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1、13.4 基本不等式： aba b2基本不等式提出问题问题 1：若 a， bR，则代数式 a2 b2与 2ab 有何大小关系？提示：( a2 b2)2 ab( a b)20， a2 b22 ab.问题 2：上述结论中，等号何时成立？提示：当且仅当 a b 时成立问题 3：若以 ， 分别代替问题 1 中的 a， b，可得出什么结论？a b提示： a b2 .ab问题 4：问题 3 的结论中，等何时成立？提示：当且仅当 a b 时成立导入新知1重要不等式当 a， b 是任意实数时，有 a2 b22 ab，当且仅当 a b 时，等号成立2基本不等式(1)有关概念：当 a， b 均为正数时，把 叫做正
2、数 a， b 的算术平均数，把 叫做a b2 ab正数 a， b 的几何平均数(2)不等式：当 a， b 是任意正实数时， a， b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即 ，当且仅当 a b 时，等号成立aba b2(3)变形： ab 2， a b2 (其中 a0， b0，当且仅当 a b 时等号成立)(a b2 ) ab化解疑难1基本不等式成立的条件： a0 且 b0；其中等号成立的条件：当且仅当 a b 时取等号，即若 a b 时，则 ，即只能有 .aba b2 ab a b22从数列的角度看， a， b 的算术平均数是 a， b 的等差中项，几何平均数是 a， b 的正的等比中项，则基
3、本不等式可表示为： a 与 b 的正的等比中项不大于它们的等差中项2利用基本不等式证明不等式例 1已知 a， b， cR，求证： a4 b4 c4 a2b2 b2c2 c2a2.证明：由基本不等式可得a4 b4( a2)2( b2)22 a2b2，同理， b4 c42 b2c2，c4 a42 a2c2，( a4 b4)( b4 c4)( c4 a4)2 a2b22 b2c22 a2c2，从而 a4 b4 c4 a2b2 b2c2 c2a2.类题通法1利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而收到放缩的效果2
4、注意多次运用基本不等式时等号能否取到活学活用设 a0， b0，证明： a b.b2a a2b证明： a0， b0， a2 b， b2 a，b2a a2b a b.b2a a2b利用基本不等式求最值例 2(1)已知 m， n0，且 m n16，求 mn 的最大值；(2)已知 x3，求 f(x) x 的最小值；4x 3(3)设 x0， y0，且 2x y1，求 的最小值1x 1y解(1) m， n0 且 m n16，由基本不等式可得 mn 2 264，(m n2 ) (162)当且仅当 m n8 时， mn 取得最大值 64.(2) x3， x30， 0，4x 3于是 f(x) x x3 32 3
5、7，4x 3 4x 3 x 3 4x 33当且仅当 x3 即 x5 时， f(x)取得最小值 7.4x 3(3)法一： x0， y0,2 x y1， 1x 1y 2x yx 2x yy3 32 32 ，yx 2xy yx2xy 2当且仅当 ，即 y x 时，等号成立，yx 2xy 2解得 x1 ， y 1，22 2当 x1 ， y 1 时， 有最小值 32 .22 2 1x 1y 2法二： 1 (2x y)3 32 32 ，1x 1y (1x 1y) (1x 1y) 2xy yx yx2xy 2以下同法一类题通法1利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则(1)一正：符合基本不
6、等式 成立的前提条件： a0， b0.a b2 ab(2)二定：化不等式的一边为定值(3)三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立以上三点缺一不可2若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式活学活用(1)已知 lg alg b2，求 a b 的最小值；(2)已知 x0， y0，且 2x3 y6，求 xy 的最大值；(3)已知 x0， y0， 1，求 x y 的最小值1x 9y解：(1)由 lg alg b2 可得 lg ab2，即 ab100，且 a0， b0，因此由基本不等式可得 a b2 2 20，a
7、b 1004当且仅当 a b10 时， a b 取得最小值 20.(2) x0， y0,2 x3 y6， xy (2x3y) 216 16 (2x 3y2 ) 2 ，16 (62) 32当且仅当 2x3 y，即 x ， y1 时， xy 取得最大值 .32 32(3) 1，1x 9y x y( x y)(1x 9y)1 9 10.9xy yx yx 9xy又 x0， y0， 102 1016，yx 9xy yx9xy当且仅当 ，yx 9xy即 y3 x 时，等号成立由Error!得Error! 即当 x4， y12 时， x y 取得最小值 16.利用基本不等式解应用题例 3如图所示，动物园要
