《2017-2018年高中数学 第二讲 参数方程 一 曲线的参数方程 1 参数方程的概念学案（含解析）新人教a版选修4-4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 第二讲 参数方程 一 曲线的参数方程 1 参数方程的概念学案（含解析）新人教a版选修4-4（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1一 曲线的参数方程 1参数方程的概念1参数方程的概念在平面直角坐标系中，曲线上任一点的坐标 x， y 都是某个变数 t 的函数：Error!，并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点 M(x， y)都在这条曲线上，那么方程组就叫这条曲线的参数方程， t 叫做参变数，简称参数相对于参数方程而言，直接给出坐标间关系的方程叫做普通方程2参数的意义参数是联系变数 x， y 的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数求曲线的参数方程如图， ABP 是等腰直角三角形， B 是直角，腰长为 a，顶点 B， A 分别在 x 轴、 y 轴上滑动，求点 P 在第一象限的
2、轨迹的参数方程此类问题的关键是参数的选取本例中由于 A， B 的滑动而引起点 P 的运动，故可以OB 的长为参数，或以角为参数，不妨取 BP 与 x 轴正向夹角为参数来求解法一：设 P 点的坐标为( x， y)，过 P 点作 x 轴的垂线交 x 轴于点 Q.如图所示，则 Rt OABRt QBP.取 OB t， t 为参数(0 t a)| OA| ，a2 t2| BQ| .a2 t2点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为Error!(0 t a)法二：设点 P 的坐标为( x， y)，过点 P 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 Q，如图所示2取 QBP ， 为参数 ，(0 2)则 ABO . 2在
3、 Rt OAB 中，|OB| acos asin .( 2 )在 Rt QBP 中，|BQ| acos ，| PQ| asin .点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为Error! .( 为 参 数 ， 0 2)求曲线参数方程的主要步骤第一步，画出轨迹草图，设 M(x， y)是轨迹上任意一点的坐标画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系第二步，选择适当的参数参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x， y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是 x， y 的值可以由参数唯一确定例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数此外，离某
4、一定点的“有向距离” ，直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略1设质点沿以原点为圆心，半径为 2 的圆做匀角速度运动，角速度为 rad/s，试以60时间 t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程3解：如图，运动开始时质点位于点 A 处，此时 t0，设动点 M(x， y)对应时刻 t，由图可知Error!( 为参数)，又 t，60故参数方程为Error!( t 为参数)2选取适当的参数，把直线方程 y2 x3 化为参数方程解：选 t x，则 y2 t3.由此得直线的参数方程为Error!( t
5、为参数)也可选 t x1，则 y2 t1.参数方程为Error!( t 为参数).参数方程表示的曲线上的点已知曲线 C 的参数方程是Error!(t 为参数)(1)判断点 M1(0,1)， M2(5,4)与曲线 C 的位置关系；(2)已知点 M3(6， a)在曲线 C 上，求 a 的值由参数方程的概念，只需判断对应于点的参数是否存在即可，若存在，说明点在曲线上，否则不在曲线上(1)把点 M1的坐标(0,1)代入方程组，得Error!解得 t0.点 M1在曲线 C 上同理，可知点 M2不在曲线 C 上(2)点 M3(6， a)在曲线 C 上，Error!解得 t2， a9. a9.参数方程是曲线
6、方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是一致的3曲线( x1) 2 y24 上的点可以表示为()A(1cos ，sin ) B(1sin ，cos )C(12cos ，2sin ) D(12cos ，2sin )解析：选 D将点的坐标代入方程，使方程成立的即可4已知某条曲线 C 的参数方程为Error!(其中 t 为参数， aR)，点 M(5,4)在该曲线上，求常数 a.4解：点 M(5,4)在曲线 C 上，Error!解得Error! a 的值为 1.课时跟踪检测(七)一、选择题1下列方程可以作为 x 轴的参数方程的是()A.Error!(t 为参数)
7、B.Error!(t 为参数)C.Error!( 为参数) D.Error!(t 为参数)解析：选 D x 轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为 0.2已知曲线 C 的参数方程为Error!( 为参数， 2)，若点 (14， a)在曲线C 上，则 a 等于()A35 B353 3C3 D3533 533解析：选 A(14， a)在曲线 C 上，Error!由，得 cos .又 2，12sin ，1 (12)2 32tan .3 a5( )335 .3 33在方程Error!( 为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为()A(2，7) B. C. D(1,0)(13， 23) (12， 12)解析：
8、选 C将点的坐标代入参数方程，若能求出 ，则点在曲线上，经检验，知 C满足条件4由方程 x2 y24 tx2 ty3 t240( t 为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为()A.Error! B.Error!C.Error! D.Error!解析：选 A设( x， y)为所求轨迹上任一点由 x2 y24 tx2 ty3 t240，得5(x2 t)2( y t)242 t2.Error!二、填空题5已知曲线Error!( 为参数，0 2)下列各点： A(1,3)， B(2,2)， C(3,5)，其中在曲线上的点是_解析：将点 A 坐标代入方程，得 0 或 ，将点 B， C 坐标代入方程，方程
9、无解，故点 A 在曲线上答案： A(1,3)6下列各参数方程与方程 xy1 表示相同曲线的是_(填序号)Error! Error!Error!Error!解析：普通方程中， x， y 均为不等于 0 的实数，而中 x 的取值依次为：， ，故均不正确，而中， xR， yR，且 xy1，故正确答案：7动点 M 作匀速直线运动，它在 x 轴和 y 轴方向的分速度分别为 9 和 12，运动开始时，点 M 位于 A(1,1)，则点 M 的参数方程为_解析：设 M(x， y)，则在 x 轴上的位移为 x19 t，在 y 轴上的位移为 y112 t.参数方程为Error!( t 为参数)答案：Error!
10、(t 为参数)三、解答题8已知动圆 x2 y22 axcos 2 bysin 0( a， bR ，且 a b， 为参数)，求圆心的轨迹方程解：设 P(x， y)为所求轨迹上任一点由 x2 y22 axcos 2 bysin 0，得(x acos )2( y bsin )2 a2cos2 b2sin2 .Error! ( 为参数)这就是所求的轨迹方程69如图所示， OA 是圆 C 的直径，且 OA2 a，射线 OB 与圆交于 Q 点，和经过 A 点的切线交于 B 点，作 PQ OA， PB OA，试求点 P 的轨迹方程解：设 P(x， y)是轨迹上任意一点，取 DOQ ，由 PQ OA， PB OA，得x OD OQcos OAcos2 2 acos2 ，y AB OAtan 2 atan .所以 P 点轨迹的参数方程为Error! .( 2， 2)10试确定过 M(0,1)作椭圆 x2 1 的弦的中点的轨迹方程y24解：设过 M(0,1)的弦所在的直线方程为 y kx1，其与椭圆的交点为( x1， y1)和( x2， y2)设中点 P(x， y)，则有： x ， y .x1 x22 y1 y22由Error!得( k24) y28 y44 k20. x1 x2 ， y1 y2 . 2kk2 4 8k2 4Error! (k 为参数)这就是以动弦斜率 k 为参数的动弦中点的轨迹方程
