《2017-2018年高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 三 相似三角形的判定及性质 1 相似三角形的判定学案（含解析）新人教a版选修4-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 三 相似三角形的判定及性质 1 相似三角形的判定学案（含解析）新人教a版选修4-1（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、11相似三角形的判定1相似三角形(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比或(相似系数)(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似2相似三角形的判定定理(1)判定定理 1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，简述为：两角对应相等，两三角形相似(2)判定定理 2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似引理：如果一
2、条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边(3)判定定理 3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，简述为：三边对应成比例，两三角形相似在这些判定方法中，应用最多的是判定定理 1，即两角对应相等，两三角形相似因为它的条件最容易寻求在实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角判定定理 2则常见于连续两次证明相似时，在证明时第二次使用此定理的情况较多3直角三角形相似的判定定理(1)定理：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相
3、似(2)定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似对于直角三角形相似的判定，除了以上方法外，还有其他特殊的方法，如直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件的利用相似三角形的判定如图，已知在 ABC中， AB AC， A36， BD是角平分线，证明：2 ABC BCD.已知 AB AC， A36，所以 ABC C72，而 BD是角平分线，因此，可以考虑使用判定定理 1. A36， AB AC， ABC C72.又 BD平分 ABC， ABD CBD36. A CB
4、D.又 C C， ABC BCD.判定两三角形相似，可按下面顺序进行：(1)有平行截线，用预备定理；(2)有一对等角时，找另一对等角，找夹这个角的两边对应成比例；(3)有两对应边成比例时，找夹角相等，找第三边对应成比例，找一对直角1.如图， D， E分别是 AB， AC上的两点， CD与 BE相交于点 O，下列条件中不能使 ABE和 ACD相似的是()A B C B ADC AEBC BE CD， AB AC D AD AC AE AB解析：选 C在选项 A、B 的条件下，两三角形有两组对应角相等，所以两三角形相似，在 D项的条件下，两三角形有两边对应成比例且夹角相等故选项 A、B、D 都能推
5、出两三角形相似在 C项的条件下推不出两三角形相似2如图，在四边形 ABCD中， ， ， EH， FG相交于点AEEB AFFD BGGC DHHCO.求证： OEF OHG.证明：如图，连接 BD. ，AEEB AFFD EF BD.又 ，BGGC DHHC GH BD. EF GH.3 EFO HGO， OHG OEF. OEF OHG.3.如图，正方形 ABCD中，点 E是 CD的中点，点 F在 BC上，且CF BC14，求证： .AEEF ADEC证明：设正方形 ABCD的边长为 4a，则 AD BC4 a， DE EC2 a.因为 CF BC14，所以 CF a，所以 2， 2，ADE
6、C 4a2a DECF 2aa所以 .ADEC DECF又因为 D C90，所以 ADE ECF.所以 .AEEF ADEC相似三角形的应用如图， D为 ABC的边 AB上一点，过 D点作 DE BC， DF AC， AF交 DE于 G， BE交DF于 H，连接 GH.求证： GH AB.根据此图形的特点可先证比例式 成立，再证 EGHGEDE EHEBEDB，由相似三角形的定义得 EHG EBD即可 DE BC， ，即 .GEFC AGAF DGFB GEDG CFFB又 DF AC， .EHHB CFFB . .GEDG EHHB GEED EHEB又 GEH DEB， EGH EDB.
