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1、,一. 非齐次线性方程组的消元解法,ESC,6.1 线性方程组的消元解法,二. 线性方程组解的判定,6.1 线性方程组的消元解法,一. 非齐次线性方程组的消元解法,ESC,6.1 线性方程组的消元解法,二. 线性方程组解的判定,6.1 线性方程组的消元解法,ESC,一. 非齐次线性方程组的消元解法,设含有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组,若常数项 , , , 不全为零,则称此方程组为非齐次线性方程组.,非齐次线 性方程组,ESC,一. 非齐次线性方程组的消元解法,设含有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组,若常数项 , , , 全为零,即,则称此方程组为齐次线性方程组.,齐次线性 方程
2、组,ESC,一. 非齐次线性方程组的消元解法,记,系数矩阵,未知量矩阵,常数项矩阵,A,X,b,若 bO , 则非齐次线性方程组用矩阵可表示为 AX=b .,若 bO, 则齐次线性方程组用矩阵可表示为AX=O.,ESC,增广矩阵,A,b,一. 非齐次线性方程组的消元解法,ESC,一. 非齐次线性方程组的消元解法,对于非齐次线性方程组AX=b ,bO. 和,齐次线性方程组AX=O.,要解决如下三个问题,(2) 若有解, 是否是唯一解?,(3) 如何求方程组的解?,ESC,一. 非齐次线性方程组的消元解法,案 例,用消元法解下列非齐次线性方程组:,消元法的基本思想是把方程组中的部分方程变成未知量较
3、少,从而求出解.,也就是通过对方程组进行同解变形来实现的.,项进行变换.,分析,的方程,而对方程组进行同解变形实际上就是对方程组的系数和常数,下面在用消元法解方程组时,对照观察线性方程组的增广矩阵.,ESC,解案例(方程组与增广矩阵对照演示),方程组,增广矩阵,方程乘上数(-2)、(-1)加到方程和方程上, 得,解案例(方程组与增广矩阵对照演示),方程组,增广矩阵,把方程乘上 ,得,ESC,把上述矩阵的第3行乘上 ,得,解案例(方程组与增广矩阵对照演示),ESC,方程组,增广矩阵,交换方程和方程的位置,得,交换上述矩阵的第2行和第3行,得,解案例(方程组与增广矩阵对照演示),ESC,方程组,增
4、广矩阵,为消去方程未知量,将方程乘上数3加到方程上,得,将上述矩阵的第2行乘上数3加到第3行上,得,阶梯形 方程组,阶梯形矩阵,解案例(方程组与增广矩阵对照演示),ESC,方程组,增广矩阵,为求方程组的解,将方程乘上 ,得,把上述矩阵的第3行乘上 , 得,解案例(方程组与增广矩阵对照演示),ESC,方程组,增广矩阵,将上述矩阵第3行分别乘上数2、(-1),加到第2行和第1行上,得,将 代入前两个方程,即将方程分别乘上数2、(-1)加到方程和方程上,得,解案例(方程组与增广矩阵对照演示),ESC,方程组,增广矩阵,(完),将 代入前一个方程,即将方程乘上数(-3)加到方程上,得,将上述矩阵第2行
5、乘上数(-3)加到第1行上,得,原方程 组的解,简化阶梯形矩阵,唯一解,用消元法求解线性方程组过程对照,ESC,方程组,增广矩阵,ESC,一. 非齐次线性方程组的消元解法,ESC,一. 非齐次线性方程组的消元解法,解线性方程组:,例1,(1)将线性方程组的增广,解,ESC,一. 非齐次线性方程组的消元解法,例1,(1)将线性方程组的增广,续解,0=0.,ESC,一. 非齐次线性方程组的消元解法,例1,续解,简化阶梯 形矩阵,ESC,一. 非齐次线性方程组的消元解法,例1,续解,该方程组可写成,ESC,一. 非齐次线性方程组的消元解法,(完),例1,续解,该方程组可写成,若取,则原方程组的解是,
