《2017-2018年高中数学 第二讲 直线与园的位置关系 四 弦切角的性质学案（含解析）新人教a版选修4-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 第二讲 直线与园的位置关系 四 弦切角的性质学案（含解析）新人教a版选修4-1（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1四 弦切角的性质弦切角定理(1)文字语言叙述：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角(2)图形语言叙述：如图， AB与 O切于 A点，则 BAC D.弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，圆心角的度数等于它所对弧的度数弦切角定理如图，已知圆上的 AC BD，过 C点的圆的切线与 BA的延长线交于 E点证明：(1) ACE BCD；(2)BC2 BECD.利用弦切角定理(1)因为 AC BD，所以 BCD ABC.又因为 EC与圆相切于点 C，所以 ACE ABC.所以 ACE BCD.(2)因为 ECB CDB， EBC BCD，所以 BDC ECB.故 ，B
2、CBE CDBC即 BC2 BECD.利用弦切角定理进行计算、证明时，要特别注意弦切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆周角结合运用，同时要注意根据题目的需要添加辅助线构造所需要的弦切角21如图， CD是 O的切线， T为切点， A是 TB上的一点，若 TAB100，则 BTD的度数为()A20 B40 C60 D80解析：选 D如图，作四边形 ABET，因为四边形 ABET是圆内接四边形，所以 E180 TAB80.又 CD是 O的切线， T为切点，所以 BTD E80.2如图， AB是 O的弦， CD是经过 O上的点 M的切线，求证：(1)如果 AB CD，那么 AM MB；(2)
3、如果 AM BM，那么 AB CD.证明：(1) CD切 O于 M点， CMA B. AB CD， CMA A. A B. AM MB.(2) AM BM， A B. CD切 O于 M点， CMA B， CMA A. AB CD.3.如图，已知 AB是 O的直径，直线 CD与 O相切于点 C， AC平分 DAB.(1)求证： AD CD；(2)若 AD2， AC ，求 AB的长5解：(1)证明：如图，连接 BC.直线 CD与 O相切于点 C，3 DCA B. AC平分 DAB， DAC CAB. ADC ACB. AB为 O的直径， ACB90. ADC90，即 AD CD.(2) DCA B
4、， DAC CAB， ADC ACB. ，ADAC ACAB AC2 ADAB. AD2， AC ，5 AB .52运用弦切角定理证明比例式或乘积式如图， PA， PB是 O的切线，点 C在 AB上，CD AB， CE PA， CF PB，垂足分别为 D， E， F.求证： CD2 CECF. 连 接 CA， CB， CAP CBA， CBP CAB Rt CAE Rt CBDRt CBF Rt CAD CECD CDCF 结 论连接 CA， CB. PA， PB是 O的切线， CAP CBA， CBP CAB.又 CD AB， CE PA， CF PB，Rt CAERt CBD，Rt CBF
5、Rt CAD， ， .CACB CECD CBCA CFCD ，CECD CDCF即 CD2 CECF.4证明乘积式成立，往往与相似三角形有关，若存在切线，常要寻找弦切角，确定三角形相似的条件，有时需要添加辅助线创造条件4如图，已知 MN是 O的切线， A为切点， MN平行于弦 CD，弦 AB交 CD于点 E.求证： AC2 AEAB.证明：连接 BC.Error!Error! ACE ABC AC2 ABAE.ACAB AEAC5如图， AD是 ABC的角平分线，经过点 A， D的 O和 BC切于点 D，且 AB， AC与 O相交于点 E， F，连接 DF， EF.求证：(1) EF BC；
