量子光学作业1

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1、作业一Maxwell 方程的物理意义及其应用举例。麦克斯韦方程组的积分形式： =0=0=0+麦克斯韦方程组的微分形式： =0 = =0 =0 +式中 、 、 、 分别是电感强度（电位移矢量） 、电场强度、磁感强度和 磁场强度，对 和 的积分分别表示磁场中任一闭合曲面和闭合回路上的积分。 表示闭合曲面内包含的总电量。 表示积分闭合回路包围的传导电流。方程0 0组的第一式是高斯定理的数学表示；第二式是法拉第电磁感应定律的数学表示式；第三式表示磁场是无源场，不存在像电荷那样的“磁荷” ；第四式表示在交变电磁场情况下，磁场既包括传导电流产生的磁场，也包括位移电流 产生的磁场。是自由电荷的体密度， 是传

2、导电流密度， 是位移电流密度0 0 高斯磁定律表明，磁单极子实际上并不存在于宇宙。所以，没有磁荷，磁场线没有初始点，也没有终止点。磁场线会形成循环或延伸至无穷远。换句话说，进入任何区域的磁场线，必需从那区域离开。以术语来说，通过任意闭曲面的磁通量等于零，或者，磁场是一个螺线矢量场。式中 、 、 、 分别是电感强度（电位移矢量） 、电场强度、磁感强度和 磁场强度，对 和 的积分分别表示磁场中任一闭合曲面和闭合回路上的积分。 表示闭合曲面内包含的总电量。 表示积分闭合回路包围的传导电流。方程0 0组的第一式是高斯定理的数学表示；第二式是法拉第电磁感应定律的数学表示式；第三式表示磁场是无源场，不存在

3、像电荷那样的“磁荷” ；第四式表示在交变电磁场情况下，磁场既包括传导电流产生的磁场，也包括位移电流 产生的磁场。麦克斯韦-安培定律阐明，磁场可以用两种方法生成：一种是靠电流（原本的安培定律） ，另一种是靠含时电场（麦克斯韦修正项） 。在电磁学里，麦克斯韦修正项意味着含时电场可以生成磁场，而由于法拉第感应定律，含时磁场又可以生成电场。这样，两个方程在理论上允许自我维持的电磁波传播于空间。麦克斯韦方程组揭示了电场与磁场相互转化中产生的对称性优美，这种优美以现代数学形式得到充分的表达。但是，我们一方面应当承认，恰当的数学形式才能充分展示经验方法中看不到的整体性(电磁对称性)；另一方面，我们也不应当忘

4、记，这种对称性的优美是以数学形式反映出来的电磁场的统一本质。因此，我们应当认识到应在数学的表达方式中发现 或看出 了这种对称性，而不是从物理数学公式中直接推演出这种本质。补充介绍一下梯度，旋度，散度的概念：梯度：在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。一个标量函数 的梯度记为： 或 ，其中 表示向量 微分算子。在三维情况，该表达式在直角坐标中扩展为： 。=(,)其物理意义：设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为 ，在与其垂直距离的 处该参数为 ，则称为该物理参数的梯度，即为该物理参 +数的变化率。如果参数

5、为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。 散度：给定一个三维空间中的向量场 A 以及一个简单有向曲面 ，则向量场 A 通过曲面 的通量就是曲面每一点 x 上的场向量 在曲面法向方向上的 ()分量的积分。曲面每一点 x 的散度是指包含这一点的某一个封闭曲面 的通量除以封闭曲面围起来的微小体元 的体积 得到的比值在 趋向于 0() | |时的极限。向量场 A 的散度记作： 。 =其物理意义是：散度是向量场的一种强度性质，就如同密度、浓度、温度一样，它对应的广延性质是一个封闭区域表面的通量，所以说散度是通量的体密度。物理上，散度的意义是场的有源性。某一点或某个区域的散度大于零，表

6、示向量场在这一点或这一区域有新的通量产生，小于零则表示向量场在这一点或区域有通量湮灭。这样的点或区域分别称为向量场的正源（发散源）和负源（洞） 。散度等于零的区域称为无源场或管形场。旋度：面元与所指矢量场 A 之矢量积对一个闭合面 S 的积分除以该闭合面所包容的体积之商，当该体积所有尺寸趋于无穷小时极限的一个矢量。向量场A 的旋度记作： 。旋度的重要性在于，可用通过研究 表征矢量在 =某点附近各方向上环流强弱的程度,进而得到其单位面积平均环流的极限的大小程度。其物理意义是：旋度是向量场的一种强度性质，就如同密度、浓度、温度一样，它对应的广延性质是向量场沿一个闭合曲线的环量。如果一个向量场中处处

7、的旋度都是零，则称这个场为无旋场或保守场。综上，梯度表征的是某点标量的变化率；散度表征的是某点通量的密集程度，可以理解为场线的密集程度；旋度表征的是某点附近发现上的环流强弱程度。由此可知，麦克斯韦式三表示：磁场的散度为 0，所以磁场为无源场。各式的物理意义分别为：式一：任何闭合曲面的电位移通量只与该闭合曲面内自由电荷有关，同时反映了变化的磁场所产生的电场总是涡旋状的电场的高斯定理式二：变化的磁场产生涡旋电场，即变化的磁场总与电场相伴法拉弟电磁感应定律式三：任何形式产生的磁场都是涡旋场，磁力线都是闭合的，磁单极子不存在，磁场为无源场磁场的高斯定理式四：全电流与磁场的关系，揭示了变化电场产生涡旋磁

8、场的规律，即变化的电场总与磁场相伴全电流定律描述介质性质的物质方程： =0 =0 0 =其中 、 、 分别是（相对）介电常量、 （相对）磁导率和电导率。麦克斯 韦方程组加上物质方程，全面总结了电磁场的规律，是宏观电动力学的基本方程组。麦克斯韦根据麦克斯韦方程组推导出了电磁场的波动方程，证明光波是横波，计算出了光速 c。证明了束缚电荷与束缚电流的正确,假设，施加外电场于介电质，响应这动作，介电质的分子会形成一个微观的电偶极子，显示出伴随的电偶极矩。分子的原子核会朝着电场的方向稍微迁移位置，而电子则会朝着相反方向稍微迁移位置。这形成了介电质的电极化。如右图的理想状况所示，虽然，所有涉及的电荷都仍旧

9、束缚于其原本的分子，由于这些微小迁移所造成的电荷分布，变得好像是在介电质的一边形成了一薄层正表面电荷，在另一边又形成了一薄层负表面电荷。电极化强度定义为介电质内部的的电偶极矩密度，也就是单位体积的电偶极矩。与静电学有些类似，在静磁学里，假设施加外磁场于物质，响应这动作，物质会被磁化，组成的原子会显示出磁矩。在本质上，这磁矩与原子的各个亚原子粒子的角动量有关，其中，响应最显著的是电子。这角动量的连结，不禁令人联想到一副图画，在图画中，磁化物质变成了一群微观的束缚电流回路。虽然每一个电荷只是移动于其原子的微观回路，一群微观的束缚电流回路聚集在一起会形成宏观的面束缚电流循环流动于物质的表面。这些束缚电流可以用磁化强度来描述。磁化强度定义为磁偶极矩在一个磁化物质内的密度，也就是单位体积的磁偶极矩。麦克斯韦方程组关于电磁波等的预言为实验所证实，证明了位移电流假设和电磁场理论的正确性。这个电磁场理论对电磁学、光学、材料科学以及通讯、广播、电视等等的发展都产生了广泛而深远的影响。它是物理学中继牛顿力学之后的又一伟大成就。