《2017-2018年高中数学 考点49 离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差（含2014年高考试题）新人教a版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 考点49 离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差（含2014年高考试题）新人教a版（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1考点 49 离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差一、选择题1. （2014浙江高考理科9）已知甲盒中仅有 1 个球且为红球，乙盒中有 m个红球和 n个篮球 3,mn，从乙盒中随机抽取 ,2i个球放入甲盒中.（a）放入 i个球后，甲盒中含有红球的个数记为 i；（b）放入 个球后，从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 1,2ip.则A. 1212,pE B. 12,EC. D. 12【解题指南】根据概率和数学期望的有关知识，分别计算 p、 和 1()、2()E在比较大小.【解析】选 A.随机变量 12,的分布列如下：11 2pmnn21 2 3p2nmC12mn2mnC所以 1(
2、)Enn，2123()nmmnCnE所以 2因为112()mpnn，2233()nmnmCCg21206()nPm， 所以 12P二、填空题2. （2014上海高考理科13） 1,2345某 游 戏 的 得 分 为 ， 随 机 变 量 表 示 小 白 玩 该 游 戏 的 得 分 ，若 E()=.， 则 小 白 得 分 的 概 率 至 少 为 _.【解题提示】根据期望公式结合分布列的性质可得.【解析】 123451234551234 5,34 .2()0.2PPPP 设 取 ， 时 ， 对 应 概 率 分 别 为 ， ， ， ， ， 则 有 E()=+34所 以 -答 +所 以案 ：3. （20
3、14浙江高考理科12）随机变量 的取值为 0,1,2，若105P，1E，则 D_.【解题指南】根据离散型随机变量的均值与方差的性质计算【解析】设 1时的概率为 p，则11()02()55Ep，解得35p，故 22231()0()()55D答案： 5三、解答题4. （2014湖北高考理科20）计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站，过去 50 年的水文资料显示，水库年入流量 X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在 40 以上.其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5 年.将年入流量在以
4、上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来 4 年中，至多 1 年的年入流量超过 120 的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X限3制，并有如下关系：年入流量 X 408x012x120x发电机最多可运行台数 1 2 3若某台发电机运行，则该台年利润为 5000 万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损 800万，欲使水电站年利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？【解题指南】 （ ） 先 求 出 年 入 流 量 X 的 概 率 ， 根 据 二 项 分 布 ， 求 出 未 来 4 年中 ， 至 少 有 1 年 的 年
5、 入 流 量 超 过 120 的 概 率 ；（ ） 分 三 种 情 况 进 行 讨 论 ， 分 别 求 出 一 台 ， 两 台 ， 三 台 的 数 学 期 望 ， 比 较 即 可 得到 【解析】 （）依题意， 11(48)0.25p，235(80X2)0.7p， 3(Xp由二项分布，在未来 4 年中至多有一年的年入流量超过 120 的概率为013434391()()()()0.9471Cp（）记水电站年总利润为 Y（1） 安装 1 台发电机的情形由于水库年入流量总大于 40，故一台发电机运行的概率为 1，对应的年利润 Y50，(Y)50E（2）安装 2 台发电机的情形依题意，当 48x时，一台
6、发电机运行，此时 50842Y，因此1()P(0).2p；当 X时，两台发电机运行，此时Y5021，因此 23(Y)P().p；由此得的分布列如下Y 4200 10000P 0.2 0.8所以， ()420.10.84E。（3）安装 3 台发电机的情形依题意，当 8x时，一台发电机运行，此时 5016340Y，因此1(Y)P().2p；当 X2时，两台发电机运行，此时50290，因此 2(9)P(8).7p；当X1时，两台发电机运行，此时 50310，因此3()P(1).p由此得的分布列如下4Y 3400 8200 15000P 0.2 0.7 0.1所以， ()340.290.7150.86
7、2E。综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机 2 台。5. （2014湖南高考理科17） （本小题满分 12 分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 35和 现安排甲组研发新产品 A，乙组研发新产品 B设甲、乙两组的研发相互独立(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品 研发成功，预计企业可获利润 120 万元；若新产品 B研发成功，预计企业可获利润 100 万元求该企业可获利润的分布列和数学期望【解题提示】(1)利用独立事件的乘法公式求解;(2)利用分布列、期望的定义求解。【解析】记 E=甲组研发新产品成功，F=乙组研发新产品成功。由题设知，
