《2017-2018年高中数学 第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 第二课时 数列的通项公式与递推公式学案（含解析）新人教a版必修5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 第二课时 数列的通项公式与递推公式学案（含解析）新人教a版必修5（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第二课时数列的通项公式与递推公式数列的递推关系提出问题某剧场有 30 排座位，第一排有 20 个座位，从第二排起，后一排都比前一排多 2 个座位问题 1：写出前五排座位数提示：20,22,24,26,28.问题 2：第 n 排与第 n1 排座位数有何关系？提示：第 n1 排比第 n 排多 2 个座位问题 3：第 n 排座位数 an与第 n1 排座位数 an1 能用等式表示吗？提示：能 an1 an2.导入新知如果已知数列 an的第一项(或前几项)，且任一项 an与它的前一项 an1 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式化解疑难1数列的递推公式是给出数
2、列的另一重要形式，由递推公式可以依次求出数列的各项2有些数列的通项公式与递推公式可以相互转化，如数列 1,3,5，2 n1，的一个通项公式为 an2 n1( nN *)，用递推公式表示为a11， an an1 2( n2， nN *)数列的表示方法例 1根据数列 an的通项公式，把下列数列用图象表示出来( n5，且 nN *)(1)an(1) n2；(2)an .n 1n解(1)数列 an的前 5 项依次是 1,3,1,3,1，图象如下图所示(2)数列 an的前 5 项依次是 2，图象如下图所示324354652类题通法通项公式法、列表法与图象法表示数列的优点(1)用通项公式表示数列，简洁明了
3、，便于计算公式法是常用的数学方法(2)列表法的优点是不经过计算，就可以直接看出项数与项的对应关系(3)图象能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项变化的趋势活学活用一辆邮车每天从 A 地往 B 地运送邮件，沿途(包括 A， B)共有 8 站，从 A 地出发时，装上发往后面 7 站的邮件各一个，到达各站后卸下前面各站发往该站的邮件，同时装上该站发往后面各站的邮件各一个试用列表法表示邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成的数列解：将 A， B 之间所有站按序号 1,2,3,4,5,6,7,8 编号通过计算，各站装卸完毕后剩余邮件个数依次构成数列 7,12,15,16,15,12,7,0，如下表：站号
4、( n) 1 2 3 4 5 6 7 8剩余邮件数( an) 7 12 15 16 15 12 7 0由递推公式求数列中的项例 2已知数列 an的第 1 项 a11，以后的各项由公式 an1 给出，试写出2anan 2这个数列的前 5 项解 a11， an1 ，2anan 2 a2 ，2a1a1 2 23a3 ，2a2a2 222323 2 12a4 ，2a3a3 221212 2 253a5 .2a4a4 222525 2 13故该数列的前 5 项为 1， .231225 13类题通法根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可另外，解答这类问题时还需注意：若知
5、道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式活学活用设数列 an满足 a12， an2 (n1， nN *)，试写出这个数列的前 4 项1an 1解： a12， an2 (n1， nN *)，1an 1 a22 ， a32 ， a42 .1a1 52 1a2 125 1a3 2912由递推公式归纳数列的通项公式例 3已知数列 an的第 1 项是 2，以后的各项由公式 an (n2,3,4，)an 11 an 1给出，写出这个数列的前 5 项，并归纳出数列 an的通项公式解可依次代入项数进行求值a12， a2 2，
6、 a3 ，21 2 21 2 23a4 ， 231 ( 23) 25a5 . 251 ( 25) 27即数列 an的前 5 项为 2，2， ， ， .23 25 27也可写为 ， ， ， ， . 2 1 21 23 25 27即分子都是2，分母依次加 2，且都是奇数，4所以 an (nN *)22n 3类题通法根据递推公式写出数列的前几项，然后由前几项分析其特点、规律，归纳总结出数列的一个通项公式活学活用已知数列 an满足 a11， an an1 (n2)，写出该数列的前 5 项，并归1n n 1纳出它的一个通项公式解： a11，a2 a1 1 ，121 12 32a3 a2 ，132 32
7、16 53a4 a3 ，143 53 112 74a5 a4 .154 74 120 95故数列的前 5 项分别为 1， .325374 95由于 1 ， ， ，21 11 32 22 12 53 23 13 ， ，74 24 14 95 25 15故数列 an的一个通项公式为 an 2 .2n 1n 1n2巧析递推数列求通项公式两种常用方法递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接，下面介绍由递推数列求通项公式的两种方法【角度一】累加法若数列 an满足 an1 an f(n)，需用累加法，即 an( an an1
8、)( an1 an2 )5( a2 a1) a1来求 an.例 1已知 a11， an1 an2，求数列 an的一个通项公式解 a11， an1 an2， a2 a12， a3 a22， a4 a32，an an1 2( n2)，将这些式子的两边分别相加，(a2 a1)( a3 a2)( a4 a3)( an an1 )2( n1)，即 an a12( n1)，又 a11， an2 n1( n2)，当 n1 时， a11 也满足上式，故数列 an的一个通项公式为 an2 n1.【角度二】累乘法若数列 an满足 f(n)，需用累乘法，即 an a1来anan 1 anan 1 an 1an 2
9、a3a2 a2a1求 an.例 2已知数列 an中， a12， an1 3 an(nN *)，求数列 an的通项公式解由 an1 3 an得 3.an 1an因此可得 3， 3， 3， 3.a2a1 a3a2 a4a3 anan 1将上面的 n1 个式子相乘可得 3 n1 .a2a1 a3a2 a4a3 anan 1即 3 n1 ，所以 an a13n1 ，ana1又 a12，故 an23 n1 .随堂即时演练1符合递推关系式 an an1 的数列是()2A1,2,3,4， B1， ，2,2 ，2 2C. ，2， ，2， D0， ，2,2 ，2 2 2 2解析：选 BB 中从第 2 项起，后一
10、项是前一项的 倍，符合递推公式 an an1 .2 22数列 ， ，的递推公式可以是()1214181166A an (nN *) B an (nN *)12n 1 12nC an1 an(nN *) D an1 2 an(nN *)12解析：选 C数列从第 2 项起，后一项是前一项的 ，故递推公式为12an1 an(nN *)123设 an是首项为 1 的正项数列，且( n1) a na an1 an0( n1,2,3，)，2n 1 2n则它的通项公式 an_.解析：( n1) a an1 an na 0，2n 1 2n( an1 an)(n1) an1 nan0，又 an1 an0，( n
11、1) an1 nan0，即 ， an 1an nn 1 a2a1 a3a2 a4a3 a5a4 anan 1 ， a11， an .12 23 34 45 n 1n 1n答案：1n4已知数列 an满足 a10， (nN *)，则数列 an是_数列(填“递an 1an 13增”或“递减”)解析：由已知 a10， an1 an(nN *)，13得 an0(nN *)又 an1 an an an an0，( n1) an1 nan0. .an 1an nn 1 an a1 a2a1 a3a2 anan 11 .12 23 34 n 1n 1n法二：(换元法)由已知得( n1) an1 nan0，设 bn nan，则 bn1 bn0. bn是常数列 bn b11 a11，即 nan1. an .1n
