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1、（一）极坐标概念 确定平面内的点的位置有各种方法，用一对实数确定平面内的点位置的方法称为直角坐标方法，因其方法简捷且应用广泛（如地球的经纬线和剧场中座位号）而成为解析几何中最主要的内容；用方向（角）和距离来确定平面内的点的位置是极坐标的基本思想。极坐标在工程中和军事上也有广泛应用。1.1 极坐标系定义 在平面上选一定点 O，由 O 出发的一条射线 OX，规定一个长度单位和角的正方向（通常以反时针旋转为正方向）合称一个极坐标系。其中 O 为极点，射线OX 为极轴，由极径和极角两个量构成点的极坐标，一般记作（，）。1.2 平面内的点与极坐标系的关系 平面内有一点 P，|OP|用 表示， 称为 P
2、点的极径；OX 到 OP 的角 叫极角，P（，）为极坐标。(1)有一组极坐标（，）能在极坐标系中找唯一的点与其对应；(2)在极坐标系中有一个点 P，则有无数组极坐标与其对应。P 点固定后，极角不固定。（，）与（，2k+）（kz）表示同一点坐标；P 点固定后， 的值可正、可负。0 时，极角的始边为 OX 轴，终边为 线；0，极轴始边为 OX 轴，终边为 的反向延长线；规定：=0 时，极角为任意角，如（，）与（，2k+)及（-，2k+)(kz)表示同一点。极坐标与极坐标平面内的点不一一对应。例 1.在极坐标系中，点 P（，）与 Q（-，2-）的位置是（ ）A.关于极轴所在直线对称 B.关于极点对称
3、C.重合 D.关于直线 （R）对称分析：Q（-，2-）与（,-）表示同一点，它与点P（，）关于直线 （R）（过极点而垂直于极轴的直线）对称。 故选 D。 例 2.在极坐标系中，如果等边三角形的两个顶点是 ，那么 C 的坐标可能是（ ）A. B.C. D.（3，）分析： , 极径相同，极角相差 ，A、B 以极点对称，又|AB|=4，ABC 为等边， ， ，C 对应极角为 . 或 故选 B 。例 3.A、B 两点的极坐标分别为 A( 1， 1)，B( 2， 2)，则|AB|=_。分析：用余弦定理可得 此结论可作为公式。1.3 极坐标与直角坐标的互化 取极点为直角坐标系的原点，极轴为 x 轴正半轴建
4、立直角坐标系，在极坐标系中 P(，)，设在直角坐标系中 P(x,y)则 2=x2+y2、 、 (注意角所在象限)此三组式子，即为极坐标与直角坐标的互化公式。例 1.将下列各极坐标方程化为直角坐标方程。(1) (2)(3) (4) 2=2cos2解：(1) 得 y=-x；(2)sin 2=2cos+2, 2sin2=2cos+2, ,(y2-2x)2=4(x2+y2)得 y2=4(x+1)；(3)4 2+5 2cos2=36,4(x 2+y2)+5x2=36,得 x2+4y2=36；(4) 4=2 2(cos2-sin 2),(x 2+y2)=2x2-2y2例 2.椭圆 在以原点为极点，x 轴的
5、正半轴为极轴的极坐标系中的方程为（ ）A. B. C. D.分析： ,得 故选 C 。（二）极坐标方程的确定2.1 几种直线的极坐标方程(1)从极点 O 发出的一条射线（如图 1），其极坐标方程为：= 1（0）；(2)过极点 O 的一条直线（），其极坐标方程为 = 1（R）；(3)如图 3 过点（a,o）且垂直于极轴的直线的极坐标方程为：cos=a；(4)如图 4 过点（a,)且垂直于极轴的直线的极坐标方程为：cos= -a；如图 1 如图 2 如图 3 如图 4(5)如图 5 平行于极轴在极轴上方 a 个单位的直线的极坐标方程为：sin=a；(6)如图 6 平行于极轴且在极轴下方 a 个单位
