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1、10.2 110.2 部分相干光的干涉第二章讨论了相干光的干涉，这章将讨论部分相干光的干涉。A. 两个部分相干光的干涉两个部分相干波 、 的统计特性不仅可由它们互相干方程表示，1U2也可由它们的波动的相互关联程度的测量来描述。给点位置 和时间 t，rv这两个波的强度分别为 和 ，而它们的相互关联21I2IU可由统计的平均值 表示，它的归一化形式：22G， (10.2-1)12/2gI当这两个波叠加在一起，它们的平均强度的和为： 222111212IUUU2212ReIGIG， (10.2-2)/11g， (10.2-3) /212cosII 12arg是 的相位。式(10.2-3)右侧第三项代
2、表光的干涉。2g这里有两个重要的界限： 对于两个完全相干的波， ， ，干涉公式12exp()gj12g(10.2-3)变回两个相位差为 相干光的干涉公式（2.4-5） 。对于两个不相干的光， ， ，则不发生干涉。12012I在一般情况下，如图10.2-1，假定归一化强度I 随相位 以正弦形式变化，干涉的强度用可见度 表示（干涉图样的调制深度或对比度）：V，maxinI和 代表不同 下强度 I 的最大和最小值。因为 值在-1 到 1 间，所以maxIincos可得：， (10.2-4)1/2()IVg 图 10.2-1 两个强度都为 I0 的部分相干波叠加后的归一化的光强 I/I0 随归一化互光
3、强 g12 的相位 变化，这种正弦模式的可见度 V=g 12。10.2 2可见度与正交相关值 的绝对值成正比，在一些特殊情况下，当12gI1=I2，那么可见度： ， (10.2-5)V那么，干涉方程(10.2-3) 在许多特殊背景下阐释 部分相干光发生干涉时的时间相干性和空间相干性的作用效果。B干涉和时间相干性强度为 的部分相干波 ，复时间相干度：0I()Ut0)/gtI与它的时间延迟 叠加后的强度会是怎样的？()Ut()t利用干涉公式(10.2-3) ， 、 、1()Ut2()t， ，得：012I1200/()/gItIg，(10.2-6)0Re()cos()I g其中 。很明显，波与它的时
4、间延迟之间发生干涉的能力由该时()ar间延迟下的复时间相干度决定。给波增加一个它的时间延迟副本的方法，可以通过用分光镜产生两个相同的波，其中一个波经过的光程长点，然后再次重叠。这个过程可以由迈克尔孙干涉仪实现，如图 2.5-3。例：10.1D 中介绍了部分相干平面波方程 （方程 10.1-25） ，它的 复时间相干度为 。波的谱线宽度为 ，0()exp(2)agj 1/cc相干时间 为 的宽度。代入(10.2-6)，得：c， (10.2-7)0021()cos()aaI其中 。()rga10.2 3例：图 10.2-2 中，I 和 的关系称作一个干涉图。假设 ， 0c由于 ，所以与周期 相比，
5、 和 变化很01/cc01/()aga慢。在特定时间延迟 的附近干涉图的可见度为 。可 ()V见度在 附近有一个峰值 1，在 处为零（光程差远远大于相干长c度 ） 。对于图 10.2-2 中的 迈克尔逊干涉仪 ， 。只cl 21()/dc有在光程差小于相干长度时才发生干涉。图 10.2-2 部分相干平面波入射迈克尔孙干涉仪时，归一化强度 随0/2I时间延迟的变化，可见度等于复时间相干度的倍数。应用：因此，一个波的复时间相干度 的大小可以被测量，通过()g监测随时间延迟变化的可见度而得到。 的相位可以通过观察图样峰值的位置求得。以功率谱密度的形式重新揭示(10.2-6)，利用 和 间傅里叶()G
6、Sv变换关系：，0()()exp2)GIgSvjd代入(10.2-6) 中，因为 为实函数、 ，得：00(vI， (10.2-8)02()1cos()Iv说明：这个方程可理解为由波的每一个单色波成分按权重叠加的干涉图样。每一单色成分 产生一个周期为 、可见度为 1 的干涉图样，/v由于每一个成分的周期不同，所叠加后的干涉图样可见度下降。应用：方程（10.2-8）给我们提供了一种确定光源的 光谱密度 的()Sv方法，测量干涉图样的光强 I 随时间延迟 的变化，并利用傅里叶变换而得到，这种方法称为傅里叶变换光谱学。10.2 4C. 干涉与空间相干性空间相干性的干涉效应可以用杨氏双孔干涉实验来演示（
7、练习 2.5-2 就是讨论相干光的） 。一个部分相干光的波 照到不透明的屏幕上，这(,)Urtv个屏幕上有两个位置为 r1 和 r2 的小孔。波的互相干函数为：，复相干度为 。假设1212G(,)(,),)rrtvv12g(,)rv两个小孔处的光强是相等的。光发生衍射形成了以小孔的中心的两个球面波。两个波发生干涉，可以在位置 处的观察平面上看到光强 I 的叠加，观察屏到小孔的距离 drv应足够大，以便菲涅尔近似得以适用。在笛卡尔直角坐标系中（如图 10.2-3） ， 和 。这样观测到光强是关1(,0)ra2(,0)ra3(,0)rxdv于 x 的函数，两个小孔的张角 是一个重要的几何参数。/图
