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1、成才之路 数学 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 北师大版 选修 2导数应用 第三章 第 2课时 函数的极值 第三章 1 函数的单调性与极值 课堂典例探究 2 课 时 作 业 4 课前自主预习 1 课前自主预习 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 2 会用导数求有关函数的极值 本节重点： 利用导数的知识求函数的极值 本节难点： 函数的极值与导数的关系 . 在包含 a， b)内 ， 函数 y f(x)在任何一点的函数值都不大于 称点 yf(x)的 _， 其函数值 f(函数的 _ 图 1 图 2 极大值点 极大值 如图 2所示 ， 在包含 a， b)内 ， 函数 y f(x)在任何一点的函数
2、值都不小于 称点 yf(x)的 _其函数值 f(函数的 _ _统称为极值 ， 极大值点与极小值点统称为极值点 极小值点， 极小值 极大值与极小值 2 如果函数 y f(x)在区间 (a， 是 _的 ， 在区间(b)上是 _的 ， 则 f(极大值 如果函数 y f(x)在区间 (a， 是 _的 ， 在区间 (b)上是 _的 ， 则 f(极小值 利用导数与函数单调性的关系 ， 我们可以把极大值的问题通过下表表示出来 . 增加 减少 减少 增加 x (a， b) f (x) 0 y f(x) 增加 极大值 减少 极小值的问题通过下表表示出来 . x (a， b) f (x) 0 y f(x) 减少
3、极小值 增加 一般情况下 ， 我们可以通过如下步骤求出函数 y f(x)的极值点： (1)求出导数 f(x) (2)解方程 _. f(x) 0 (3)对于方程 _的每一个解 分析 f(x)在即 f(x)的单调性 )， 确定极值点： 若 f(x)在 _， 则 若 f(x)在 _， 则 若 f(x)在 _， 则 f(x) 0 左、右两侧 “左正右负” “左负右正” 相同 正确理解极值的定义 (1)如图所示 ， 不难得出：曲线在极值点处切线的斜率为0， 曲线在极大值点左侧切线的斜率为正 ， 右侧为负 ， 曲线在极小值点左侧切线的斜率为负 ， 右侧为正 (2)函数的极值是一个局部性的概念 ， 是仅对某
4、一点的左右两侧附近的点而言的 (3)极值点是函数定义域内的点 ， 而函数定义域的端点绝不是函数的极值点 (4)若 f(x)在 a， b内有极值 ， 那么 f(x)在 a， b内绝不是单调函数 ， 即在给定区间上的单调函数没有极值 (5)极大值与极小值没有必然的大小关系 一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值 ， 在某一点的极小值可能大于另一点的极大值 即极小值不一定比极大值小 ， 极大值也不一定比极小值大 (6)若函数 f(x)在 a， b上有极值 ， 它的极值点的分布是有规律的 (如下图所示 )， 相邻两个极大值点之间必有一个极小值点 ， 同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点 一
5、般地 ，当函数 f(x)在 a， b上连续且有有限个极值点时 ， 函数 f(x)在 a， b内的极大值点和极小值点是交替出现的 正确的是 ( ) A 导数为零的点一定是极值点 B 如果在 f(x)0， 右侧 f(x)0， 右侧 f(x)0， 那么 f(极大值 答案 B 解析 导数为零的点不一定是极值点 ， “ 左正右负 ” 有极大值 ， “ 左负右正 ” 有极小值 故 A， C， 2 函数 f(x)的定义域为 R， 导函数 f(x)的图象如图所示 ， 则函数 f(x)( ) A 无极大值点 ， 有四个极小值点 B 有三个极大值点 ， 两个极小值点 C 有两个极大值点 ， 两个极小值点 D 有四
6、个极大值点 ， 无极小值点 答案 C 解析 f(x)的图象有 4个零点 ， 且全为变号零点 ， 所以 f(x)有 4个极值点 ， 且 f(x)的函数值由正变负为极大值点 ， 由负变正为极小值点 ， 故有 2个极大值点 ， 2个极小值点 ， 故选 C 3 函数 y 1 3x ) A 极小值 1， 极大值 1 B 极小值 2， 极大值 3 C 极小值 2， 极大值 2 D 极小值 1， 极大值 3 答案 D 解析 由 y 1 3x 得 y 33.令 y 0， 得 33 0， x 1. 当 x 1时 ， 有极大值 ， 为 1 3 1 3， 当 x 1时 ， 有极小值 ， 为 1 3 1 1. 4 函
