《2017-2018年高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法学案（含解析）新人教a版选修1-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法学案（含解析）新人教a版选修1-2（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、122.2反证法反证法提出问题著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候爱和小朋友在路上玩耍一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友们一哄而上，去摘李子，独有王戎没动等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的 ”问题 1：王戎的论述运用了什么推理思想？提示：运用了反证法的思想问题 2：反证法解题的实质是什么？提示：否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确导入新知1反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明
2、了原命题成立，这种证明方法叫做反证法2反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等化解疑难1反证法实质用反证法证明命题“若 p，则 q”的过程可以用以下框图表示： 肯 定 条 件 p，否 定 结 论 q 导 致 逻辑 矛 盾 “p且 綈 q”为 假 “若 p， 则q”为 真2反证法与逆否命题证明的区别反证法的理论依据是 p 与綈 p 真假性相反，通过证明綈 p 为假命题说明 p 为真命题，证明过程中要出现矛盾；逆否命题证明的理论依据是“ pq”与“綈 q綈 p”是等价命题，通过证明命题“綈 q綈 p”为真
3、命题来说明命题“ pq”为真命题，证明过程不出现矛盾2用反证法证明否定性命题例 1设函数 f(x) ax2 bx c(a0)中， a， b， c 均为整数，且 f(0)， f(1)均为奇数求证： f(x)0 无整数根证明假设 f(x)0 有整数根 n，则 an2 bn c0( nZ)，而 f(0)， f(1)均为奇数，即 c 为奇数， a b 为偶数，则 an2 bn c 为奇数，即 n(an b)为奇数， n， an b 均为奇数又 a b 为偶数， an a 为奇数，即 a(n1)为奇数， n1 为奇数，这与 n 为奇数矛盾 f(x)0 无整数根类题通法1用反证法证明否定性命题的适用类型一
4、般地，当题目中含有“不可能” “都不” “没有”等否定性词语时，宜采用反证法证明2反证法的一般步骤用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程这个过程包括下面三个步骤：(1)反设假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；(2)归谬由“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾；(3)存真由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立即反证法的证明过程可以概括为：反设归谬存真活学活用设 a， b， c， dR，且 ad bc1.求证： a2 b2 c2 d2 ab cd1.证明：假设 a2 b2 c2 d2 ab cd1.因为 a
5、d bc1，所以 a2 b2 c2 d2 ab cd bc ad0，即( a b)2( c d)2( a d)2( b c)20，所以 a b0， c d0， a d0， b c0，则 a b c d0，这与已知条件 ad bc1 矛盾故假设不成立，所以 a2 b2 c2 d2 ab cd1.3用反证法证明唯一性命题例 2已知 a0，求证关于 x 的方程 ax b 有且只有一个实根证明由于 a0，因此方程 ax b 至少有一个实根 x .ba如果方程不只有一个实根，不妨假设 x1， x2是它的不同的两个根，从而有 ax1 b， ax2 b，两式作差得 a(x1 x2)0.因为 x1 x2，从而
6、 a0，这与已知条件 a0 矛盾，从而假设不成立，原命题成立即当 a0 时，关于 x 的方程 ax b 有且只有一个实根类题通法用反证法证明唯一性命题的适用类型(1)当证明结论是“有且只有” “只有一个” “唯一”等形式的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证明唯一性比较简单(2)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个方面，即存在性问题和唯一性问题两个方面活学活用用反证法证明：过已知直线 a 外一点 A 有且只有一条直线 b 与已知直线 a 平行证明：由两条直线平行的定义可知，过点 A 至少有一条直线与直线 a 平行假设过点 A 还有一条直线 b与已知直线 a 平行，即 b b A
7、， b a.因为 b a，由平行公理知 b b.这与假设 b b A 矛盾，所以假设错误，原命题成立.用反证法证明“至少” “至多”等存在性命题例 3已知 a1 a2 a3 a4100，求证： a1， a2， a3， a4中至少有一个数大于 25.证明假设 a1， a2， a3， a4均不大于 25，即 a125， a225， a325， a425，则 a1 a2 a3 a425252525100，这与已知 a1 a2 a3 a4100 矛盾，故假设错误所以 a1， a2， a3， a4中至少有一个数大于 25.类题通法4常见“结论词”与“反设词”结论词 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个
