坐标换带的实际应用

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1、1坐标换带的实际应用在生产实践中通常有以下两种情况需要换带计算控制网中的已知点位于相邻的两个投影带中。如图 5（图 5：坐标换带示意图）中的附合导线，A,B,C,D 为已知高级点。A,B 两点位于西带内，具有西带的高斯平面直角坐标值；C,D 两点位于东带内，具有东带的高斯平面直角坐标值。在坐标平差计算时，就必须将它们的坐标系统统一起来，或是将 A,B 点的西带坐标值换算至东带，或是将 C,D 点的东带坐标值换算至西带。国家控制点的坐标通常是 6带的坐标，而在工程测量中往往需要采用 带或 1.5带，这就产生了 6带与 带或 1.5带之间的坐标换算问题。我们知道， 带的中央子午线中，有半数与 6带

2、的中央子午线重合。所以，由 6带到 3带的换算区分为 2 种情况： 3带与 6带的中央子午线重合 如图所示，3带第（图 6：坐标换带示意图）241 带与 6第 21 带的中央子午线重合。既然中央子午线一致，坐标系统也就一致。所以，图中 P1 点在 6带第 21 带的坐标，也就是该点在 3带第 41 带的坐标。在这种情况下，6带与 3带之间，不存在换带计算问题。 3带中央子午线与 6带分带子午线不重合如图所示，若已知 P2 点在 6带第 21 带的坐标，求它在 3带第 42 带的坐标。由于这 2 个投影带的中央子午线不同，坐标系统不一致，必须进行换带计算。不过 P2 点在 6带第 21 带的坐标

3、与它在 3第 41 带的坐标相同，所以 6带到 3带坐标换算，也可看作是 3带到 3带的邻带坐标换算。换带计算目前广泛采用高斯投影坐标正反算方法 ，他适用于任何情况下的换带计算工作。这种方法的程序是：首先将某投影带的已知平面坐标(x1,y1 ),按高斯投影坐标反算公式求得其大地坐标（B,L）;然后根据纬度 B 和对于所选定的中央子午线的经差 ,按高斯投影坐标正算公式求其在选定的投影带的平面坐标（x2,y2） 。例如，某点 A 在新 54 坐标系 6带的平面坐标为x1=3589644.287y1=20679136.4393求 A 点在 3带的平面直角坐标（x2,y2）.首先确定 A 点所在投影带

4、中央子午线经度。由横坐标的规定值可以直接判定，A 点位于 6带第 20 带，其中央子午线经度 L。=117，横坐标的自然值为y1=679136.493-500000=+179136.439m;该坐标等同于 3带第 39 带的平面坐标。其次将已知的 6带坐标反算为大地坐标。为此，可直接应用坐标反算公式进行计算，其结果为B=3224 57.6522L=11854 15.2206由大地经度 L 可判断，A 点位于 3第 40 带，中央子午线为 L。=120。最后根据高斯投影坐标正算公式，由已知的纬度 B 和经度 计算 A 点在 3带第40 带的平面直角坐标，得x2=3588576.591y2=403

5、96922.874其中横坐标 y2 为规定值。相邻带坐标换算存在的问题及解决方案在具有不同抵偿高程面的两个相邻投影带之间进行坐标换带计算时，由于具有不同的抵偿高程面而使一个带中的坐标换至相邻带时使长度变形超线，在线路工程测量中就需要进行精度预算，从而在进行坐标换带计算时使长度变形控制在允许的范围内。其基本方法如下：根据高斯投影长度综合变形公式 将长度综合变形容许值41：40000 代入上式即可得到下列方程 对于已知高程面的测区，利用该式可以计算出相对变形不超过 1：40000 的投影带内 y 坐标的取值范围，根据 y 坐标的取值范围使在布设控制导线边时，使跨带边的长度变形在 y 坐标的取值范围

