a，则 PA 的长是
4、（ ）A. B. C. D.257a23二、填空题（每小题 4 分，共 5 小题）11分解因式： 2x12从一副扑克牌中取出的两组牌，一组为黑桃 1、2、3，另一组为方块 1、2、3，分别随机地从这两组牌中各摸出一张，那么摸出的两张牌的牌面数字之和是奇数的概率是 13对于实数 定义一种运算“*”为： ，则关于 x 的方程ba、 aba)( 0)(xm的解是_ )1(mA BOPC（第 10 题图）AB CDEP俯视图 主视图（第6题图）图 7图 图BAco214如图，在菱形 ABCD 中，AEBC，E 为垂足，若 cosB ，EC2，54P 是 AB 边上的一个动点 ,则线段 PE 的长度的最
5、小值是_15如图，已知点 的坐标为（ 3，0） ，点 分别是某函数图象与 轴、 轴的交点，点FAB， xy是此图象上的一动点设点 的横坐标为 ， 的长为 ，且PxPFd与 之间满足关系： （ ） ，则结论：dx5d5 ； ； ； 中，正确结论的序号2AFBOA3B是 三、解答题（6 小题，满分 50 分）16 （本题满分 5 分）计算： + 02)1(6tan132x45cos17 （本题满分 5 分）先化简，再求值其中213,4xx2118 （本题满分 10 分）某大型超市元旦假期举行促销活动，规定一次购物不超过 100 元的不给优惠；超过 100 元而不超过 300 元时，按该次购物全额
6、9 折优惠；超过 300 元的其中 300 元部分仍按 9 折优惠，超过部分按 8 折优惠.小美两次购物分别用了 94.5 元和 282.8 元，现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品，则小丽应该付款多少元？19 （本题满分 15 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 3 分，第（3）小题 6 分）在半径为 4 的O 中，点 C 是以 AB 为直径的半圆的中点，OD AC ，垂足为 D，点 E 是射线 AB 上的任意一点，DF /AB，DF 与 CE 相交于点 F，设 EF= ，DF = xy（1） 如图 1，当点 E 在射线 OB 上时，求 关于 的函数解析式，并写出函数定义域；y（
7、2） 如图 2，当点 F 在O 上时，求线段 DF 的长；（3） 如果以点 E 为圆心、EF 为半径的圆与O 相切，求线段 DF 的长20. （本题满分 15 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 5 分，第（3）小题 6 分）如图，Rt ABC 中，C=90 ，BC=6，AC =8点 P，Q 都是斜边 AB 上的动点，点 P 从B 向 A 运动（不与点 B 重合） ，点 Q 从 A 向 B 运动，BP=AQ 点 D，E 分别是点 A，B 以Q，P 为对称中心的对称点， HQAB 于 Q，交 AC 于点 H当点 E 到达顶点 A 时，P ，Q同时停止运动设 BP 的长为 x，HDE 的面积为
8、 y（1）求证：DHQABC；（2）求 y 关于 x 的函数解析式并求 y 的最大值；（3）当 x 为何值时，HDE 为等腰三角形？xyO AFB P（第 15 题图）A B EFCDO（第 19 题图 1）A B EFCDO（第 19 题图 2）（第 20 题）DEQBACPH32014年福建省南平一中自主招生数学试题参考答案一、选择题（每小题 3 分，共 10 题，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B A D C B C C A D B二、填空题（每小题 4 分，共 5 小题）11 ； 12 ； 13 ； 2)(x91,022
9、1mx14 ； 15.53三、解答题（共 5 小题，共 50 分）16(本题满分 5 分)解：原式= 3 分231(3=3+ 5 分217.解：原式= 21132xxx= 221xxg= 323= 4 分1x把 代入上式得：2x原式= 5 分231118 （本题满分为 10 分） 解：因为 1000.99094.5100，3000.9270282.8，所以有两种情况：设小美第二次购物的原价为 x 元，则（x 300）0.83000.9282.8 解得，x 3164 分情况 1：小美第一次购物没有优惠，第二次购物原价超过 300 元则小丽应付（31694.5300）0.83000.9358.4（
10、元）7 分情况 2：小美第一次购物原价超过 100 元，第二次购物原价超过 300 元；则第一次购物原价为：94.50.9105（元）所以小丽应付（316105300）0.83000.9362.8（元） 10 分19 （本题满分 15 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 3 分，第（3）小题 6 分）解：（1）连结 OC，AC 是O 的弦，ODAC ，OD= AD 1 分DF/AB，CF= EF，DF= = 2 分AE21)(O点 C 是以 AB 为直径的半圆的中点，CO AB 3 分EF= ，AO =CO=4,CE=2 ,OE= .4 分xx 216422xxC . 定义域为 6 分42
11、)4(212y （2）当点 F 在O 上时，联结 OC、OF ，EF= ，42OFE7 分3482EDF= =2+ =2+2 9 分)(1A423（3）当E 与O 外切于点 B 时，BE=FE ，22COE ，,4)()22x038x ， ） 10 分1372舍 去(74DF= 11 分37214)8(21)(21BEA当E 与O 内切于点 B 时， BE=FE ，22COE ，,4)()22x038x ， ） 12 分1x372舍 去(7DF= 13 分37214)38(1)(2BEA当E 与O 内切于点 A 时， AE=FE ，22COE ，,4)()22x038x ， ） 14 分1x3
12、72舍 去(7DF= 15 分2AE20.本题满分 15 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 5 分，第（3）小题 6 分）（1）A、D 关于点 Q 成中心对称，HQAB， CH=90，HD= HA， ，DHQABC 4 分（2）如图 1，当 5.20x时， ED= 4， QH= xAQ3tan，此时 y41)(2当 45x时，最大值 375y 6 分如图 2，当 5.x时，ED= 104x， QH= xAQ43tan，此时 y12)( 当 5x时，最大值 75y8 分y 与 x 之间的函数解析式为 ).5.2(413,02xxy 的最大值是 475 9 分（3）如图 1，当 .20x时，若 DE=DH，DH=AH= xAQ45cos， DE= x410， x4= 5， 21显然 ED=EH，HD=HE 不可能； 11 分如图 2，当 .时，若 DE=DH， 104x= 5， 140x； 12 分若 HD=HE，此时点 D，E 分别与点 B，A 重合， 5x； 13 分若 ED=EH，则EDHHDA， AHE， x24510， 103 14 分当 x 的值为 3,524时，HDE 是等腰三角形. 15 分DHQEBACP（图 1）HQDEPBAC（图 2）
