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1、 1华 夏 大 地 教 育 网 http/:www.edu- 自学考试：高数（一）串讲讲义试题特点：知识点覆盖全面， 大多数题目难度不大，个别题目有一定的难度， 但都没有超出大纲要求。复习要求：不报侥幸心理， 复习要涉及每个知识点。每个知识点要做相应的练习题。高 等 数 学(一 )微 积 分一 元 函 数 微 分 学( 第 三 章 、 第 四 章 )一 元 函 数 积 分 学（ 第 五 章 ）第 一 章函 数 及其 图 形 第 二 章极 限 和连 续 多 元 函 数微 积 分（ 第 六 章 ）高 数 一 串 讲教 材 所 讲 主 要 内 容 如 下 ：全书内容可粗分为以下三大部分：第一部分 函
2、数极限与连续（包括级数）第二部分 导数及其应用（包括多元函数）第三部分 积分计算及其应用 （包括二重积分和方程）第一部分 函数极限与连续一、关于函数概念及特性的常见考试题型： 1、求函数的自然定义域。2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。3、求反函数。 2华 夏 大 地 教 育 网 http/:www.edu- 自学考试：高数（一）串讲讲义4、求复合函数的表达式。二、 极限与连续 常见考试题型： 1、求函数或数列的极限。2、考察分段函数在分段点处极限是否存在， 函数是否连续。3、函数的连续与间断。4、求函数的渐进线。5、级数的性质及等比级数。6、零点定理。每年必有的考点第三部分 导数微
3、分及其应用 常见考试题型：1、导数的几何意义；2、讨论分段函数分段点的连续性与可导性。3、求函数的导数：复合函数求导， 隐含数求导，参数方程求导；4、讨论函数的单调性和凹凸性，求曲线的拐点；5、求闭区间上连续函数的最值；6、实际问题求最值。每年必有的考点第四部分 积分计算及应用 考试常见题型1、不定积分的概念与计算；2、定积分的计算；3、定积分计算平面图形的面积；4、定积分计算旋转体的体积；5、无穷限反常积分6、二重积分7、微分方程最近几年考题中，积分计算的题目较多， 而且也有一定的难度。第一部分 函数极限与连续一、关于函数概念及特性的常见考试题型： 1、求函数的自然定义域。 3华 夏 大 地
4、 教 育 网 http/:www.edu- 自学考试：高数（一）串讲讲义2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。3、求反函数。4、求复合函数的表达式。例 1.函数 y= 的定义域是_. 2007.723logx知识点：定义域 约定函数的定义域是使函数的解析表达式有意义的一切实数所构成的数集。解 要使根式函数有意义必须满足 ，23log0x要使 成立， 只有 ，即 .23log0x1注：我们所求定义域的函数一般都是初等函数，而初等函数：由基本初等函数，经过有限次的运算及有限次的复合得到的函数称为初等函数。这就需要我们把基本初等函数的定义域、值域等搞清楚。 基本初等函数的性质与图形如下表所示
5、( 表周期)：T,)(0,)R名称表达式 定义域 图 形 特 性常数函数Cy RyC0 x有界，偶函数幂函数xy随 而异，但在 上R均有定义0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.800.20.40.60.811.21.41.61.8 y=xy=x-1y=x1/3y=x-2y=x3 时在0R单增；时在单减无界 4华 夏 大 地 教 育 网 http/:www.edu- 自学考试：高数（一）串讲讲义指数函数 10ayxR-2.5-2-1.5 -1-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-0.500.511.522.533.544.5(0,1)y=axy=axx01
6、0a1O (1,0) xy单增10a单减 无界正弦函数xysin R-/2O xy1-1 /2 3/2 2 奇函数 2T1y有界余弦函数xycos RO xy1-1 /2 3/22-/2偶函数2T1y有界正切函数xytan2kZO xy/2-/2奇函数T在每个周期内单增，无界 5华 夏 大 地 教 育 网 http/:www.edu- 自学考试：高数（一）串讲讲义余切函数xycot,kZ- Oy x 奇函数 T在每个周期内单减无界反正弦函数xyarcsin1,-/2/2 1-1 y xo 奇函数 单增2y有界反余弦函数xyarcos1,/21-1yxo单减y0有界反正切函数xyarctnR/2