6、之内，这样就可以进行换带计算而不使综合长度变形超线。其具体解决方案如下：国家统一 带相邻带的坐标换算方法：在线路工程中，如果由于线路过长而需要进行相邻带的坐标换算，这是就需要对控制点进行精度预算，从而使换带计算顺利进行。其主要方法如图：根据高斯投影长度综合变形公式 将长度综合变形容许（图 7：坐标换带示意图）值 1：40000 代入上式即可得到下列方程 对于已知高程面的测区，利用该式可以计算出相对变形不超过 1：40000 的投影带内 y 坐标的取值范围，根据 y 坐标的取值范围使在布设控制导线边时使 P 点处于 41 带的扩展区域内，该扩展区内所有的点都满足精度要求。这样 P 点在两个投影带

7、中都满足精度要求同时又利于换带计算。利用这种方法就可以很方便的进行相邻带的坐标换算。 带相邻带的换带计算5当国家统一 带不能满足精度要求时，即如上图 P 点在相交处不能达到精度要求时就必须考虑其他方法来解决此问题。由于投影带划分的目的是限制高斯投影长度变形，所以可以通过细分投影带的方法来限制高斯投影长度变形。其方法是：如图 P 点，当该点在 带第 42 带换算至第 41 带时不能满足精度要求时，就可以通过在原 带的基础上细划分为 带从而减少高斯投影长度变形，这样相邻带之间在满足精度要求的基础上就有（图 8：坐标换带示意图）一部分扩展区域，在这部分扩展区域内所有的点在相邻带都满足精度要求，这样就

8、可以用如上 1 分析的方法进行相邻带之间的坐标换算。测量投影面与投影带的选择3.1.1. 1 有关投影变形的基本概念平面控制测量投影面和投影带的选择，主要是解决长度变形问题。这种投影变形主要由以下两方面因素引起：8实量边长归算到参考椭球体面上的变形影响 (3-1) 其推导过程为：（图 9：实量边长归算到参考椭球体面示意图）由图知 由上式可得 从而可得式中, 为归算边高出参考椭球面的平均高程；S 为归算边的长度 ；为实量边长在参考椭球面上的长度R 为归算边方向参考椭球法截弧的曲率半径。归算边的相对变形为：(3-2)由公式可以看出： 值与 成正比，随 增大而增大。将参考椭球面上边长归算到高斯投影面

9、上的变形影响(3-3)式中, ，即 为投影归算边长即 ，9为归算边两端点横坐标平均值，为参考椭球面平均曲率半径。投影边的相对变形为：(3-4)由公式可以看出： 的值总为正，即椭球面上长度归算至高斯面上，总是增大的， 值与 成正比而增大，离中央子午线愈远变形愈大。3.1.1. 2 有关工程测量平面控制网的精度要求的概念为便于施工放样的顺利进行，要求由控制点坐标直接反算的边长与实地量得的边长，在长度上应该相等，即由上述两项归算投影改正而带来的变形或改正数，不得大于施工放样的精度要求。一般地，施工放样的方格网和建筑轴线的测量精度为 1/50001/20000。因此，由归算引起的控制网长度变形应小于施

10、工放样允许误差的 1/2，即相对误差为 1/100001/40000，也就是说，每公里的长度改正数，不应该大于 102.5cm。3.1.1. 3 工程测量投影面和投影带选择的基本出发点 在满足精度要求的前提下，为使测量结果一测多用，应采用国家统一 带高斯平面直角坐标系，将观测结果归算至参考椭球面上。即工程测量控制网应同国家测量系统相联系；当边长的两次归算投影改正不能满足上述要求时，为保证测量结果的直接利用和计算的方便，可采用任意带的独立高斯平面直角坐标系，归算测量结果的参考面可自己选定。为此可用以下手段实现： 通过改变 从而选择合适的高程参考面，将抵偿分带投影变形（称为抵偿投影面的高斯正形投影

11、）； 10改变 从而对中央子午线作适当移动，以抵偿由高程面的边长归算到参考椭球面上的投影变形（称为任意带高斯正形投影）； 通过既改变 （选择高程参考面），又改变 （移动中央子午线），来抵偿两项归算改正变形（称为具有高程抵偿面的任意带高斯正形投影）。坐标的换带计算为了限制高斯投影长度变形，将椭球面按一定经度的子午线划分成不同的投影带；或者为了抵偿长度变形，选择某一经度的子午线作为测区的中央子午线。由于中央子午线的经度不同，使得椭球面上统一的大地坐标系，变成了各自独立的平面直角坐标系，就需要将一个投影带的平面直角坐标系，换算成另外一个投影带的平面直角坐标，称为坐标换带。2.2.3. 1 坐标换带的