8、 至多有 n 个反设词一个也没有(不存在)至少有两个 至多有( n1)个至少有(n1)个结论词 只有一个 对所有 x 成立 对任意 x 不成立反设词 没有或至少有两个 存在某个 x 不成立 存在某个 x 成立结论词 都是 一定是 p 或 q p 且 q反设词 不都是 不一定是 綈 p 且綈 q 綈 p 或綈 q活学活用已知函数 y f(x)在区间( a， b)上是增函数求证：函数 y f(x)在区间( a， b)上至多有一个零点证明：假设函数 y f(x)在区间( a， b)上至少有两个零点，设 x1， x2(x1 x2)为函数y f(x)在区间( a， b)上的两个零点，且 x1 x2，则
9、f(x1) f(x2)0.因为函数 y f(x)在区间( a， b)上为增函数，x1， x2( a， b)且 x1 x2， f(x1) f(x2)，与 f(x1) f(x2)0 矛盾，假设不成立，故原命题正确3反证法的应用典例(12 分)如图，已知两个正方形 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内， M， N 分别为AB， DF 的中点用反证法证明：直线 ME 与 BN 是两条异面直线5解题流程规范解答假设 ME 与 BN 共面，则 AB平面 MBEN，且平面 MBEN 与平面 DCEF 交于 EN.由已知两正方形不共面，故 AB平面 DCEF.(4 分)又因为 AB CD，所以 AB平面 D
10、CEF，而 EN 为平面 MBEN 与平面 DCEF 的交线，所以 AB EN.(8 分)又因为 AB CD EF，所以 EN EF，这与 EN EF E 矛盾，故假设不成立，所以 ME 与 BN 不共面，它们是异面直线(12 分)名师批注利用反证法证明问题，必须从假设出发，即本题必须以 ME 与 BN 共面为条件证明此处极易忽视，造成解题错误极易忽视此条件，直接由 AB平面 DCEF 得出 AB EN 而失分必须由矛盾否定假设，而肯定原命题正确活学活用在同一平面内，设直线 l1： y k1x1， l2： y k2x1，其中实数 k1， k2满足k1k220，证明 l1与 l2相交证明：假设直
11、线 l1与 l2不相交，则 l1与 l2平行，由直线 l1与 l2的方程可知实数k1， k2分别为两直线的斜率，则有 k1 k2，代入 k1k220，消去 k1，得 k 20， k2无2实数解，这与已知 k2为实数矛盾，所以 k1 k2，即 l1与 l2相交6随堂即时演练1应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用()结论的反设；已知条件；定义、公理、定理等；原结论A BC D解析：选 C除原结论不能作为推理条件外其余均可2用反证法证明命题“ a， bN，如果 ab 可被 5 整除，那么 a， b 至少有 1 个能被 5整除” ，则假设的内容是()A a， b 都能被 5 整除
12、B a， b 都不能被 5 整除C a 不能被 5 整除D a， b 有 1 个不能被 5 整除解析：选 B用反证法只否定结论即可，而“至少有 1 个”的反面是“1 个也没有” ，故 B 正确3下列命题适合用反证法证明的是_(填序号)已知函数 f(x) ax (a1)，证明：方程 f(x)0 没有负实数根；x 2x 1若 x， yR， x0， y0，且 x y2，求证： 和 中至少有一个小于 2；1 xy 1 yx关于 x 的方程 ax b(a0)的解是唯一的；同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交解析：是“否定”型命题；是“至少”型命题；是“唯一”型命题，且题中条件较少；中条件较
13、少不足以直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明答案：4已知平面 平面 直线 a，直线 b ，直线 c ， b a A， c a，求证：b 与 c 是异面直线，若利用反证法证明，则应假设_解析：空间中两直线的位置关系有 3 种：异面、平行、相交，应假设 b 与 c 平行或相交答案： b 与 c 平行或相交5若下列三个方程： x24 ax4 a30， x2( a1) x a20， x22 ax2 a0 中至少有一个方程有实根，试求实数 a 的取值范围解：若三个方程均无实根，则Error!7Error! a1.32设 AError! ，则 RAError!，故所求实数 a 的取值范围是Error!
14、.课时达标检测一、选择题1用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于 60”时，假设正确的是()A假设三内角都不大于 60B假设三内角都大于 60C假设三内角至少有一个大于 60D假设三内角至多有两个大于 60解析：选 B“至少有一个”即“全部中最少有一个” 2用反证法证明“自然数 a， b， c 中恰有一个偶数”时，正确的反设为()A a， b， c 都是偶数B a， b， c 都是奇数C a， b， c 中至少有两个偶数D a， b， c 中都是奇数或至少有两个偶数解析：选 D自然数 a， b， c 的奇偶性共有四种情形：3 个都是奇数，1 个偶数 2 个奇数，2 个偶数 1 个奇数，3 个都是偶数，所以否定“自然数 a， b， c 中恰有一个偶数”时，正确的反设为“ a， b， c 中都是奇数或至少有两个偶数” 3用反证法证明命题“如果 a b，那么 ”时，假设的内容应是()3a 3bA. 成立3a 3bB. 成立3a 3bC. 或 成立3a 3b 3a 3bD. 且 成立3a 3b 3a 3b解析：选 C“大于”的否定为“小于或等于” 4.“已知： ABC 中， AB AC，求证： B180，这与三角形内角和定理相矛盾；(2)所以 B0，且 x y2.求证： ， 中至少有一个小于 2.1 xy 1 yx证明：假设 ， 都不小于 2，1 xy 1 yx9即
