《2017-2018年高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 二 综合法与分析法学案（含解析）新人教a版选修4-5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 二 综合法与分析法学案（含解析）新人教a版选修4-5（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1二 综合法与分析法1综合法(1)定义从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法综合法又叫顺推证法或由因导果法(2)证明的框图表示用 P 表示已知条件或已有的不等式，用 Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为 PQ1 Q1Q2 Q2Q3 QnQ2分析法(1)定义证明命题时，从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法分析法又叫逆推法或执果索因法(2)证明过程的框图表示用 Q 表示要证明的不等式，则
2、分析法可用框图表示为 QP1 P1P2 P1P3得 到 一 个 明 显 成 立 的 条 件用综合法证明不等式已知 x0， y0，且 x y1，求证： 9.(11x) (1 1y)可将所证不等式左边展开，运用已知和基本不等式可得证，也可以用 x y 取代“1” ，化简左边，然后再用基本不等式法一： x0， y0，1 x y2 .xy xy .14 1 (11x)(1 1y) 1x 1y 1xy1 1 189.x yxy 1xy 2xy2当且仅当 x y 时，等号成立12法二： x y1， x0， y0， (11x)(1 1y) (1 x yx )(1 x yy ) (2yx)(2 xy)52 (
3、yx xy)5229.当且仅当 x y 时， 等号成立12综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间、不等式的左右两端之间的差异与联系合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键1已知 a， b， cR ，证明不明式： a b c ，当且仅当 a b c 时，ab bc ca等号成立证明：因为 a0， b0， c0，故有a b2 ，当且仅当 a b 时，等号成立；abb c2 ，当且仅当 b c 时，等号成立；bcc a2 ，当且仅当 c a 时，等号成立ca三式相加，得 a b c .ab bc ca当且仅当 a b c 时，等号成立2已知 a， b，
4、 c 都是实数，求证：a2 b2 c2 (a b c)2 ab bc ca.13证明： a， b， cR， a2 b22 ab， b2 c22 bc， c2 a22 ca.将以上三个不等式相加，得2(a2 b2 c2)2( ab bc ca)，即 a2 b2 c2 ab bc ca.在不等式的两边同时加上“ a2 b2 c2”，得3(a2 b2 c2)( a b c)2，3即 a2 b2 c2 (a b c)2.13在不等式的两端同时加上 2(ab bc ca)，得(a b c)23( ab bc ca)，即 (a b c)2 ab bc ca.13由，得 a2 b2 c2 (a b c)2
5、ab bc ca.13用分析法证明不等式已知 x0， y0，求证：( x2 y2) (x3 y3) .12 13不等式两边是根式，可等价变形后再证明分析每一步成立的充分条件要证明( x2 y2) (x3 y3) ，12 13只需证( x2 y2)3(x3 y3)2，即证 x63 x4y23 x2y4 y6x62 x3y3 y6，即证 3x4y23 x2y42x3y3. x0， y0， x2y20.即证 3x23 y22xy.3 x23 y2x2 y22 xy，3 x23 y22xy 成立( x2 y2) (x3 y3) .12 13(1)当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或
6、条件与结论之间的关系不明显时，可用分析法来寻找证明途径(2)分析法证明的关键是推理的每一步都必须可逆3求证： 0,2 0，要证 a b.求证： c 0， b0，且 a b1，求证： .a 1 b 1 6所证不等式含有开方运算且两边都为正数，可考虑两边平方，用分析法转化为一个不含开方运算的不等式，再用综合法证明要证 ，a 1 b 1 6只需证( )26，即证( a b)22 6.a 1 b 1 ab a b 1由 a b1，得只需证 ，即证 ab .ab 232 14由 a0， b0， a b1，得 ab 2 ，即 ab 成立(a b2 ) 14 14原不等式成立(1)通过等式或不等式的运算，将
