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1、微积分课 project3 Applied project 4 彩虹中的微积分小组成员：温裕祥，王轩，于晓阳报告人：2012.11一 问题重述当雨滴散射阳光时，彩虹就会出现。自古以来人类就被它吸引，并且自从亚里士多德时期开始，人类就已经尝试对彩虹的科学解释。本项目中，我们利用牛顿和笛卡尔的思想来解释彩虹的形状，位置和色彩。二 问题分析彩虹进入空气中的水滴后会进行一定角度的折射和反射，使观察者能够看到太阳光（白光）色散而成的其中颜色光。三 模型建立及求解过程1. 如图所示，展示了光线在 A 点进入了一个球型雨滴，而直线 AB 表示光线进入雨滴部分的轨迹。注意到光线向着法线 AO 被折射，并且事实
2、上，Snell定律告诉我们：sinksin，是入射角，是折射角，k4/3 为水的折射率。在 B 点，一部分光线穿过雨滴并折射到空气中，但 BC 表示反射部分（入射角等于反射角）当光线到达 C 点，又有一部分被反射。但此时，我们更感兴趣的是在 C 点离开雨滴的部分(注意到它折射离开法线)。角度的偏转D()是光线在这三个过程中顺时针旋转的总和，即D（）=（-）+（-2）+（-）=+2-4证明：偏转角的最小值 D()138,并且在 =59.4时发生最小偏转角的意义在于当 59.4时，有 D（）0，从而D/（）0，许多光线偏转到了大致相同的角度，这是来自最小偏转角方向的光线的聚集，产生了明亮的主虹。从
3、观察者到彩虹最高点提升的角度为 180-138=42（此角度被称为彩虹角） 证明：ksinarc42)(Do)(si-122sinc4-k若 ,则0)(D0cos)(i-12k带入，得34ko4.597cos2222sinsicin)(Dkk由 k1,得0由极值第二充分条件的，在 时取得极小值o4.59此时 D()=13 8.0,180-138.0=422. 问题 1 解释了初级主彩虹的位置，那如何解释色彩呢？光包含一定范围的波长，从红到橙.黄.绿.青.蓝和紫。牛顿在 1666 年在他的棱镜实验中发现每种颜色的光的折射率是不一样的（这一效果称为色散） 。红光折射率k1.3318 而紫光折射率
4、k1.3435.对这些 k 再计算问题 1，证明彩虹角对红色弓是 42.3，对紫色弓是 40.6。所以彩虹确实含有七个弓对应七种颜色。由 1 中得， 2sinco4-Dk）（若 ,则0)(31cs（1）红光： ，则 ， ，红色弓8.1ko5.9红 o7.13)(D红 o3.42（2）紫光： ，则 ， ，红色弓458紫49紫 603. 你或许还会看到主虹上方有一个弱一点的第二级彩虹。这一结果的得出是由于光线进入雨滴，在 A 点折射，两次反射（B 点和 C 点） ，且在 D 点离开雨滴折射（如图） 。现在偏转角 H（）是光线经过这四步逆时针旋转角的总和。证明 D（）=2-6+2，且当 cos= 时
5、，D（）有最小值。取 k=4/3，偏转角的最小值约为 129，因而第二级彩虹角约为 51，如图。218k令角度的偏转为 ）（ H2)(ksinarc6-2则 2sio)(若 ，则0)(H81ck,则 ， ，34ko8.71o.23D）（偏转角 ，第二级彩虹角o923-60 oo5129-1804. 证明二级彩虹的色彩以相反的顺序出现在主虹上方。（一）第一级彩虹，入射角 31arcos21k第二级彩虹，入射角 8r22由单调性，k 相同时 21所以，二级彩虹在主彩虹上方（二）以红光紫光为例，计算方法同 2.主彩虹： ，o7.13)(D红o4.139)(紫二级彩虹： ，620H红 62紫如图所示，两种情况下顺序是相反的:实线为主虹，虚线为第二级虹。即主彩虹顺序位置与 k 正相关二级彩虹顺序位置与 k 负相关注：上方彩图的几何画板原件详见附件。（已发邮箱）
