影响线及其应用

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1、第十一章 影响线及其应用本章主要内容影响线的概念，用静力法和机动法作静定梁的影响线，多跨静定梁的影响线，间接荷载作用下的影响线，利用影响线求量值， 连续 梁影响线形状的确定和最不利活荷载位置的确定。简支梁的绝对最大弯矩和包络图。目的要求1. 掌握影响线的概念2. 熟练掌握用静力法和机动法绘制静定梁的影响线。3. 掌握用影响线求量值和最不利荷载位置的确定。4. 掌握连续梁影响线形状的确定和最不利活荷载位置的确定。11-1 概 述1移动荷载作用下结构计算特点固定荷载、移动荷载。在移动荷载作用下，结构的反力、内力及位移都将随荷载位置的移动而变化，它们都是荷载位置的函数。结构设计中必须求出各量值(如某

2、一反力、某一截面内力或某点位移)的最大值。因此，寻求产生与该量值最大值对应的荷载位置，即最不利荷载位置，并进而求出该量值的最大值，就是移动荷载作用下结构计算中必须解决的问题。2影响线的概念工程结构中所遇到的荷载通常都是由一系列间距不变的竖向荷载组成的。由于其类型很多，不可能对它们逐一加以研究。为了使问题简化，可从各类移动荷载中抽象出一个共同具有的最基本、最简单的单位集中荷载 F=1，首先研究这个单位集中荷载 F=1 在结构上移动时对某一量值的影响，然后再利用叠加原理确定各类移动荷载对该量值的影响。为了更直观地 图 11-1 图 11-2描述上述问题，可把某量值随荷载 F=1 的位置移动而变化的

3、规律 (即函数关系)用图形表示出来，这种图形称为该量值的影响线。由此可得影响线的定义如下：当一个指向不变的单位集中荷载(通常其方向是竖直向下的)沿结构移动时，表示某一指定量值变化规律的图形，称为该量值的影响线。若某量值的影响线绘出后，即可借助于叠加原理及函数极值的概念，将该量值在实际移动荷载作用下的最大值求出。下面首先讨论影响线的绘制。11-2 用静力法作单跨静定梁的影响线绘制影响线有两种方法，即静力法和机动法。静力法是以移动荷载的作用位置 x 为变量，然后根据平衡条件求出所求量值与荷载位置 x 之间的函数关系式，即影响线方程。再由方程作出图形即为影响线。1简支梁的影响线（1）支座反力影响线b

4、A(a)=1B2340FBFA要绘制图 11-3(a)所示反力 FA 的影响线，可设 A 为坐标原点，荷载 F=1 距A 支座的距离为 x，并假设反力方向以向上为正，由平衡方程 M B=0，得 1()0)AFlxll上式称为反力 FA 的影响线方程，它是 x 的一次式，即 FA 的影响线是一段直线。为此，可定出以下两点： 当 x=0 时， F A=1 当 x=l 时， FA=0 图 11-3即可绘出反力 FA 的影响线，如图 11-3(b)所示。绘影响线图形时，通常规定纵距为正时画在基线的上方，反之画在下方。并要求在图中注明正、负号。根据影响线的定义，F A 影响线中的任一纵距 yk 即代表当

5、荷载 F=1 移动至梁上 K 处时反力 FA 的大小。绘制 FB 的影响线时，利用平衡方程 M A=0，可得K1+1ylxB(a)b(c)F=FA影 响 线FB影 响 线 10()BFlxll它也是 x 的一次式，故 FB 的影响线也是一条直线，如图 11-3(c)所示。由上可知反力影响线的特点：跨度之间为一直线，最大纵距在该支座之下，其值为 1；最小纵距在另一支座之下，其值为 0。作影响线时，由于单位荷载 F=1 为量纲是一的量，因此，反力影响线的纵距亦是量纲是一的量。以后利用影响线研究实际荷载对某一量值的影响线时，应乘上荷载的相应单位。 （2）弯矩影响线 设要绘制任一截面 C(如图 11-

6、4(a)所示)的弯矩影响线。仍以 A 点为坐标原点，荷载 F=1 距 A 点的距离为 x。当 F=1 在截面 C 以左的梁段 AC 上移动时(0xa)，为计算简便起见，可取 CB 段为隔离体，并规定使梁的下侧纤维受拉的弯矩为正，由平衡方程 M C=0，得0()CBMFbxxal可知 MC 影响线在 AC 之间为一直线。并且 当 x=0 时， M C=0当 x=a 时， M C= lab据此，可绘出 F=1 在 AC 之间移动时 MC 的影响线，如(c)b() FSC影 响 线1M影 响 线blFACxFB=1ab 左 直 线 +右 直 线右 直 线左 直 线 lala1图 11-4(b)所示。

7、 图 11-4 当荷载 F=1 在截面 C 以右移动时，为计算简便，取 AC 段为隔离体，由M C=0，得0()CAMFalxaxl上式表明，M C 的影响线在截面 C 以右部分也是一直线。 当 x=a 时， M C= lab当 x=l 时， M C=0即可绘出当 F=1 在截面 C 以右移动时 MC 的影响线。 MC 影响线如图 11-4(b)所示。M C 的影响线由两段直线组成，呈一三角形，两直线的交点即三角形的顶点就在截面 C 的下方，其纵距为 lab。通常称截面 C 以左的直线为左直线，截面 C以右的直线为右直线。由上述弯矩影响线方程可知，左直线可由反力 FB 的影响线乘以常数 b 所

