《2017-2018学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3 直线与平面 2.3.4 平面与平面垂直的性质（二）学案（含解析）新人教a版必修2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3 直线与平面 2.3.4 平面与平面垂直的性质（二）学案（含解析）新人教a版必修2（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、- 1 -第二课时直线与平面、平面与平面垂直的性质(习题课)1直线与平面垂直的性质定理是什么？略2直线与平面垂直的性质定理有什么作用？略3平面与平面垂直的性质定理是什么？略4平面与平面垂直的性质定理有什么作用？略线面、面面垂直的综合问题例 1如图，已知直线 a ，直线 b ，且 AB a， AB b，平面 c.求证： AB c.解证明：过点 B 作直线 a a，a与 b 确定的平面设为 .因为 a a， AB a，所以 AB a，又 AB b， a b B，所以 AB .因为 b ， c ，所以 b c.因为 a ， c ，所以 a c，又 a a，所以 a c.由可得 c ，又 AB ，所以
2、 AB c.类题通法判断线线、线面的平行或垂直关系，一般要利用判定定理和性质定理，有时也可以放到特殊的几何体中(如正方体、长方体等)然后再判断它们的位置关系活学活用如图所示：平面 ， ，直线 a，且 ， AB， a ， a AB.求证：a .- 2 -证明：如图， a ，过 a 作平面 交 于 a，则 a a. a AB， a AB. ， AB， a ， a .求点到面的距离例 2已知 ABC， AC BC1， AB ，又已知 S 是 ABC 所在平面外一点，2SA SB2， SC ，点 P 是 SC 的中点，求点 P 到平面 ABC 的距离5解法一：如图所示，连接 PA， PB.易知 SAC
3、， ACB 是直角三角形，所以 SA AC， BC AC.取 AB， AC 的中点 E， F，连接 PF， EF， PE，则 EF BC， PF SA.所以 EF AC， PF AC.因为 PF EF F，所以 AC平面 PEF.又 PE平面 PEF，所以 PE AC.易证 SAC SBC.因为 P 是 SC 的中点，所以 PA PB.而 E 是 AB 的中点，所以 PE AB.因为 AB AC A，所以 PE平面 ABC.从而 PE 的长就是点 P 到平面 ABC 的距离在 Rt AEP 中， AP SC ， AE AB ，12 52 12 22所以 PE ，AP2 AE254 12 32即
4、点 P 到平面 ABC 的距离为 .32法二：如图所示，过 A 作 AE BC，交 SC 于点 E，过 B 作BF AC，交 AE 于点 D，则四边形 ACBD 为正方形连接 SD.因为 AC SA， AC AD， SA AD A，所以 AC平面 SDA.所以 AC SD.又由题意，可知 BC SB.因为 BC BD，- 3 -SB BD B，所以 BC平面 SDB，所以 BC SD.又 BC AC C，于是 SD平面 ACBD.所以 SD 的长为点 S 到平面 ABC 的距离在 Rt SDA 中易得 SD .SA2 AD2 22 12 3因为 P 为 SC 的中点，故点 P 到平面 ABC
5、的距离为 SD .12 32类题通法求点到面的距离的关键是确定过点与平面垂直的线段可通过外形进行转化，转化为易于求解的点，等体积法也是求点到平面的距离的常用方法活学活用如图所示，正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，底面边长为 2 ，侧棱长为 4， E， F 分别为2棱 AB， BC 的中点， EF BD G.(1)求证：平面 B1EF平面 BDD1B1；(2)求点 D1到平面 B1EF 的距离解：(1)证明：连接 AC，正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是正方形， AC BD.又 AC DD1，且 BD DD1 D，故 AC平面 BDD1B1. E， F 分别为棱 AB， BC 的中
6、点，故 EF AC， EF平面 BDD1B1，又 EF平面 B1EF，平面 B1EF平面 BDD1B1.(2)由(1)知平面 B1EF平面 BDD1B1且交线为 B1G，所以作 D1H B1G 于 H，则 D1H平面 B1EF，即 D1H 为 D1 到平面 B1EF 的距离 B1D1 BD，- 4 - D1B1H B1GB，sin D1B1Hsin B1GB .442 12 417在 D1B1H 中， D1B14，sin D1B1H ， D1H .417 1617 161717折叠问题例 3如图，在矩形 ABCD 中， AB2 AD， E 是 AB 的中点，沿 DE 将 ADE 折起(1)如果
7、二面角 ADEC 是直二面角，求证： AB AC；(2)如果 AB AC，求证：平面 ADE平面 BCDE.解证明：(1)过点 A 作 AM DE 于点 M，则 AM平面BCDE， AM BC.又 AD AE， M 是 DE 的中点取 BC 的中点 N，连接 MN， AN，则 MN BC.又 AM BC， AM MN M， BC平面 AMN， AN BC.又 N 是 BC 的中点， AB AC.(2)取 BC 的中点 N，连接 AN. AB AC， AN BC.取 DE 的中点 M，连接 MN， AM， MN BC.又 AN MN N， BC平面 AMN， AM BC.又 M 是 DE 的中点
