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1、项目五 测量误差规律及数据精度指标任务 1 测量误差基本知识1观测误差产生的原因观测值中存在观测误差有下列三方面原因：（1）观测者 由于观测者的感觉器官的鉴别能力的局限性，在仪器安置、照准、读数等工作中都会产生误差。同时，观测者的技术水平及工作态度也会对观测结果产生影响。（2）测量仪器 测量工作所使用的测量仪器都具有一定的精密度，从而使观测结果的精度受到限制。另外，仪器本身构造上的缺陷，也会使观测结果产生误差。（3）外界观测条件 外界观测条件是指野外观测过程中，外界条件的因素，如天气的变化、植被的不同、地面土质松紧的差异、地形的起伏、周围建筑物的状况，以及太阳光线的强弱、照射的角度大小等。外界
2、观测条件是保证野外测量质量的一个重要要素。观测者、测量仪器和观测时的外界条件是引起观测误差的主要因素，通常称为观测条件。观测条件相同的各次观测，称为等精度观测。观测条件不同的各次观测，称为非等精度观测。2.观测误差的分类观测误差按其性质，可分为系统误差、偶然误差和粗差。（1）系统误差 由仪器制造或校正不完善、观测员生理习性、测量时外界条件、仪器检定时不一致等原因引起。在同一条件下获得的观测列中，其数据、符号或保持不变，或按一定的规律变化。在观测成果中具有累计性，对成果质量影响显著，应在观测中采取相应措施予以消除。（2） 偶然误差 它的产生取决于观测进行中的一系列不可能严格控制的因素（如湿度、温
3、度、空气振动等）的随机扰动。在同一条件下获得的观测列中，其数值、符号不定，表面看没有规律性，实际上是服从一定的统计规律的。随机误差又可分两种：一种是误差的数学期望不为零称为“随机性系统误差” ；另一种是误差的数学期望为零黍为偶然误差。这两种随机误差经常同时发生，须根据最小二乘法原理加以处理。（3）粗差 是一些不确定因素引起的误差，国内外学者在粗差的认识上还未有统一的看法，目前的观点主要有几类：一类是将粗差看用与偶然误差具有相同的方差，但期望值不同；另一类是将粗差看作与偶然误差具有相同的期望值，但其方差十分巨大；还有一类是认为偶然误差与粗差具有相同的统计性质，但有正态与病态的不同。以上的理论均是
4、建立在把偶然误差和粗差均为属于连续型随机变量的范畴。还有一些学者认为粗差属于离散型随机变量。3.偶然误差的特性当观测值中剔除了粗差，排除了系统误差的影响，或者与偶然误差相比系统误差处于次要地位后，占主导地位的偶然误差就成了我们研究的主要对象。从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的规律性，但对大量的偶然误差进行统计分析，就能发现其规律性，误差个数愈多，规律性愈明显。在相同的观测条件下，对 358 个三角形的内角进行了观测。由于观测值含有偶然误差，致使每个三角形的内角和不等于 180。设三角形内角和的真值为 X，观测值为 L，其观测值与真值之差为真误差 。用下式表示为：XLi （i=1,
5、2,358） （5-1 ）由（5-1）式计算出 358 个三角形内角和的真误差，并取误差区间为 0.2，以误差的大小和正负号，分别统计出它们在各误差区间内的个数 V 和频率 V/n，结果列于表 5-1。表 51 偶然误差的区间分布正 误 差 负 误 差 合 计误差区间d 个数 V 频率 V/n 个数 V 频率 V/n 个数 V 频率 V/n0.00.2 45 0.126 46 0.128 91 0.2540.20.4 40 0.112 41 0.115 81 0.2260.40.6 33 0.092 33 0.092 66 0.1840.60.8 23 0.064 21 0.059 44 0.