8、 10.2-3 杨氏双孔干涉。入射波是准单色光，小孔处的归一化互光强是 。12g(,)rv观测平面归一化强度 是一个关于 x 的正弦函数，I/2o周期是 ，可见度是 。12g(,)Vrv在菲涅尔近似（抛物面近似）下见 2.2-16，两个衍射球面波的和的近似关系为：(,)Urtv， （10.2-9a ）211 1|r-()/,(,t)(,cdxadtUtcv， （10.2-9b）222 2|r-()/(,)(,t)(,rt tv两个光强近似相等 。120I10.2 5两个波在 处的归一化的互相关为：rv， （10.2-10）122120(,),gg(,)xUrttrIv其中 （10.2-11）2
9、12xr-()adccxacv是两个波相遇时的时间延迟。将 10.2-10 代入干涉公式 10.2-3，得到可观测的光强 I I(x)：， （11.2-16）012xI(x)|g(r,)|cosxv其中 ，这个方程描述了在观察平面上光强随位置 x12xarg,的分布图案，以两小孔的时间延迟为 处的复相干度的大小和/xc相位的方式表示。准单色光 wo/2如果光是中心频率为 的准单色光，也就是0当 ，则由（10.2-12）给出：12120g(,)(,)exp()rrjvv， （10.2-13）0cosIxV其中， ， ， = ， 。干c/12|(,)|grvx/c12arg(,)v涉条纹的正弦函数
10、，周期 ，可见度 V。在类似于时间的情形， 干涉/条纹的可见度等于两个小孔的 空间复相干度 的大小 （图 10.2-3） 。 波峰位置取决于复空间相干度的相位 。来自扩展源的光的干涉在杨氏干涉中，a 如果入射波是沿 z 轴方向传播相干的平面波，即，那么 ，所以 ，0(,)exp()(2)Urtjkzjtv12(,)grv12(,)grv。则干涉条纹的可见度为 1，波峰位置在 x=0。12ag0b 如果入射波是一个在 x-z 平面与 z 轴成 （很小）的倾斜角入射x的平面波： ，x0U(,)ep-j(k)ep(2)rt jtv10.2 6那么 ，可见度依然是 ，但是倾斜引入了12x(,)ep(2
11、)grjkav 1V相位移 ，所以干涉条纹横向移动了一个周期x/中的一小部分 ，当相移 ，图样移动了一个周期。a/假设入射光是来源于对小孔平面张角为 的相互独立的平面波集合，s如图（11.2-5 ） 。那么相移的浮动范围为 ，干2/a2a/s（ ）涉图样为相互错开的正弦函数的叠加。如果 = ， 浮动范围 ，s干涉亮暗条纹相互重叠，可见度降为 0。图 10.2-4 当光源的角直径 时，杨氏干涉图样消失，a2/s如果距离 2a 小于 ，衍射图样可见。我们总结出当光源张角 = （比 大）时两个小孔的空/间相干度很小。可测得屏上光波的相干距离： ， （10.2-14） 。相s干面积为： ， （10.2
12、-15 ） 。2(/)csA例：太阳的张角 是 0.5 度，所以过滤后的波长 的太阳光的相干距离的是 ， =0.5 微米， 约等于 57.5 微米。cs/15c更严格的分析表明（10.3C） ，对于一个光强一致的环形非相干光源横向相干距离 。c.2s频谱宽度对干涉的影响最后，我们检验杨氏双孔干涉仪中谱线宽度对干涉的影响。假定入射光的功率谱密度是以 为中心频率的很窄的函数（宽度为 ） ，0c。复相干度的形式为：0c10.2 7， （10.2-17）12a120g(,)(,)exp()rrjvv是 的缓变函数（与周期 相比） 。将（10.2-17 ）带入（ 10.2-12） ，a12(,)/得：
13、， （10.2-18 ）0cos()xxIxV其中 ，12g(,)xxrv， ， 。a/c0/因此，干涉图样是周期为 的正弦函数，但可见度 和相位角xV是变化的，它们分别等于两小孔的复相干度的大小和相位（在时间延x迟为 的估计值） 。在 处 ，并随 的增加/c0a12g(,)rv而减小，当 时， ；在 处可见度 ，并ca12g(,)rv0x1xV随 x 增大而减小，当 时减为零。干涉条纹在距离/cx才时可见，其中 是相干长度， 两个小孔对观察屏的张角。/cll（图 10.2-5）图 10.2-5 杨氏干涉图样在位置 x 处的可见度等于孔处的复相干度的大小（时间延迟为 ） 。对于空间相干光，可见的干涉条纹数等于相干长度与中心波长的/xc比值，或者中心频率与谱线宽度的比值。可见的条纹数为 ，相干长度与中0/cccxl心波长的比值 和中心频率与谱线宽度的比值 相等。/cl很明显，当 时，即当光源是非空间相干的，可见度a12g(,0)rv会进一步减小，甚至几乎看不到条纹。10.2 8
