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1、导数问题中参数范围的求法一、分离常数法（）常规分离常数法原理：将所给不等式变形为 maxin)()(fgxfag例 1、 （2010 全国卷一）已知函数 ，若1l，求 的取值范围.1)(2 axxf解： xlnl )(2 xxf 令 .gln)0(xg1)(， 当 10x时当 0)( 时 0)1(g所以 故 .)()(xmac 1)(a（）能分离常数，但求稳定点困难原理：稳定点的估算利用连续函数介值定理去估算例 2、已知函数 ，若当 ， 恒成立，xf)ln(1(） )0时0x1)(xkf求正整数 的最大值.k解：有已知 f 1(l)(设 ， xxh1ln()2 )ln()xh设 从而)l1g
2、有 相 同 根在与 ,00(g由于 且 0)(x2g)3所以 故 得 ），（存 在 唯 一 根 (0)1ln(时 时 ),(g0)(xh),(xgxh4,31ln1minhx所以 又因为 ， 故 .4)(ink Zkmaxk（）能分离常数，但求最值困难例 3、已知函数 ，若当 ， 恒成立，求 的)1ln()(xxf时0axf)(a取值范围.解：当 恒成立时0)(f有Raaxf)(当 由已知 时xx)1ln令 )(gx)1ln(2 ()(xg令 故 进而lxh0 h0)(h0)(xg1lnim)1ln(lim)(i)( 000min xxxx所以 的取值范围是 .a),注：此题求最值时应用洛必达
3、法则洛必达法则 1（适用于 型不定式极限）0若函数 满足： ;gf和 0)(lim)(li00 xgfx在点 的某空心邻域 内两者都可导，且 ；)(Uo 0)(xg （ 可为实数，也可为 ） ；Axgfx)(li0 或则 .xffxx)(lim)(li00洛必达法则 2（适用于 型不定式极限）若函数 满足： ;gf和 )(li)(li00xgfx在点 的某空心邻域 内两者都可导，且 ；)(0Uo 0)(xg （ 可为实数，也可为 ） ；Axgfx)(lim0 或则 .xffxx)(li)(li00此方法对与高中生来说理解上稍有难度，但对于研究高中教学的人来说，更进一步对于接受过高等数学教育的人
4、来说还是大有裨益的.二、最值转化法适用于： 定 点 或 最 值 困 难 能 分 离 常 数 ， 但 求 稳 不 能 分 离 常 数 （）局部最值转化例 4、 （2010 山东）已知函数 .)(1lnRaxaxf 设 .当 时，若对任意 ，存在42bxg12 ,0使 .求实数 的取值范围. ,1221xgfb解：由于“对任意 ，存在 使 ”等价于“) ,0( ,1221xgf.上 的 最 小 值在上 的 最 小 值 不 大 于在 )0(,)( xfxg当 时 ， .41a上 单 调 递 减在 )1,(xf 上 单 调 递 增在 ,2)()(minxf,2bg ,x ,时当 1215)1()(mi
5、nbg（ 舍 ）4 ,时当 2b （ 舍 ）23|4in bx ， .时当 8178)2()(min g综上 的取值范围是 .b,17（）整体最值转化方法：设辅助函数辅助函数的设法： 函 数 利 用 泰 勒 展 式 设 辅 助 移 项 作 差 设 辅 助 函 数 利用泰勒展式设辅助函数： L2000 )(!)()( xfxfxff实质：任意一个函数都可由幂函数近似表示.例 5、已知函数 ，若当 ， 恒成立，求 的)1ln()(f时axf)(a取值范围.解：设 axxaxfg)1ln()()l1 当 时， ，a0(x0)(g当 时， ； 1aex1ae0)(xg)()(1minagx所以 的取值
6、范围是 .,(例 6、 （2010 新课标卷）设函数 ，若当 ， 恒21)axexf0)(xf成立，求 的取值范围.a方法一：解：当 时， ， 恒成立0x0)(f )(fR使 得当 时，由已知0x21xe令 （由于 ）)0(1)(xeg L!321xex令 ，x hx0)( xeh故 进而0)()( hg 0)(g所以 ， 21xex2112xex故 的取值范围是 .a),说明：此处引进泰勒展式设辅助函数，以避免有些教师辅助函数设法的“经验说”.方法二：解： ，设 ，12)( axexf 12)( axexfg aegx2)( 当 时 21a0g0)(即 在 上单调递增 故0)(xf)(xf,0)(fxf当 时 令 解得ax2ln时 在 单调递减，即 在 单调递减ax2ln00)(xg)(),)(xf),0，故 单调递减,)( f 2lnaf在所以 ， 与题意不符l,x)(）（x综上 的取值范围是 .a,21声明：本文部分题引用高考数学卷，但为了充分直接地说明问题，部分地方对高考真题略有改动,