6、1230.81.0 17 0.047 16 0.045 33 0.0921.01.2 13 0.036 13 0.036 26 0.0731.21.4 6 0.017 5 0.014 11 0.0311.41.6 4 0.011 2 0.006 6 0.0171.6 以上 0 0 0 0 0 0181 0.505 177 0.495 358 1.000从表 5-1 中可看出，最大误差不超过 1.6，小误差比大误差出现的频率高，绝对值相等的正、负误差出现的个数近于相等。通过大量实验统计结果证明了偶然误差具有如下特性：1 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度，2 绝对值小的误差比
7、绝对值大的误差出现的可能性大，3 绝对值相等的正误差与负误差出现的机会相等，4 当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零。即0limn（5-2 ）任务 2 观测数据精度指标1中误差在等精度观测列中，各真误差平方的平均数的平方根，称为中误差，也称均方误差，即 nm（5-3 ）【例】 设有两组等精度观测列，其真误差分别为第一组 -3、+3、-1、-3、+4 、+2、-1、-4；第二组 +1、-5、-1、+6、-4 、0、+3、-1。试求这两组观测值的中误差。解：9.2816491m1 3.036252比较 m1 和 m2 可知，第一组观测值的精度要比第二组高。必须指出，在相同的观测条件下
8、所进行的一组观测，由于它们对应着同一种误差分布，因此，对于这一组中的每一个观测值，虽然各真误差彼此并不相等，有的甚至相差很大，但它们的精度均相同，即都为同精度观测值。2容许误差由偶然误差的第一特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许误差或称极限误差。此限值有多大呢？根据误差理论和大量的实践证明，在一系列的同精度观测误差中，真误差绝对值大于中误差的概率约为 32%；大于 2 倍中误差的概率约为 5%；大于 3 倍中误差的概率约为 0.3%。也就是说，大于 3 倍中误差的真误差实际上是不可能出现的。因此，通常以 3 倍中误差作为偶然误差的极限值。在测量工作
9、中一般取 2 倍中误差作为观测值的容许误差，即 容 =2m （5-4 ）当某观测值的误差超过了容许的 2 倍中误差时，将认为该观测值含有粗差，而应舍去不用或重测。3相对误差对于某些观测结果，有时单靠中误差还不能完全反映观测精度的高低。例如，分别丈量了 100m 和 200m 两段距离，中误差均为0.02m。虽然两者的中误差相同，但就单位长度而言，两者精度并不相同，后者显然优于前者。为了客观反映实际精度，常采用相对误差。观测值中误差 m 的绝对值与相应观测值 S 的比值称为相对中误差。它是一个无名数，常用分子为 1 的分数表示，即|1|mK（5-5） 上例中前者的相对中误差为 501，后者为 1
10、0，表明后者精度高于前者。对于真误差或容许误差，有时也用相对误差来表示。例如，距离测量中的往返测较差与距离值之比就是所谓的相对真误差，即D1|平平 均 近往（5-6 ）与相对误差对应，真误差、中误差、容许误差都是绝对误差。 任务 3 误差传播定律1. 误差传播定律在实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的。阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律称为误差传播定律。（1）倍数函数设有函数 kxZ（5-7 ）式中 k 为常数，x 为直接观测值，其中误差为 mx，现在求观测值函数 Z 的中误差 mZ。设 x 和 Z 的真误差分别为 x
11、和 Z，由（5-7）式知它们之间的关系为 Z=k x若对 x 共观测了 n 次，则iix （i=1, 2, n）将上式两端平方后相加，并除以 n，得k2x2Z（5-8 ）按中误差定义可知nm2Zx2所以（5-8）式可写成 2xzk或 xzm（5-9 ）即观测值倍数函数的中误差，等于观测值中误差乘倍数（常数） 。【例】 用水平视距公式 D=kl 求平距，已知观测视距间隔的中误差ml=1cm，k=100，则平距的中误差 mD=100ml=1 m。（2）和差函数设有函数yxz（5-10 ）式中 x、y 为独立观测值，它们的中误差分别为 mx 和 my，设真误差分别为 x 和 y，由（5-10）式可得
12、 z若对 x、y 均观测了 n 次，则),21(niiii yxz L将上式两端平方后相加，并除以 n 得n2yxy2xz上式 yx中各项均为偶然误差。根据偶然误差的特性，当 n 愈大时，式中最后一项将趋近于零，于是上式可写成 n2yx2z（5-11 ）根据中误差定义，可得 2yx2zm（5-12 ）即观测值和差函数的中误差平方，等于两观测值中误差的平方之和。【例】 在 ABC 中，C=180AB，A 和B 的观测中误差分别为 3和 4，则C 的中误差 5m2c。（3）线性函数设有线性函数z=k1x1k2x2knxn （5-13） 式中 x1、 x2、x n 为独立观测值，k 1、 k2、k n 为常数，则综合（5-9）式和（5-12）式可得mz2=(k1m1)2(k 2m2)2+ (knmn)2 （5-14 ）【例】 有一函数 321xZ，其中 x1、x 2、x 3 的中误差分别为3mm、2mm、1mm，则 0.76m。
