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1、解三角形专题复习解三角形基本知识一.正弦定理：1.正弦定理： （其中 R 是三角形外接圆的半径）CcBbAa2sinisin2.变形： c:角化边 CcBRsin2ii2边化角 Rbasnsn如：ABC 中， ，则ABC 是等腰三角形或直角三角形Aco ，则ABC 是等腰三角形。b3.三角形内角平分线定理：如图ABC 中， AD 是 的角平分线，则DCBA4.ABC 中，已知锐角 A，边 b，则 时， 无解；basina 或 时， 有一个解； 时， 有两个解。如：已知 ,求 (有一个解)32,60baAB已知 ,求 (有两个解)注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。二.三角形面积1. BacA
2、bcCaSABC sin21sisin212. ,其中 是三角形内切圆半径.r)(注: 由面积公式求角时注意解的个数三.余弦定理1.余弦定理： )cos1(2)(cos22 AbcAba BaBab)cs()(cs222 CCc注：后面的变形常与韦达定理结合使用。ACDB AbsinAb2.变形： bcaA2cosBabcC2cos注意整体代入，如： 21cos2Ba3.三角形中线：ABC 中， D 是 BC 的中点，则 2CAAD4.三角形的形状若 时,角 是锐角22cbaC若 时,角 是直角若 时,角 是钝角22c如: 锐角三角形的三边为 ,求 x 的取值范围; 钝角三角形的三边为 ,求
3、x 的取值范围;1 215.应用用余弦定理求角时只有一个解已知 ,求边32,60baAc四.应用题1.步骤：由已知条件作出图形，在图上标出已知量和要求的量；将实际问题转化为数学问题； 答2.注意方位角；俯角；仰角；张角；张角等如：方位角是指北方向顺时针转到目标方向线的角。ACDB方位角北 俯角仰角张角（3 ）在ABC 中，熟记并会证明：1） A，B ，C 成等差数列的充分必要条件是B=60；2） ABC 是正三角形的充分必要条件是A ，B，C 成等差数列且 a，b，c 成等比数列。二、典例解析题型 1：正、余弦定理（2009 岳阳一中第四次月考）.已知 ABC中， aur， ACbr， 0ar
4、， 154ABCS，3,5abr，则 （ ） A. 0o B 10o C 015 D 3o或 015答案 C1、在ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（）Ab=20， A=45，C =80 Ba=30，c=28，B=60Ca=14， b=16，A=45 Da=12，c=15，A=1202、 30125,oo在 中 ， 已 知 ， 解 三 角 形 。Bb3、已知 求 的边长以及外接圆tan,t,BC面 积 为 ， BC的面积。1、在 中，若其面积 ，则 =_。ABC2243abcS2、边长为 5，7，8 的三角形的最大角与最小角的和是（ ）A B C D 090120135013、 在
5、 中，34,cos,.AaAb求例 2 （1 ）在 ABC 中，已知 ， ， ，求 b 及 A；23620B 2.b06.A题型 2：三角形面积例 3在 中， ， ， ，求 的值和 的面积。ABCsincoA2CAB3tanABC,13tant(4560)o。SACBB12264326sin()例 4 （2009 湖南卷文）在锐角 中， 1,CBA则 cosC的值等于 ，AC的取值范围为 . 答案 2 )3,( 例 5 （2009 浙江理） （本题满分 14 分）在 ABC中，角 ,所对的边分别为 ,abc，且满足2cosA， 3BACur （I）求 的面积； （II）若 6bc，求 a的值1
6、sin2ABCSbc25a 例 6 （2009 全国卷理）在 ABC中，内角 A、B、C 的对边长分别为 a、 b、 c，已知 2acb，且 sinco3sin,A 求 b 4b.题型 3：三角形中求值问题例 7 的三个内角为 ，求当 A 为何值时， 取得最大值，并求出ABCABC、 、 cos2BCA这个最大值。最大值为 。32例 8 （2009 浙江文） （本题满分 14 分）在 ABC中，角 ,所对的边分别为 ,abc，且满足5cosA， 3BACur （I）求 的面积； （II）若 1c，求 a的值C的面积为： 254sin21bc所以 53oAa题型 4：三角形中的三角恒等变换问题例
7、 9在ABC 中，a、b、c 分别是A、B、C 的对边长，已知 a、b、c 成等比数列，且a2c 2=acbc，求A 的大小及 的值。csinA=60， =sin60= 。ac60isin223例 10在 ABC 中，已知 A、B、C 成等差数列，求 的值。2tan32tant CAA题型 5：正、余弦定理判断三角形形状例 11在 ABC 中，若 2cosBsinAsinC，则ABC 的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形答案：C1、在ABC 中，若 ，请判断三)sin()()sin()( 22 BAbaBAba 角形的形状。2、在ABC 中，面积
8、且 判定三角形224,cSsinisin,C形状。3、在ABC 中， ，判断三角形形状。22135cos,():():Aabc综合应用例 12 （ 2009 四川卷文）在 ABC中， 、 为锐角，角 ABC、 、 所对的边分别为 abc、 、 ，且510sin,siA（I）求 的值；（II）若 21ab，求 abc、 、 的值。 题型 6：正余弦定理的实际应用例 13 （2009 辽宁卷理）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 075， 3，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为
9、06，AC=0.1km。试探究图中 B，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D 的距离（计算结果精确到 0.01km， 21.414， 2.449） 。（2） （2009 宁夏海南卷理） （本小题满分 12 分）为了测量两山 顶M， N 间的距离，飞机沿水平方向在 A，B 两点进行测量，A，B，M，N 在同一个铅垂平面内（如示意图） ，飞机能够测 量的数据有俯角和 A，B 间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出） ；用 文字和公式写出计算 M，N 间的距离的步骤北2010A BC21.（ 2009 四川卷文）在 ABC中， 、 为锐角，角 ABC、 、 所对的边分别为 abc、 、 ，且510sin,siA（I）求 的值；（II）若 21ab，求 abc、 、 的值。