6、的直线的极坐标方程为：sin=-a； (7)如图 7 过点 M（a, 1）,且与极径 OM 垂直的直线的极坐标方程为：cos(- 1)=a.如图 5 如图 6 如图 7例 1.过点 且与极轴平行的直线的极坐标方程是（ ）A. B.=1 C. D.分析：极点到直线距离 d=1.根据直线极坐标方程(5)得 sin=1，故选C。例 2.已知点 P 的坐标为（1,），那么通过 P 点且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（ ）（上海 94 年高考题）A.=1 B.=cos C.cos= -1 D.cos=1分析：根据直线极坐标方程(4)得 cos=-1 故选 C。例 3.已知直线 1的参数方程为： （t 为
7、参数），直线 2的极坐标方程为 （极点与原点重合，极轴与 x 轴正半轴重合）。则 1与 2的夹角是（ ）A. B. C. D.分析：直线 化为普通方程为 x-2y+3=0,其斜率 ；直线化为普通方程 ，即 ，其斜率 k2=1，两直线夹角若为 ，则 ， ，故选 C 。 2.2 几种圆的极坐标方程(1)圆心为极点，半径为 r 的圆的极坐标方程为：=r(R)；(2)圆心 O（r,0），半径为 r 的圆的极坐标方程为：=2rcos；(3)圆心 O（r,），半径为 r 的圆的极坐标方程为：=-2rcos；(4)圆心 O ，半径为 r 的圆的极坐标方程为：；(5)圆心 O ，半径为 r 的圆的极坐标方程为
8、：；(6)一般圆的极坐标方程：圆心 O（ 0， 0），半径为 r 的极坐标方程。设动点（，），依据余弦定理得 2+ 20 -2 0 cos（- 0）=r 2 即 2-2 0 cos(- 0)+ 02-r2=0.以上方程的推导方程有两种：一是基本方法，也就是轨迹法。轨迹法就是设曲线动点为（，），然后找出可解三角形，在可解三角形中建立等量关系；二是直极转化法，也就是写出直角坐标方法，然后再化为极坐标方程。例 1. 极坐标方程 所表示的曲线是（ ）A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆分析： 故选 D。例 2.极坐标方程 2-(1+2cos)+2cos=0 所表示的曲线是（ ）A.抛物线 B.一直
9、线和一个圆 C.两条直线 D.两相交圆分析：是两相交的圆 故选 D。例 3.极坐标方程分别是 = -cos 和 = -sin 的两个圆的圆心距是（ ）A.2 B. C.1 D.解法一：圆 =-cos 圆心 ；圆 =-sin，圆心根据两个点间距离，应选 D；解法二：两个圆的圆心分别在极轴反向延长线和过极点垂直于极轴直线上，且两圆都过极点，半径都为 根据两个点间距离，应选 D；解法三：两个圆的圆心分别在极轴反向延长线和过极点垂直于极轴直线上，且两圆都过极点，半径都为 ，根据勾股定理，；解法四： ； .圆心距 .返回主题 2.3 焦点为极点的椭圆、双曲线和抛物线标准统一的极坐标方程：(1)圆锥曲线统
10、一定义：在同一平面内到一定点和一定直线的距离之比为常数 e 的动点轨迹，就叫圆锥曲线。其中定点叫圆锥曲线的焦点，定直线叫准线。(2)圆锥曲线的标准统一极坐标方程：如果以定点 O 为极点，以过定点所作定直线 L 的垂线的反向延长线为极轴正方向建立极坐标系为标准坐标系。那么在此标准极坐标系下圆锥曲线的标准统一方程 ,其中 p 是焦点到相应准线的距离。在椭圆和双曲线中 p 就是相应直角坐标系中的 , .(3)将 化为直角坐标方程(1-e 2)x2+y2-2e2px-e2p2=0,其中0e1 时两方程表示椭圆（极点和原点是椭圆的左焦点）；e1 时两方程表示双曲线（极点和原点是双曲线的右焦点）；e=1