12、方法坐标换带有直接换带计算法和间接换带计算法两种。目前采用间接换带计算法，因此下面仅就此方法作一介绍。如将第一带（东带或西带）的平面坐标换算为第二带（西带或东带）的平面坐标，方法是先根据第一带的平面坐标 x,y 和中央子午线的经度 L。按高斯投影坐标反算公式求得大地坐标 B,L 然后根据 B,L 和第二带的中央子午线经度 按高斯投影坐标正算公式求得在第二带中的平面坐标 , 。由于在换带计算中，把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标，因而称为间接换带法。这种方法理论上是严密的，精度高，而且通用性强，他适用于 6带与 6带，3带与 3带，6带与 3带之间的坐标换带。虽然这种方法计算量较大，但可用电子计算

13、机11计算来克服，故已成为坐标换带中最基本的方法。2.2.3. 2 坐标换带的实际应用在生产实践中通常有以下两种情况需要换带计算控制网中的已知点位于相邻的两个投影带中。如图 5（图 5：坐标换带示意图）中的附合导线，A,B,C,D 为已知高级点。A,B 两点位于西带内，具有西带的高斯平面直角坐标值；C,D 两点位于东带内，具有东带的高斯平面直角坐标值。在坐标平差计算时，就必须将它们的坐标系统统一起来，或是将 A,B 点的西带坐标值换算至东带，或是将 C,D 点的东带坐标值换算至西带。国家控制点的坐标通常是 6带的坐标，而在工程测量中往往需要采用 带或 1.5带，这就产生了 6带与 带或 1.5

14、带之间的坐标换算问题。我们知道， 带的中央子午线中，有半数与 6带的中央子午线重合。所以，由 6带到 3带的换算区分为 2 种情况：12 3带与 6带的中央子午线重合 如图所示，3带第（图 6：坐标换带示意图）41 带与 6第 21 带的中央子午线重合。既然中央子午线一致，坐标系统也就一致。所以，图中 P1 点在 6带第 21 带的坐标，也就是该点在 3带第 41 带的坐标。在这种情况下，6带与 3带之间，不存在换带计算问题。 3带中央子午线与 6带分带子午线不重合如图所示，若已知 P2 点在 6带第 21 带的坐标，求它在 3带第 42 带的坐标。由于这 2 个投影带的中央子午线不同，坐标系

15、统不一致，必须进行换带计算。不过 P2 点在 6带第 21 带的坐标与它在 3第 41 带的坐标相同，所以 6带到 3带坐标换算，也可看作是 3带到 3带的邻带坐标换算。换带计算目前广泛采用高斯投影坐标正反算方法 ，他适用于任何情况下的换带计算工作。这种方法的程序是：首先将某投影带的已知平面坐标(x1,y1 ),按高斯投影坐标反算公式求得其大地坐标（B,L）;然后根据纬度 B 和对于所选定的中央子午线的经差 ,按高斯投影坐标正算公式求其在选定的投影带的平面坐标（x2,y2）。13例如，某点 A 在新 54 坐标系 6带的平面坐标为x1=3589644.287y1=20679136.439求 A

16、 点在 3带的平面直角坐标（x2,y2）.首先确定 A 点所在投影带中央子午线经度。由横坐标的规定值可以直接判定，A 点位于 6带第 20 带，其中央子午线经度 L。=117，横坐标的自然值为y1=679136.493-500000=+179136.439m;该坐标等同于 3带第 39 带的平面坐标。其次将已知的 6带坐标反算为大地坐标。为此，可直接应用坐标反算公式进行计算，其结果为B=3224 57.6522L=11854 15.2206由大地经度 L 可判断，A 点位于 3第 40 带，中央子午线为 L。=120。最后根据高斯投影坐标正算公式，由已知的纬度 B 和经度 计算 A 点在 3带第40 带的平面直角坐标，得x2=3588576.591y2=40396922.874其中