8、围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成(1)现有 36 m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为 24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？解(1)设每间虎笼长为 x m，宽为 y m，则由条件得 4x6 y36，即 2x3 y18，5设每间虎笼面积为 S，则 S xy.由于 2x3 y2 2 ，2x3y 6xy2 18，得 xy ，即 S ，6xy272 272当且仅当 2x3 y 时，等号成立，由Error! 解得Error!故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3
9、m 时，可使面积最大(2)设每间虎笼第为 x m，宽为 y m.法一：由条件知 S xy24，设钢筋网总长为 l，则 l4 x6 y.2 x3 y2 2 24，2x3y 6xy l4 x6 y2(2 x3 y)48，当且仅当 2x3 y 时，等号成立由Error! 解得Error!故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小法二：由 xy24，得 x .24y l4 x6 y 6 y6 62 48，96y (16y y) 16yy当且仅当 y，即 y4 时，等号成立此时 x6.16y故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小类题通法在应用基本不等式解决实际问题时，应注
10、意如下的思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)根据实际背景写出答案活学活用某汽车公司购买了 4 辆大客车，每辆 200 万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约 100 万元，每辆车第一年各种费用约为 16 万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加 16 万元6(1)写出 4 辆车运营的总利润 y(万元)与运营年数 x(xN *)的函数关系式(2)这 4 辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？解：(1)依题意，每辆车 x 年总收入为 100
11、x 万元，总支出为 20016(12 x)200 x(x1)16.12 y4 100x 20012x x 1 1616(2 x223 x50)(2)年平均利润为16 16 .yx (23 2x 50x) 23 2(x 25x)又 xN *， x 2 10，25x x25x当且仅当 x5 时，等号成立，此时 16(2320)48.yx运营 5 年可使年平均运营利润最大，最大利润为 48 万元7.基 本 不 等 式 应 用 中 的 易 误 点典例已知 a0， b0， a b2，则 y 的最小值是()1a 4bA. B472C. D592解析 a b2， 1.a b2 1a 4b (1a 4b)(a
12、 b2 ) 2 52 (2ab b2a) 52 2abb2a 92.(当 且 仅 当2ab b2a， 即 b 2a时 ， 等 号 成 立 )故 y 的最小值为 .1a 4b 927答案C易错防范1解答本题易两次利用基本不等式，如： a0， b0， a b2， ab 1. a b 24又 y 2 4 ，又 ab1，1a 4b 4ab 1ab y4 4.11但它们成立的条件不同，一个是 a b，另一个是 b4 a，这显然是不能同时成立的，故不正确2使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可3在运用重要不等式时，还要特别注意
13、“拆” “拼” “凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正” “定” “等”的条件成功破障(福建高考)下列不等式一定成立的是()Alg( x2 )lg x(x0)14Bsin x 2( x k， kZ)1sin xC x212| x|(xR)D. 1( xR)1x2 1解析：选 C取 x ，则 lg(x2 )lg x，故排除 A；取 x ，则 sin x1，12 14 32故排除 B；取 x0，则 1，故排除 D.1x2 1随堂即时演练1已知 f(x) x 2( x0)，则 f(x)有()1xA最大值为 0 B最小值为 0C最大值为4 D最小值为48解析：选 C x0， f(x) 2224， x
14、1 x 当且仅当 x ，即 x1 时取等号1 x2若 a b0，则下列不等式成立的是()A a b B a ba b2 ab a b2 abC a b D a ba b2 ab ab a b2解析：选 B a b，因此只有 B 项正确a a2 a b2 ab bb3若 x， yR ，且 x4 y1，则 xy 的最大值为_解析：1 x4 y2 4 ，4xy xy xy ，当且仅当 x4 y 时等号成立116答案：1164已知 x0， y0，lg xlg y1，则 z 的最小值为_2x 5y解析：由已知条件 lg xlg y1，可得 xy10.则 2 2，2x 5y 10xy故 最小值 2，当且仅当 2y5 x 时取等号(2x 5y)又 xy10，即 x2， y5 时等号成立答案：25
