《2017-2018年高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 一 不等式 3 三个正数的算术—几何平均不等式学案（含解析）新人教a版选修4-5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 一 不等式 3 三个正数的算术—几何平均不等式学案（含解析）新人教a版选修4-5（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、13三个正数的算术几何平均不等式1定理 3如果 a， b， cR ，那么 ，当且仅当 a b c 时，等号成立，用文字语a b c3 3abc言可叙述为：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均(1)不等式 成立的条件是： a， b， c 均为正数，而等号成立的条件是：a b c3 3abc当且仅当 a b c.(2)定理 3 可变形为： abc 3； a3 b3 c33 abc.(a b c3 )(3)三个及三个以上正数的算术几何平均不等式的应用条件与前面基本不等式的应用条件是一样的，即“一正、二定、三相等” 2定理 3 的推广对于 n 个正数 a1， a2， an，它们的算术平均不小于它们的
2、几何平均，即 ，当且仅当 a1 a2 an时，等号成立a1 a2 ann na1a2an用平均不等式证明不等式已知 a， b， cR ，求证： 3.b c aa c a bb a b cc欲证不等式的右边为常数 3，联想到不等式 a b c3 (a， b， cR )，故将3abc所证不等式的左边进行恰当的变形 b c aa c a bb a b cc 3(ba cb ac) (ca ab bc)3 3 33bacbac 3caabbc633.当且仅当 a b c 时，等号成立(1)不等式的证明方法较多，关键是从式子的结构入手进行分析2(2)运用三个正数的平均不等式证明不等式时，仍要注意“一正、
3、二定、三相等” ，在解题中，若两次用平均值不等式，则只有在“相等”条件相同时，才能取到等号1已知 x0， y0，求证：(1 x y2)(1 x2 y)9 xy.证明：因为 x0， y0，所以 1 x y23 0，3xy21 x2 y3 0，故(1 x y2)(1 x2 y)3 3 9 xy.3x2y 3xy2 3x2y2已知 a1， a2， an都是正数，且 a1a2an1，求证：(2 a1)(2 a2)(2 an)3 n.证明： a1是正数，根据三个正数的平均不等式，有 2 a111 a13 .3a1同理 2 aj3 (j2,3， n)3aj将上述各不等式的两边分别相乘即得(2 a1)(2
4、a2)(2 an)(3 )(3 )(33a1 3a2)3 n .3an 3a1a2an a1a2an1，(2 a1)(2 a2)(2 an)3 n.当且仅当 a1 a2 an1 时，等号成立.用平均不等式求最值(1)求函数 y( x1) 2(32 x) 的最大值(11)的最小值4 x 1 2对于积的形式求最大值，应构造和为定值(2)对于和的形式求最小值，应构造积为定值(1)10， x10.32y( x1) 2(32 x)( x1)( x1)(32 x) 3 3 ，(x 1 x 1 3 2x3 ) (13) 127当且仅当 x1 x132 x，即 x 时， ymax .43 (1， 32) 12
5、7(2) x1， x10，y x (x1) (x1) 14 x 1 2 12 12 4 x 1 23 14，312 x 1 12 x 1 4 x 1 2当且仅当 (x1) (x1) ，12 12 4 x 1 2即 x3 时，等号成立即 ymin4.3(1)利用三个正数的算术几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大” (2)应用平均不等式定理，要注意三个条件即“一正、二定、三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如配系数、拆项、分离常数、平方变形等3设 x0，则 f(x)4 x 的最大值为()12x2A4 B4 C不存
6、在 D.22 2 52解析：选 D x0， f(x)4 x 4 43 4 12x2 (x2 x2 12x2) 3x2x212x2 32.524已知 x， yR 且 x2y4，试求 x y 的最小值及达到最小值时 x， y 的值解： x， yR 且 x2y4， x y x x y3 3 3.12 12 314x2y 3144当且仅当 y 时，等号成立x2 x2又 x2y4，当 x2， y1 时， x y 取最小值 3.用平均不等式解应用题如下图所示，在一张半径为 2 米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的由物理学知道，桌子边