7、-/2yxo奇函数单增2y有界反余切函数xycotar Ryxo/2单减y0有界例 2 求函数 的值域 2007.4()ln1),0.fxx 6华 夏 大 地 教 育 网 http/:www.edu- 自学考试：高数（一）串讲讲义解：由 可知 ，所以 ，故 的值域为0.x1xln(1)0x()l1),0.fxx,)例 3 . 1.下列函数中在所给的区间上是有界函数的为（ ）Af (x)= 0，1 Bf (x)= （-1，0）1 1Cf (x)=e x (-，+ ) Df (x)=lnx (0，+ )知识点：函数的有界性 注：函数的有界性是指值域的有界性。解：A ，故 f (x)= 在0 ，1上
8、为有界函数。112+xx当 0时 ， 1B 故 f (x)= 在（-1，0）上为无界函数。-1lim=+xCD 结合函数图像判断。例4、设函数 是定义在 上的任意函数，证明： ()f(,)a（1） 、 是偶函数(,)gxfxa（2） 、 是奇函数()(),知识点：奇偶性 若对于任何 ，恒有 成立，则称 是奇函数。若对于任何 ，x()(fxf()fxx恒有 成立，则称 是偶函数()ff奇函数的图形关于原点对称，偶函数的图形关于y 轴对称分析：因为 是定义在对称区间上，根据定义，只需证明：()gx（1） （2） ()(x只证（1）： 偶函数。)()()()gffffxxg例 5、求函数 的反函数.
9、 07.1044lo2lgy知识点：反函数 7华 夏 大 地 教 育 网 http/:www.edu- 自学考试：高数（一）串讲讲义求反函数的步骤是：先从函数 中解出 ，再置换 与 ，就得()yfx1()fyxy反函数 。1()yfx解：由 ，可得 ，所以 ，4441log2llog2x 42()logyx214y上式中 与 的记号互换，即得反函数为 1xy例 61. 设 f (x)=x3-x， ，则 f =( )2sin)()4(A.-2 B. C.0 D.22. 已知 f(x+1)=x2，则 f(x)=_.2009.10知识点 ：复合函数解：1. 3)f=sin-i 3()()044fi2
10、i答案：C2. 令 则 ，故由 可得 ，即 .1,xu1x2(1)fx2()1fu2()1fx二、 极限与连续 常见考试题型： 1、求函数或数列的极限。2、考察分段函数在分段点处极限是否存在， 函数是否连续。3、函数的连续与间断。4、求函数的渐进线。5、级数的性质及等比级数。6、零点定理。典型例题求极限方法总结：利用极限四则运算、 连续函数、重要极限、无穷小代换、洛比达法则等例7求 235lim1x知识点： 若函数 在点 处连续，()yfx000lim()xfx解 因为 8华 夏 大 地 教 育 网 http/:www.edu- 自学考试：高数（一）串讲讲义0716li3lim)1(li 22
11、2 xxx故 22li(35)57li 1mxx例8、21lim3x解 ： 2222 31lim3lili xxxx知识点：一般地，设 ，则0,abnN10limnnmxxbb0,a,.mn当当当例 9 _. 2007.72356linn解： 26533limlinn例10 （1） 、 2008.1 (2) 2009.112cos0li()xxlim1nn知识点：重要极限： 1，01()lim(),1li(), ()0,li(x uxt xxteuee 1,li()nanna 9华 夏 大 地 教 育 网 http/:www.edu- 自学考试：高数（一）串讲讲义解: (1) 2112cos cos00lim()li()xxx因为 ， 。210li()xxe2200lilisxx(2) 求 2009.1lim1nn解：(1)11lililimlinnnnn (1)()1limnn e例11. 2000tasicos(1)li(2)l(3)lim(4)lisn(207.1)xxxk知识点：重要极限 0()00innl1,li1,linxuxa解： 0000tansisi(1)limllcolcosxxxx2,uku000sinsilllim1snxxukk222000i(3)1climlil()oxxx20sin11lx(4) sin2lim(sn)l2n