8、， AD AE， AM DE.又 DE 与 BC 是平面 BCDE 内的相交直线， AM平面 BCDE. AM平面 ADE，平面 ADE平面 BCDE.类题通法解决折叠问题的策略(1)抓住折叠前后的变量与不变量一般情况下，在折线同侧的量，折叠前后不变， “跨过”折线的量，折叠前后可能会发生变化，这是解决这类问题的关键(2)在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况注意相应的点、直线、平面间的位置关系，线段的长度，角度的变化情况- 5 -活学活用如图 1，在边长为 4 的菱形 ABCD 中， DAB60，点 E， F 分别是边 CD， CB 的中点，AC EF O.沿 EF 将 C
9、EF 翻折到 PEF，连接 PA， PB， PD，得到如图 2 的五棱锥 PABFED，且 PB .10(1)求证： BD平面 POA；(2)求四棱锥 PBFED 的体积解：(1)证明：点 E， F 分别是边 CD， CB 的中点， BD EF. ABCD 是菱形， BD AC， EF AC，翻折后 EF AO， EF PO， AO平面 POA， PO平面 POA， AO PO O， EF平面 POA， BD平面 POA.(2)如图，设 AO BD H，连接 BO， ABCD 是菱形， AB AD. DAB60， ABD 为等边三角形， BD4， BH2， HA2 ， HO PO .3 3在
10、Rt BHO 中， BO ，BH2 HO2 7在 PBO 中， BO2 PO210 PB2， PO BO. PO EF， EF BO O， EF平面 BFED，BO平面 BFED， PO平面 BFED，又梯形 BFED 的面积为 S (EF BD)HO3 ，12 3四棱锥 PBFED 的体积 V SPO 3 3.13 13 3 3随堂即时演练1.如图所示，三棱锥 PABC 的底面在平面 上，且 AC PC，平面- 6 -PAC平面 PBC，点 P， A， B 是定点，则动点 C 运动形成的图形是()A一条线段 B一条直线C一个圆 D一个圆，但要去掉两个点答案：D2在三棱锥 PABC 中，平面
11、PAC平面 ABC， PCA90， ABC 是边长为 4 的正三角形， PC4， M 是 AB 边上的一动点，则 PM 的最小值为()A2 B23 7C4 D43 7答案：B3若构成教室墙角的三个墙面记为 ， ， ，交线记为 BA， BC， BD，教室内一点 P到三墙面 ， ， 的距离分别为 3 m，4 m,1 m，则 P 与墙角 B 的距离为_ m.答案： 264.如图所示，平面 平面 ， A ， B ， AA A B， BB A B，且AA3， BB4， A B2，则三棱锥 AA BB的体积V_.答案：45如图，在梯形 ABCD 中， AB CD， E， F 是线段 AB 上的两点，且DE
12、 AB， CF AB， AB12， AD5， BC4 ， DE4.现将 ADE， CFB 分别沿 DE， CF 折起，2使 A， B 两点重合于点 G，得到多面体 CDEFG.(1)求证：平面 DEG平面 CFG；(2)求多面体 CDEFG 的体积解：(1)证明：由已知可得 AE3， BF4，则折叠完后 EG3， GF4.又因为 EF5，所以可得 EG GF.又因为 CF底面 EGF，可得 CF EG，即 EG平面 CFG，所以平面 DEG平面CFG.(2)16 课时达标检测一、选择题1已知 l， m， n 为两两垂直的三条异面直线，过 l 作平面 与直线 m 垂直，则直线 n与平面 的关系是
13、()- 7 -A n B n 或 nC n 或 n 与 不平行 D n答案：A2.如图所示，在正四面体 PABC 中， D， E， F 分别是AB， BC， CA 的中点，下面四个结论不成立的是()A BC平面 PDFB DF平面 PAEC平面 PDF平面 ABCD平面 PAE平面 ABC答案：C3已知直线 m， n，平面 ， ，给出下列命题：若 m ， m ，则 ；若 m ， m ，则 ；若 m ， m ，则 ；若异面直线 m， n 互相垂直，则存在过 m 的平面与 n 垂直其中正确的命题是()A BC D答案：D4.如图，在 Rt ACB 中， ACB90，直线 l 过点 A 且垂直于平
14、面ABC，动点 P l，当点 P 逐渐远离点 A 时， PCB 的大小()A变大B变小C不变D有时变大有时变小答案：C5.如图，在四面体 DABC 中，若 AB CB， AD CD， E 是 AC 的中点， 则下面结论正确的是()A平面 ABC平面 ABDB平面 ABD平面 BDCC平面 ABC平面 BDE，且平面 ADC平面 BDED平面 ABC平面 ADC，且平面 ADC平面 BDE答案：C二、填空题6 ， 是两个不同的平面， m， n 是平面 及 之外的两条不同的直线，给出四个论断： m n； ； n ； m .以其中三个论断作为条件，余下一个论断作- 8 -为结论，写出你认为正确的一个命题：_.答案：若，则(或若，则)7如图所示，沿直角三角形 ABC 的中位线 DE 将平面 ADE 折起，使得平面 ADE