6、(2)DF2 AFBE.证明：(1) O切 BC于点 D， CAD CDF. AD是 ABC的角平分线， BAD CAD.又 BAD EFD， EFD CDF. EF BC.(2)连接 DE. O切 BC于 D， BAD BDE.由(1)可得 BDE FAD，又 O内接四边形 AEDF， BED DFA. BED DFA. .DEAF BEDF又 BAD CAD， DE DF. DF2 AFBE.5课时跟踪检测(九)一、选择题1 P在 O外， PM切 O于 C， PAB交 O于 A， B，则()A MCB B B PAC PC PCA B D PAC BCA解析：选 C由弦切角定理知 PCA
7、B.2如图， PC与 O相切于 C点，割线 PAB过圆心 O， P40，则 ACP等于()A20 B25 C30 D40解析：选 B连接 OC. PC切 O于 C点， OC PC. P40， POC50.连接 BC，则 B POC25，12 ACP B25.3如图， AB是 O的直径， EF切 O于 C， AD EF于 D， AD2， AB6，则 AC的长为()A2 B3 C2 D43解析：选 C连接 BC，则 ACB90，又 AD EF， ADC90，即 ADC ACB，又 ACD ABC， ABC ACD，6 ，ACAD ABAC AC2 ADAB12，即 AC2 .34如图， AB是 O
8、的直径， P在 AB的延长线上， PD切 O于 C点，连接 AC，若 AC PC， PB1，则 O的半径为()A1 B2C3 D4解析：选 A连接 BC. AC PC， A P. BCP A， BCP P. BC BP1.由 BCP CAP得 .PCPA PBPC PC2 PBPA，即 AC2 PBPA.而 AC2 AB2 BC2，设 O半径为 r，则 4r21 21(12 r)，解得 r1.二、填空题5如图， AB是 O的直径， PB， PE分别切 O于 B， C，若 ACE40，则 P_.解析：连接 BC， AB是 O的直径， ACB90.又 ACE40， PCB PBC50. P80.答
9、案：8076如图，点 P在圆 O直径 AB的延长线上，且 PB OB2， PC切圆 O于 C点， CD AB于 D点，则 CD_.解析：连接 OC. PC切 O于 C点， OC PC. PB OB2，OC2. PC2 .3 OCPC OPCD， CD .2234 3答案： 37如图，过圆 O外一点 P分别作圆的切线和割线交圆于 A， B，且 PB7， C是圆上一点使得 BC5， BAC APB，则 AB_.解析：由 PA为 O的切线， BA为弦，得 PAB BCA，又 BAC APB，于是 APB CAB，所以 .PBAB ABBC而 PB7， BC5，故 AB2 PBBC7535，即 AB
10、.35答案： 35三、解答题8.如图， AB是半圆 O的直径， C是圆周上一点(异于 A， B)，过C作圆 O的切线 l，过 A作直线 l的垂线 AD，垂足为 D， AD交半圆于点 E.求证： CB CE.8证明：连接 AC， BE，在 DC延长线上取一点 F，因为 AB是半圆 O的直径， C为圆周上一点，所以 ACB90，即 BCF ACD90.又因为 AD l，所以 DAC ACD90.所以 BCF DAC.又因为直线 l是圆 O的切线，所以 CEB BCF，又 DAC CBE，所以 CBE CEB，所以 CB CE.9.如图所示， ABC内接于 O， AB AC，直线 XY切 O于点 C
11、，弦 BD XY， AC， BD相交于点 E.(1)求证： ABE ACD；(2)若 AB6 cm， BC4 cm，求 AE的长解：(1)证明：因为 XY是 O的切线，所以12.因为 BD XY，所以13，所以23.因为34，所以24.因为 ABD ACD，又因为 AB AC，所以 ABE ACD.(2)因为32， ABC ACB，所以 BCE ACB，所以 ，BCAC CECB即 ACCE BC2.因为 AB AC6 cm， BC4 cm，所以 6(6 AE)16.所以 AE (cm)10310.如图，已知 C点在圆 O直径 BE的延长线上， CA切圆 O于 A点， DC是 ACB的角平分线，交 AE于点 F，交 AB于 D点(1)求 ADF的度数；9(2)若 AB AC，求 AC BC.解：(1) AC为圆 O的切线， B EAC.又 DC是 ACB的平分线， ACD DCB. B DCB EAC ACD，即 ADF AFD.又 BE为圆 O的直径， DAE90， ADF (180 DAE)45.12(2) B EAC， ACB ACE， ACE BCA. .ACBC AEAB又 AB AC， B ACB ADF30.23在 Rt ABE中， tan Btan 30 .ACBC AEAB 33