7、数 f(x) 37的极大值是 _ 答案 7 解析 f(x) 36x， 由 f(x) 0， 得 x 0或 x 2. 在 x0附近的左侧 f(x)0， 右侧 f(x)0；当x (1,2)时 ， f(x)0， 所以 f(x)有两个极值点 ， 为 1和 2， 且当 x 2时函数取得极小值 ， 当 x 1时函数取得极大值 故只有 说法不正确 利用导数求函数的极值 求函数 f ( x ) ln 极值 解析 函数 f ( x ) ln 0 ， ) ， 由导数公 式表和求导法则得， f ( x ) 1 ln 解方程 f ( x ) 0 ，得 x e. 当 x 变化时， f ( x ) 与 f ( x ) 的变
8、化情况如下表： x (0 ， e) e (e ， ) f ( x ) 0 f ( x ) 极大值 故当 x e 时函数取得极大值，且极大值为 f (e) 1e. 点评 讨论函数的性质要保持定义域优先的原则 ， 如本题若忽视了定义域 ， 则列表时易错将区间 (0， e)写为 ( ，e) 求极值的具体步骤：第一 ， 求导数 f(x)；第二 ， 令 f(x)0， 求方程的根；第三 ， 列表 ， 检查 f(x)在方程根左右的值的符号 ， 如果左正右负 ， 那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正 ， 那么 f(x)在这个根处取得极小值 ， 如果左右都是正 ，或者左右都是负 ， 那么 f(x)在
9、这个根处无极值 求函数 y 2 x 8x 的极值，并结合单调性、极值作出该函数的图像 分析 利用函数求极值的步骤： (1 ) 先求函数的定义域；(2) 求导数 f ( x ) ； (3) 求方程 f ( x ) 0 的根； (4) 检查 f ( x ) 在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么 f ( x ) 在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么 f ( x ) 在这个根处取得极小值 解析 函数的定义域为 x | x R ，且 x 0 y 2 8令 y 0 ，得 x 2. 当 x 变化时， y 、 y 的变化情况如下表： x ( ， 2) 2 ( 2,0) 0 (0,2) 2 (2
10、， ) y 0 0 y 8 8 因此当 x 2 时， y 取得极大值 8 ； 当 x 2 时， y 取得极小值 8 ，由表易知 y 2 x 8x 的草图如图所示 点评 (1) 列表时应将定义域内的间断点 ( 如 x 0) 考虑进去； (2) 极大值不一定比极小值大，这是因为极值是相对某一区间讨论的； (3) 借助函数的性质 ( 如奇偶性、单调性、极值、周期等 ) 研究函数图像是重要 手段 函数与其导函数图像间的关系问题 如图是函数 y f ( x ) 的导函数 y f ( x ) 的图象，对此图象，有如下结论： 在区间 ( 2,1) 内 f ( x ) 是增函数； 在区间 (1,3) 内 f
11、( x ) 是减函数； x 2 时， f ( x ) 取到极大值； 在 x 3 时， f ( x ) 取到极小值 其中正确的是 _( 将你认为正确的序号填在横线上 ) 分析 给出了 y f (x)的图象 ， 应观察图象找出使 f (x)0与 f (x)0 ， f ( x )单调增， 只有 正确 答案 方法规律总结 有关给出图象研究函数性质的题目 ， 要分清给的是 f(x)的图象还是 f (x)的图象 ， 若给的是 f(x)的图象 ，应先找出 f(x)的单调区间及极 (最 )值点 ， 如果给的是 f (x)的图象 ， 应先找出 f (x)的正负区间及由正变负还是由负变正 ， 然后结合题目特点分析
12、求解 如图所示是函数 f ( x ) d 的大致图像，则 ) A 23B 43C 83D 4 答案 C 解析 由图像可知，函数 f ( x ) 过点 (0,0) ， (1, 0) ， (2,0) ，所以 f ( x ) x ( x 1)( x 2) 3 2 x .则 f ( x ) 3 6 x 2. 因为x 1 ， x 2 是极值点，所以 x 1 x 2 2 ， x 1 x 2 23. 所以 ( x 1 x 2 )2 2 x 1 x 2 83. 函数 f(x) 1 已知 x 2和 x1为 f(x)的极值点 (1)求 a和 (2)讨论 f(x)的单调性 函数极值的逆向问题 解析 (1) 因为 f ( x ) 1(2 x 3 2 x 1( x 2) x (3 2 b ) ， 又 x