8、取AC 段而得到；而右直线可由反力 FA 的影响线乘以常数 a 并取 CB 段而得到。这种利用已知量值的影响线来作其他未知量值影响线的方法，常会带来很大的方便，以后常用到。弯矩影响线的纵距的量纲是长度的量纲。（3）剪力影响线设要绘制截面 C(如图 11-4(a)所示)的剪力影响线。当 F=1 在 AC 段移动时(0xa)，可取 CB 部分为隔离体，由 F Y=0，得 FSC+FB=0FSC=-FB由此可知，在 AC 段内，F SC 的影响线与反力 FB 的影响线相同，但正负号相反。因此，可先把 FB 影响线画在基线下面，再取其中的 AC 部分。C 点的纵距由比例关系可知为 al。该段称为 FS

9、C 影响线的左直线，如图 11-4(c)所示。 当F=1 在 CB 段移动时(a0 荷载稍向右移： FRitani0 (11-5)若只讨论 FRitani0 的情况，可得如下结论：当荷载组向左或向右移动微小距离时，F Ritani 必须变号，S 才产生极值。下面讨论在什么情况下 FRitani 才有可能变号。由于 tani 是影响线中各段直线的斜率，是常数，并不随荷载位置而改变，因此，要使 FRitani 改变符号，只有各段内的合力 FRi 改变数值才有可能。而要使 FRi 改变数值，只有当某一个集中荷载正好作用在影响线的某一顶点(转折点)处时，才有可能。当然，并不是每个集中荷载位于影响线顶点

10、时都能使 FRitani 变号。我们把能使FRitani 变号的荷载，亦即使 S 产生极值的荷载叫临界荷载。此时相应的荷载位置称为临界位置。这样，式(11-5)及式(11-6) 称为临界位置的判别式。一般情况下，临界位置可能不止一个，因此 S 的极值也不止一个，这时需要将各个 S 的极值分别求出，再从中找出最大(或最小)的 S 值。至于哪一个荷载是临界荷载，则需要试算，看将该荷载置于影响线某一顶点处是否能满足判别式。为了减少试算次数，可从以下两点估计最不利荷载位置：(1) 将行列荷载中数值较大，且较密集的部分置于影响线的最大纵距附近。(2) 位于同符号影响线范围内的荷载应尽可能的多。（2）确定

11、最不利荷载位置的步骤由以上分析可知，确定最不利荷载位置的一般步骤如下：1) 从荷载中选定一个集中力 FRi，使它位于影响线的一个顶点上。2) 令荷载分别向左、右移动(即当 FRi 在该顶点稍左或稍右)时，分别求FRitani 的数值，看其是否变号(或由零变为非零，由非零变为零)。若变号，则此荷载位置为临界位置。3) 对每一个临界位置求出 S 的一个极值，再找出最大值即为 Smax，找出最小值即为 Smin。与产生该最大值及最小值所对应的荷载位置，即为最不利荷载位置。例 11-2 试求图 11-26(a)所示简支梁在中活载作用下截面 C的最大弯矩。解： 首先作出 MC 影响线如图 11-26(b

12、)所示。由图求得各段斜率为 tan1=5/8,tan2=1/8,tan3=-3/8其次，由式(11-5)通过试算确定临界位置。 1.先考虑列车从右向左开行时的情况。(1) 将轮 4 置于影响线顶点 E 处试算，如图 11-26(c)所示。由判别式(11-5)，有图 11-26荷载稍左移：F Ritani=2205/8+(3220)1/6-(220+925)3/80 荷载稍右移： FRitani=2205/8+(2220)1/6-(2220+925)3/80F Ritani 未变号，说明轮 4 位于 E 点不是临界位置。应将荷载向左移到下一位置试算。(e)(b)(c)d(a)6m1m2345x.

13、615x20kN439/m5.Mc影 响 线. BADE424IIIC (2) 将轮 2 置于 D 点试算，如图 11-26(d)所示。有荷载左移：F Ritani=(440)5/8+(440)1/6-(220+926)3/80荷载右移：F Ritani=(220)5/8+(660)1/6-(220+926)3/80FRitani 变号，可知轮 2 在 D 点为一临界位置。在算出各荷载对应的影响线纵距后(同一段直线上的荷载可用合力 F 代替)，则此位置产生的 MC 值为 MC(1)=Fiyi+qA=2201.5625+6602.6875+2202.8125+921/262.25)=3357.3

14、kNm(3) 经过继续试算可知，列车由右向左开行时只有上述一个临界位置。2.再考虑列车从左向右开行时的情况。(1) 先将轮 4 置于影响线顶点 E 处试算，如图 11-26(e)所示，有荷载左移： FRitani=(924)5/8+(921+440)1/6-(660)3/80荷载右移： FRitani=(924)5/8+(921+220)1/6-(880)3/80故知这也是一个临界位置。相应的 MC 值为 MC(2)=Fiyi+qA=92(1/242.5)+921/2(2.625+2.5)1+2202.8125+2203+6601.875=3212kNm(2) 经继续试算表明，列车从左向右开行也只有上述一个临界位置。 3.比较上面求得的 MC 的两个极值可知，图 11-26(d)所示荷载位置为最不利荷载位置。截面 C 的最大弯矩为 MC(max)=MC(1)=3357.3kNm（3）三角形影响线时临界位置的判定对于常遇到的三角形影响线，临界位置的判别式可用下面更简单的形式表示。 如图 11-27 所示，设 S 影响线为一三角形。并设 Fcr 为临界荷载，分别用FRa、F Rb 表示图 11-27 图 11-28Fcr 左方、右方的荷载的合力