7、缘一点处的照亮度 E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角 的正弦成正比，而和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即 E k .sin r24这里 k 是一个和灯光强度有关的常数，那么究竟应该怎样选择灯的高度 h，才能使桌子边缘处最亮？根 据 题 设 条 件 建 立 r与 的 关 系 式 将 它 代 入 E ksin r2 得 到 以 为 自 变 量 ， E为 因 变 量 的 函 数 关 系 式 用 平 均 不 等 式 求 函 数 的 最 值 获 得 问 题 的 解 r ， E k .2cos sin cos24 (00， y2 x 2 224，1x (x 1x)当且仅当 x ，即 x1 时
8、，等号成立1x2已知 a， b， c 为正数，则 有()ab bc caA最小值 3 B最大值 3 C最小值 2 D最大值 2解析：选 A 3 3，ab bc ca 3abbcca当且仅当 ，即 a b c 时，等号成立ab bc ca3若 logxy2，则 x y 的最小值是()A. B. C. D.3322 833 332 223解析：选 A由 logxy2，得 y .而 x y x 1x2 1x2 3 3 ，当且仅当 ，即 x 时，等号成立x2 x2 1x2 3x2x21x2 314 3322 x2 1x2 324已知圆柱的轴截面周长为 6，体积为 V，则下列不等式总成立的是()A V
9、B V C V D V 18 18解析：选 B设圆柱底面半径为 r，则圆柱的高 h ，所以圆柱的体积为6 4r26V r2h r2 r2(32 r) 3.6 4r2 (r r 3 2r3 )当且仅当 r32 r，即 r1 时，等号成立5若 a2， b3，则 a b 的最小值为_1 a 2 b 3解析： a2， b3， a20， b30，则 a b1 a 2 b 3( a2)( b3) 51 a 2 b 33 58.3 a 2 b 3 1 a 2 b 3当且仅当 a2 b3 ，即 a3， b4 时，等号成立1 a 2 b 3答案：86设 00.故 x(1 x)2 2x(1 x)(1 x) 312
10、 122x 1 x 1 x3 (当且仅当 x 时，等号成立)12 827 427 13答案：4277已知关于 x 的不等式 2x 7 在 x( a，)上恒成立，则实数 a 的最1 x a 2小值为_解析：2 x ( x a)( x a) 2 a.1 x a 2 1 x a 2 x a0，2 x 3 2 a32 a，当且仅当 x a1 x a 2 3 x a x a 1 x a 2即 x a1 时，等号成立1 x a 22 x 的最小值为 32 a.1 x a 2由题意可得 32 a7，得 a2.答案：28设 a， b， cR ，求证：7(a b c) .(1a b 1b c 1a c) 92证
11、明： a， b， cR ，2( a b c)( a b)( b c)( c a)3 0.3 a b b c c a 3 0，1a b 1b c 1a c 3 1a b1b c1a c( a b c) .(1a b 1b c 1a c) 92当且仅当 a b c 时，等号成立9已知正数 a， b， c 满足 abc1，求( a2)( b2)( c2)的最小值解：因为( a2)( b2)( c2)( a11)( b11)( c11)3 3 3 27 27，3a 3b 3c 3abc当且仅当 a b c1 时，等号成立所以( a2)( b2)( c2)的最小值为 27.10已知 a， b， c 均为
12、正数，证明： a2 b2 c2 26 ，并确定 a， b， c 为(1a 1b 1c) 3何值时，等号成立证明：法一：因为 a， b， c 均为正数，由平均值不等式，得a2 b2 c23( abc) ，23 3( abc) ，1a 1b 1c 13所以 29( abc) .(1a 1b 1c) 23故 a2 b2 c2 23( abc) 9( abc) .(1a 1b 1c) 23 23又 3(abc) 9( abc) 2 6 ，23 23 27 3所以原不等式成立当且仅当 a b c 时，式和式等号成立当且仅当 3(abc) 9( abc) 时，式等号成立23 23即当且仅当 a b c3 时，原式等号成立14法二：因为 a， b， c 均为正数，由基本不等式，得a2 b22 ab， b2 c22 bc， c2 a22 ac，8所以 a2 b2 c2 ab bc ac，同理 ，1a2 1b2 1c2 1ab 1bc 1ac故 a2 b2 c2 2 ab bc ac 6 ，(1a 1b 1c) 3ab 3bc 3ac 3所以原不等式成立当且仅当 a b c 时，式和式等号成立；当且仅当 a b c，( ab)2( bc)2( ac)23 时，式等号成立，即当且仅当 a b c3 时，原式等号成立14