7、EHG EBD. GH AB.不仅可以由平行线得到比例式，也可以根据比例式的成立确定两直线的平行关系有时用它来证明角与角之间的数量关系、线段之间的数量关系44.如图，四边形 ABCD是平行四边形，点 F在 BA的延长线上，连接 CF交 AD于点 E.(1)求证： CDE FAE；(2)当 E是 AD的中点，且 BC2 CD时，求证： F BCF.证明：(1)四边形 ABCD是平行四边形， AB CD.又点 F在 BA的延长线上， DCF F， D FAE. CDE FAE.(2) E是 AD的中点， AE DE.由 CDE FAE，得 .CDFA DEAE CD FA. AB CD AF. B
8、F2 CD.又 BC2 CD， BC BF. F BCF.5.如图，在 Rt ABC中， BAC90， AD BC于 D，点 E是AC的中点， ED的延长线交 AB的延长线于点 F.求证： .ABAC DFAF证明： E是 Rt ADC斜边 AC上的中点， AE EC ED. EDC C BDF.又 AD BC且 BAC90， BAD C. BAD BDF.又 F F， DBF ADF， .DBAD DFAF又在 Rt ABD与 Rt CBA中， ，ABAC DBAD .ABAC DFAF课时跟踪检测(三)5一、选择题1如图所示，点 E是 ABCD的边 BC延长线上的一点， AE与 CD相交于
9、点 F，则图中相似三角形共有()A2 对 B3 对 C4 对 D5 对解析：选 B有 3对，因为 ABC ADF， AEB EAD，所以 ABE FDA，因为 ABC DCE， E为公共角，所以 BAE CFE.因为 AFD EFC， DAF AEC，所以 ADF ECF.2三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，则这个三角形是()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形解析：选 D等腰三角形底边上的高或直角三角形斜边上的高分得的两个三角形分别相似3如图，要使 ACD BCA，下列各式中必须成立的是()A. ACAB ADBCB. ADCD ACBCC AC2 CD
10、CBD CD2 ACAB解析：选 C C C，只有 ，即 AC2 CDCB时，才能使 ACD BCA.ACCD CBAC4如图，在等边三角形 ABC中， E为 AB的中点，点 D在 AC上，使得 ，则有()ADAC 13A AED BED B AED CBDC AED ABD D BAD BCD6解析：选 B因为 A C， 2，所以 AED CBD.BCAE CDAD二、填空题5如图所示，在 ABC中，点 D在线段 BC上， BAC ADC， AC8， BC16，那么 CD_.解析： BAC ADC，又 C C， ABC DAC. .ACCD BCAC又 AC8， BC16. CD4.答案：4
11、6如图所示， ACB90， CD AB于点 D， BC3， AC4，则AD_， BD_.解析：由题设可求得 AB5，Rt ABCRt ACD， . AD .ABAC ACAD AC2AB 165又Rt ABCRt CBD， . BD .ABCB BCBD BC2AB 95答案： 165 957已知在 ABC中， AD为 BAC的平分线， AD的垂直平分线 EF与 AD交于点 E，与 BC的延长线交于点 F，若 CF4， BC5，则 DF_.解析：连接 AF. EF AD， AE ED， AF DF， FAD FDA.7又 FAD DAC CAF， FDA BAD B，且 DAC BAD， CA
12、F B.而 CFA AFB， AFC BFA. .AFCF BFAF AF2 CFBF4(45)36. AF6，即 DF6.答案：6三、解答题8.如图， D在 AB上，且 DE BC交 AC于点 E， F在 AD上，且AD2 AFAB.求证： AEF ACD.证明： DE BC， .ADAB AEAC AD2 AFAB， .ADAB AFAD .AEAC AFAD又 A A， AEF ACD.9.如图，直线 EF交 AB， AC于点 F， E，交 BC的延长线于点D， AC BC，且 ABCD DEAC.求证： AECE DEEF.证明： ABCD DEAC .ABDE ACCD AC BC， ACB DCE90. ACB DCE. A D.又 AEF DEC， AEF DEC. .AEDE EFCE AECE DEEF.810.如图，在 ABC中， EF CD， AFE B， AE6， ED3， AF8.(1)求 AC的长；(2)求 的值CD2BC2解：(1) EF CD， .AEAD AFAC AE6， ED3， AF8， .66 3 8AC AC12.(2) EF DC， AFE ACD，又 AFE B， ACD B.又 A A， ACD ABC. .CDBC ADAC 6 312 34 .CD2BC2 916