6、其中,为任意常数.,原方程组有 无穷多组解,线性方程组的一般解,ESC,一. 非齐次线性方程组的消元解法,解线性方程组:,例2,解,并对其施行初等行变换,化为阶梯形矩阵.,ESC,一. 非齐次线性方程组的消元解法,(完),例2,续解,并对其施行初等行,变换,化为阶梯形矩阵.,矛盾方程,原方程组 无解,ESC,一. 非齐次线性方程组的消元解法,案例中:,A,原方程组 有唯一解,ESC,一. 非齐次线性方程组的消元解法,A,例1中:,原方程组有 无穷多组解,A,例2中:,r(A)=2r( )=3,原方程组 无解,ESC,二. 线性方程组解的判定,设含有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组,非齐次
7、线 性方程组,或用矩阵表示,AX=b .,有解,这时,自由未知量的个数为n-r.,(1)当r=n(未知量的个数)时,有唯一解;,(2)当rn时,有无穷多解,ESC,方程组:,例3,解,并对其施行初等,写出方程组,行变换.,解线性,二. 线性方程组解的判定,ESC,(未完待续),例3,续解,并对其施行初等,写出方程组,行变换.,二. 线性方程组解的判定,ESC,例3,续解,并对其施行初等,写出方程组,行变换.,原方程组有 无穷多组解,自由未知量的个数为53=2.,二. 线性方程组解的判定,ESC,例3,续解,并对其施行初等,写出方程组,行变换.,二. 线性方程组解的判定,ESC,(完),例3,续
8、解,若取,则方程组的一般解为,其中,为任意常数.,二. 线性方程组解的判定,原方程组有无穷多 组解,ESC,方程组:,例4,解 (1),已知线性,(2)当方程组有解时,求出它,为什么?,的一般解.,二. 线性方程组解的判定,ESC,例4,二. 线性方程组解的判定,续解 (1),方程组有解.,当,此时,(2),简化阶梯形矩阵,ESC,(完),例4,二. 线性方程组解的判定,续解 (2),所以原线性方程组有无穷多解,且含1个自由未知量.,因为,若取,则方程组的一般解为:,方程组有无穷多 组解,ESC,二. 线性方程组解的判定,设含有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组,齐次线 性方程组,用矩阵表
9、示,AX=O .,一定有零解,这时,自由未知量的个数为n-r(A).,(1)当r(A)=n(未知量的个数)时,仅有零解;,(2)当r(A)n时,有非零解,由此可知,当方程的个数m小于未知量个数n 时,方程组一定有非零.,ESC,r(A)n,r(A)=n,二. 线性方程组解的判定,ESC,方程组:,例5,解,解线性,二. 线性方程组解的判定,所以方程组一定有非零解.,因为方程组中方程的个数3,小于未知量的个数4,A,ESC,(未完待续),例5,续解,二. 线性方程组解的判定,A,简化阶梯形矩阵,ESC,例5,续解,二. 线性方程组解的判定,A,由上述简化阶梯形矩阵知,简化阶梯形矩阵,若取,则方程
10、组的一般解为,其中,为任意常数.,原方程组有无穷多 组解,ESC,内容小结,一、齐次线性方程组与非齐次线性方程组,设含有个未知量、有个方程式组成的方程组,（6.1.1),ESC,内容小结,其中系数，常数 都是已知数，是未知量(也称为未知数)当右端常数项， ， ，不全为0时，称方程组（6.1.1)为非齐次线性方程组；当 时,（6.1.2),称方程组（6.1.2)为齐次线性方程组；,ESC,内容小结,二、消元法,(高斯消元法),用消元法解线性方程组（或）的具体步骤为：,首先写出增广矩阵 （或 ）(或系 数矩阵 )，并用初等行变换将其化成阶梯形矩阵；然后判断方程组是否有解；在有解的情况下，继续用初等行变换将阶梯形矩阵化成行简化阶梯形矩阵，再写出方程组的一般解,ESC,内容小结,三、线性方程组解的判定,设含有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组,ESC,内容小结,有解,(1)当r=n(未知量的个数)时,有唯一解;,(2)当rn时,有无穷多解,这时,自由未知量的个数为n-r.,ESC,内容小结,设含有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组,一定有零解,ESC,内容小结,