8、（1） ,52)(,3)(,1)(,32)( FPEP且事件 与 F， 与 ， 与 ， E与 都相互独立。记 H=至少有一种新产品研发成功，则 H，于是,1523)()(PEH故所求的概率为 .1532)(1)(HP（2）设企业可获利润为 X（万元） ，则 X 的可能取值为 0，100，120，220，因 ,)()0(FX ,53)()(FEP1542312EP 16220P故所求的分布列为X 0 100 120 220P 156数学期望为 .14052153048021540320)( E6.(2014广东高考理科)(13 分)随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数(单位:
9、件),获得数据如下:530,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36,根据上述数据得到样本的频率分布表如下:分组 频数 频率25,30 3 0.12(30,35 5 0.20(35,40 8 0.32(40,45 n1 f1(45,50 n2 f2(1)确定样本频率分布表中 n1,n2,f1和 f2的值.(1)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图.(3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取 4 人,至少有 1 人的日加工零件数落在区间(30,35的概率.【解题提示】(1)在所给的数据中圈
10、出(40,45,(45,50的数字可得 n1,n2的值,再换算出f1,f2的值.(2)建立坐标系,用 频 率组 距 计算各组纵坐标的值.(3)根据“样本频率分布直方图”判断为二项分布型,再用对立事件的概率求解.【解析】(1)由所给的数据,知在(40,45的有 42,41,44,45,43,43,42,即 n1=7;在(45,50的有 49,46,即 n2=2,(列出有关数据,直接写出 n1=7,n2=2 会被扣分)f 1= 725=0.28,f2= =0.08.(2)算得各组的 频 率组 距 的值分别为:0.125=0.024, .0 =0.04, .325 =0.064,0.85=0.065
11、, .0=0.016,(要具体算出来,否则要被扣分)“样本分布直方图”如图所示;7.（2014福建高考理科18）18.（本小题满分 13 分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1000 位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元，其余 3 个均为 10 元，求顾客所获的奖励额为 60 元的概率6顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;（2）商场对奖励总额的预算是 60000 元，并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和50 元的两种
12、球组成，或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的 4 个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.【解题指南】列分布表，再按公式求期望；欲让每位顾客所获得的奖励相对平衡，则应求方差，方差小的为最佳方案【解析】(1I)设顾客所获的奖励额为 X.依题意，得1324C(60)PX，即顾客所获的奖励额为 元的概率 ；3 分依题意，得 的所有可能取值为 20,6，1(60)2PX， 324C1()PX，(或 120)1(60)2PXPX)即 的分布列为： 6P1212顾客所获的奖励额的数学期望 ()0.5.40EX
13、(元).6 分(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为 60 元，所以，先寻找期望为 60 元的可能方案.对于面值由 10 元和 50 元组成的情况.如果选择 (10,5)的方案，因为 60 元是面值之和的最大值.所以期望不可能为 60 元；如果选择 ,的方案，因为 60 元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为 60 元，因此可能的方案是 (10,5)，记为方案 1.8 分对于面值由 20 元和 40 元组成的情况，同理可排除 (20,4)和(40,2)的方案，所以可能的方案是 (,)，记为方案 2.9 分以下是对两个方案的分析：7对于方案 1，即方案 (0,15)，设顾客所获的奖励额为
14、 1X，则 的分布列为X20 60 100P62361的期望为 1 1()2006E，X的方差为 22210)()(0)3D.11分对于方案 2，即方案 (0,4)，设顾客所获的奖励额为 2X，则 2的分布列为X20 60 80P163162的期望为 22()408063E，X的方差为 2240)()(80)3D.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案 2 奖励额的方差比方案 1 小，所以应该选择方案 2.13 分注：第(2)问，给出方案 1 或方案 2 的任一种方案，并利用期望说明所给方案满足要求，给3 分；进一步比较方差，说明应选择方案 2，再给 2 分.(3)根据“样本频率分布直方
15、图”,以频率估计概率,则在该厂任取 1 人,其加工零件数据落在(30,35的频率为 0.20,估计其概率为 0.20(这个要写,否则会被扣分,需点明“频率估计概率”),在该厂任取 4 人,至少有 1 人的日加工零件数落在区间(30,35的概率为 P(A)=1-04C(0.2)0(1-0.2)4=0.5904(二项分布型概率,间接求较为方便),所求的概率为 0.5904.8. （2014山东高考理科18）8乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域 ,AB，乙被划分为两个不相交的区域 ,CD.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在上记 3 分，在 上记 1 分，其它情况记 0 分.对落点在 上的来球，小明回球的落点在上的概率为 2，在 上的概率为 3；对落点在 B上的来球，小明回球的落点在 C上的概率为 15，在 上的概率为 5.假设共有两次来球且落在 ,A