7、待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式易于证明(2)有些不等式的证明，需要一边分析一边综合，称之为分析综合法，或称“两头挤”法，如本例，这种方法充分表明了分析法与综合法之间互为前提，互相渗透，相互转化的辩证统一关系5已知 a， b， c 都是正数，求证：2 3 .(a b2 ab) (a b c3 3abc)证明：法一：要证 2 3 ，(a b2 ab) (a b c3 3abc)只需证 a b2 a b c3 ，ab 3abc即2 c3 .ab 3abc5移项，得 c2 3 .ab 3abc由 a， b， c 为正数，得c2 c 3 成立ab ab ab 3abc原不等式成立法
8、二： a， b， c 是正数， c 3 3 .ab ab 3cabab 3abc即 c2 3 .故2 c3 .ab 3abc ab 3abc a b2 a b c3 .ab 3abc2 3 .(a b2 ab) (a b c3 3abc)6已知 a0， b0， nN *，求证： .an 1 bn 1an bn ab证明：先证 ，an 1 bn 1an bn a b2只要证 2(an1 bn1 )( a b)(an bn)，即要证 an1 bn1 anb abn0，即要证( a b)(an bn)0.若 a b，则 a b0， an bn0，所以( a b)(an bn)0；若 a0，综上所述，
9、( a b)(an bn)0.从而 .an 1 bn 1an bn a b2因为 a0， b0，所以 ，所以 .a b2 ab an 1 bn 1an bn ab课时跟踪检测(七)1设 a， bR ， A ， B ，则 A， B 的大小关系是()a b a bA A B B A B C A B D A B解析：选 C A2( )2 a2 b， B2 a b，所以 A2B2.又a b abA0， B0， A B.2 a， bR ，那么下列不等式中不正确的是()A. 2 B. a bab ba b2a a2bC. D. ba2 ab2 a bab 1a2 1b2 2ab解析：选 CA 项满足基本不
10、等式；B 项可等价变形为( a b)2(a b)0，正确；B 选6项中不等式的两端同除以 ab，不等式方向不变，所以 C 选项不正确；D 选项是 A 选项中不等式的两端同除以 ab 得到的，正确3设 a ， b ， c ，那么 a， b， c 的大小关系是()2 7 3 6 2A abc B acb C bac D bca解析：选 B由已知，可得出 a ， b ， c ，422 47 3 46 2 2 ， b1，aaab ab0，aaba (ab) ab a0， b0，若 P 是 a， b 的等差中项， Q 是 a， b 的正的等比中项， 是 ， 的1R 1a 1b等差中项，则 P， Q， R
11、 按从大到小的顺序排列为_解析： P ， Q ， ，a b2 ab 2R 1a 1b R Q P ，2aba b ab a b27当且仅当 a b 时，等号成立答案： P Q R7设 abc，且 恒成立，则 m 的取值范围是_1a b 1b c ma c解析： abc， a b0， b c0， a c0.又( a c) (1a b 1b c) ( 1a b 1b c)2 2 4，当且仅当 a b b c 时，等号成立， a b b c1a b1b c m(，4答案：(，48已知 a， b， c 均为正实数，且 b2 ac.求证： a4 b4 c4(a2 b2 c2)2.证明：要证 a4 b4
12、c4(a2 b2 c2)2成立，只需证 a4 b4 c4a4 b4 c42 a2b22 a2c22 b2c2，即证 a2b2 b2c2 a2c20. b2 ac，故只需证( a2 c2)ac a2c20. a0， c0，故只需证 a2 c2 ac0.又 a2 c22 ac ac， a2 c2 ac0 显然成立，原不等式成立9已知 a0， b0， c0，且 a， b， c 不全相等，求证： a b c.bca acb abc证明：因为 a， b， c(0，)，所以 2 2 c.bca acb bcaacb同理 2 a， 2 b.因为 a， b， c 不全相等，acb abc abc bca所以上述三个不等式中至少有一个等号不成立，三式相加，得2 2(a b c)，即 a b c.(bca acb abc) bca acb abc10设实数 x， y 满足 y x20,00， ay0，所以 ax ay2 2 .ax y ax x28因为 x x2 x(1 x) 2 ，x 1 x2 14又因为 0a ，12 ax x2 18所以 ax ay2 a .又因为 0a1，18所以 loga(ax ay)loga2a ，即 loga(ax ay)loga2 .18 18
