《2017-2018年高中数学 第一章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用学案（含解析）新人教a版选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 第一章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用学案（含解析）新人教a版选修2-2（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、11.7 定积分的简单应用定积分在几何中的应用如右图，由直线 xa， x b，曲线 y f(x)和 x轴围成的曲边梯形面积为 S1.由直线 xa， x b，曲线 yg( x)和 x轴围成的曲边梯形的面积为 S2.问题 1：如何求 S1?提示：S 1 f(x)dx.ba问题 2：如何求 S2?提示：S 2 g(x)dx.ba问题 3：如何求阴影部分的面积 S?提示：SS 1S 2.平面图形的面积由两条曲线 y f(x)， y g(x)和直线 x a， x b(ba)所围图形的面积(1)如图所示， f(x)g(x)0，所以所求面积S dx.ba(2)如图所示， f(x)0， g(x)0，若曲线 y
2、 与直线 x a， y0 所围成封闭图形的面积为 a2，则xa_.解析：由已知得 S dx x32a0 a32 a2，所以 a12 ，所以 a .a0x 23 23 23 49答案：495一物体在变力 F(x) (x的单位：m， F的单位：N)的作用下沿坐标平面内 x轴的36x2正方向由 x8 处运动到 x18 处，求力 F(x)在这一过程中所做的功解：由题意得力 F(x)在这一过程中所做的功为 F(x)在上的定积分，从而W F(x)dx36 x18188(3618 1 )(368 1 )(2) (J)(92) 52从而可得力 F(x)在这一过程中所做的功为 J.5211一、选择题1用 S表示
3、下图中阴影部分的面积，则 S的值是()A. f(x)dxcaB.|caf x dx|C. f(x)dx f(x)dxbacbD. f(x)dx f(x)dxcbba解析：选 D由图可知， x轴上方阴影部分的面积为 ， x轴下方阴影部分的cbf x dx面积为 f(x)dx，故 D正确ba2曲线 y x3与直线 y x所围图形的面积等于()A. (x x3)dx1 1B. (x3 x)dx1 1C2 (x x3)dx10D2 (x x3)dx0 1解析：选 C由Error!求得直线 y x与曲线 y x3的交点分别为(1，1)，(1,1)，(0,0)，由于两函数都是奇函数，根据对称性得 S2 (
4、x x3)dx.10123由直线 x ， x ， y0 与曲线 ycos x所围成的封闭图形的面积为()3 3A. B112C. D.32 3解析：选 D结合函数图象可得所求的面积是定积分 cos xdxsin 3 3x .3 3 34一质点运动的速度与时间的关系为 v(t) t2 t2，质点做直线运动，则它在时间内的位移为()A. B.176 143C. D.136 116解析：选 A质点在时间内的位移为 (t2 t2)d t .21 (13t3 12t2 2t)21 1765由抛物线 y x2 x，直线 x1 及 x轴围成的图形的面积为()A. B123C. D.43 53解析：选 B S
5、 1( x2 x)dx (x x2)dx0 10 1.(13x3 12x2)0 1 (12x2 13x3)10二、填空题6曲线 ysin x(0 x)与直线 y 围成的封闭图形的面积为_12解析：由于曲线 ysin x(0 x)与直线 y 的交点的横坐标分别为 x 及 x12 6，因此所求图形的面积为 sin x dxcos x x .56 566 12 12566 3 3答案： 337物体 A以速度 v3 t21( t的单位：s； v的单位：m/s)在一直线上运动，在此直线上，物体 A出发的同时，物体 B在物体 A的正前方 5 m处以 v10 t的速度与 A同向运动，13则两物体相遇时物体
6、A运动的距离为_m.解析：设 t a时两物体相遇，依题意有 (3t21)d t 10tdt( t3 t) 5 t2 5，a0a0 a0 a0即 a3 a5 a25，( a5)( a21)0，解得 a5，所以 (3t21)d t5 35130.50答案：1308有一横截面面积为 4 cm2的水管控制往外流水，打开水管后 t s末的流速为 v(t)6 t t2(单位：cm/s)(0 t6)，则 t0 到 t6 这段时间内流出的水量为_解析：由题意可得 t0 到 t6 这段时间内流出的水量 (6t t2)dt4 (6t t2)V 604 60dt4 144(cm 3)(3t213t3)60故 t0
7、到 t6 这段时间内流出的水量为 144 cm3.答案：144 cm 3三、解答题9求由曲线 y x2和直线 y x及 y2 x所围图形的面积 S.解：由Error! 得 A(1,1)，由Error! 得 B(2,4)如图所示，所求面积(即图中阴影部分的面积)为 S (2x x)dx x2)1021 2xdx xdx x2)dx x2 .1021 2x 12 10 (x2 13x3)21 7610有一动点 P沿 x轴运动，在时间 t时的速度为 v(t)8 t2 t2(速度的正方向与 x轴正方向一致)(1)点 P从原点出发，当 t6 时，求点 P离开原点的路程和位移；(2)求点 P从原点出发，经过时间 t后又返回原点时的 t值解：(1)由 v(t)8 t2 t20，得 0 t4，14即当 0 t4 时， P点向 x轴正方向运动；当 t4时， P点向 x轴负方向运动故 t6 时，点 P离开原点的路程为s1 (8t2 t2)dt (8t2 t2)dt4064 .(4t223t3)40 (4t2 23t3)64 1283当 t6 时，点 P的位移为(8t2 t2)dt 0.60 (4t2 23t3)60(2)依题意 (8t2 t2)dt0，t0即 4t2 t30，解得 t0 或 t6，23而 t0 对应于 P点刚开始从原点出发的情况， t6 是所求的值