11、时两方程表示抛物线（极点和原点是抛物线焦点）。例 1.设椭圆 (0e1).求：a、b、c 及另一个焦点的极坐标，两条准线的极坐标方程。解：令 =0 得 A 点极径 = 得 A点极径 由+得 -得F1为极点左准线 cos=-p，右准线 . 例 2.求双曲线 (e1)的 a、b、c，焦点的坐标和准线的方程。解：令 =0 (e1) = 由、得 焦点 F2(0，)为极点，F 1 (2c,)即右准线 cos=-p 左准线例 3.求圆锥曲线 过焦点的弦 AB 之长解：当 e=1 时，抛物线过焦点弦长解评：圆锥曲线极坐标方程只有一个，比较容易记忆，注意圆锥曲线统一标准极坐标方程的极点是其一个焦点。也正因为此
12、，遇到圆锥曲线有关焦点弦问题，用极坐标方程来解题，运算要简捷。返回主题（三）极坐标方程的应用3.1 由极坐标方程讨论曲线及性质例 1.椭圆 的焦距是（ ）A. B.2 C. D.1分析：极坐标方程化为标准式应选 B.例 2. 若圆锥曲线 的一条准线方程是 cos=1，则另一条准线的极坐标方程是_。分析：化标准式 ，两条准线间距离另一条准线为例 3.双曲线 的渐近线方程是_.分析：化标准线设双曲线渐近线上一动点 M（,）。令 此时 不存在， 1为渐近线与极轴夹角。在MOF 中 (如图)根据正弦定理双曲线的两条渐近线的方程为： 和 .解评：用圆锥曲线统一标准极坐标方程讨论曲线性质。主要记住椭圆和双
13、曲线 , 及直线的极坐标方程；例 3 求双曲线渐近线的极坐标方程高考大纲不作要求，有同学愿用极坐标求动点轨迹研究可作参考。返回主题 3.2 圆锥曲线过焦点弦问题在极坐标中应用因为圆锥曲线的统一标准极坐标方程的极点是其一个焦点，且过极点弦长可直接得 1+ 2之值。因此遇到有关过焦点弦问题用极坐标方程解决，可简化做题过程。例 1.过椭圆 的左焦点作一条倾角为 的直线 ，则它被曲线截得的弦长是_。解：设直线 与曲线交点为 、 它被曲线截得的弦长例 2.已知椭圆长轴 AA=6，焦距 ，过椭圆焦点 F1作直线交椭圆于 M、N 两点，若F 2F1M=,(0).当 取什么值时，|MN|等于椭圆短轴的长。解：
14、（此题 MN 是过焦点弦问题，用极坐标解题较好）以 F1为极点，F 1F2 所在射线为极轴建立极坐标系。a=3， ， , ,椭圆的极坐标方程为令：例 3.过抛物线 y2=2px 的焦点 F 作两条互相垂直的直线 1和 2,分别与抛物线交于 A、B 点和 C、D 点 (1)求证： 为定值；(2)求|AB|+|CD|的最小值。解：(1)以焦点 F 为极点，x 轴正方向为极轴正向建立极坐标系，则 y2=2px的极坐标方程为 设 A( 1，)则 B( 2，+), , （为定值）(2)当 sin22=1 时，等号成立，最小值为 8p解评：抛物线直角坐标方程中 p 与极坐标方程中 p 相同，因此抛物线直角坐标方程（原点为抛物线顶点）与极坐标方程（极点为抛物线焦点）互换极为容易，过焦点弦问题用极坐标方程解决较好。返回主题同步检测1.曲线的极坐标方程 =4sin 化为直角坐标方程为（ ）（98 年全国高考题）A.x2+(y+2)2=4 B.x2+(y-2)2=4C.(x-2)2+y2=4 D.(x+2)2+y2=42.已知点 P 的坐标为（1，），那么过点 P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程为
