《三矢量的混合积》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三矢量的混合积（2页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、9 三矢量的混合积定义 1 给定空间的三个矢量 ,abcr，我们 ()abcr叫做三矢量 ,abcr的混合积，记做 (,)abcr或()abcr.定理 1 三个不共面矢量 ,的混合积的绝对值等于以 ,为棱的平行六面体的体积 V，并且当,构成右手系时混合积为正；当 cr构成左手系时混合积为负.证 由于矢量 ,abcr不共面，所以把它们归结到共同的试始点 O可构成以 ,abcr为棱的平行六面体，它的底面是以 ,为边的平行四边形，面积为 Sabr，它的高为 Hhur，体积是 Sh.根据数性积的定义 ()cossrr，其中 是 abr与 c的夹角.当 ,构成右手系时，02， shr，因而可得()abc
2、Vr.当 ,abcr构成左手系时， os()cosrr，因而可得()hr.定理 2 三矢量 ,abcr共面的充要条件是 ()0abcr.证 若三矢量 共面，由定理 1.9.1 知 |shV，所以 |()|0abcr，从而 ()0abcr.反过来，如果 ()0，即 ()r，那么根据定理 1.7.1 有 ()r，另一方面，有矢性积的定义知 (),abrr，所以 ,c共面.定理 3 轮换混合积的三个因子，并不改变它的值；对调任何俩因子要改变混合积符号，即 ()()()()()cbabacabrrrrr.证 当 ,r共面时，定理显然成立；当 ,不共面时，混合积的绝对值等于以 ,abcr为棱的平行六面体的体积 V，又因轮换 ,的顺序时，不改变左右手系，因而混合积不变，而对调任意两个之间的顺序时，将右手系变为左，而左变右，所以混合积变号.推论 1 ()()abcrru.定理 4 设 11xiyjzk， 22bxiyjzkrr， 33cxiyjzkrr，那么12233()acxyz.证 由矢量的矢性积的计算知111222xybijkzrrrr，再根据矢量的数性积得 ()acr=r=111333222yzxxy =112233xyz.推论 2 三矢量 123,axyzbxyzcxyzrrr共面的充要条件是1122330xyz.
