《2017-2018年高中数学 第三章 函数的应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型学案（含解析）新人教a版必修1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 第三章 函数的应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型学案（含解析）新人教a版必修1（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、132.1几类不同增长的函数模型提出问题观察如表给出的函数值：x 1 2 3 4 5 6 7 8f(x)2 x 2 4 8 16 32 64 128 2562x1 2 x 2 4 8 16 32 64 128 256g(x) x2 1 4 9 16 25 36 49 64(x1)2 x2 3 5 7 9 11 13 15 17h(x)log 2x 0 1 1.585 0 2 2.321 9 2.585 0 2.807 4 3log2(x1)log 2x1 0.585 0 0.415 0 0.321 9 0.263 1 0.222 4 0.192 6 0.169 9问题 1：函数 f(x)， g
2、(x)， h(x)随着 x的增大，函数值有什么共同的变化趋势？提示：函数 f(x)， g(x)， h(x)随着 x的增大，函数值增大问题 2：函数 f(x)， g(x)， h(x)增长的速度有什么不同？提示：各函数增长的速度不同，其中 f(x)2 x增长得最快，其次是 g(x) x2，最慢的是 h(x)log 2x.导入新知指数函数、对数函数和幂函数的增长差异一般地，在区间(0，)上，尽管函数 y ax(a1)， ylog ax(a1)和 y xn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上随着 x的增大， y ax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于 y xn(
3、n0)的增长速度，而 ylog ax(a1)的增长速度则会越来越慢因此，总会存在一个 x0，使得当 xx0时，就有 logax1， n0)化解疑难2对比指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势函数性质y ax(a1) ylog ax(a1) y xn(n0)在(0，)上的增减性增函数 增函数 增函数增长的速度 先慢后快 先快后慢 相对平稳图象的变化随着 x 的增大逐渐加快增大随着 x的增大逐渐减慢增大随 n值的不同而不同考查函数模型的增长差异例 1四个变量 y1， y2， y3， y4随变量 x变化的数据如下表：x 1 5 10 15 20 25 30y1 2 26 101 226 401 626
4、 901y2 2 32 1 024 32 768 1.05106 3.36107 1.07109y3 2 10 20 30 40 50 60y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907关于 x呈指数函数变化的变量是_解析从表格观察函数值 y1， y2， y3， y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于 x呈指数函数变化以爆炸式增长的变量呈指数函数变化从表格中可以看出，四个变量 y1， y2， y3， y4均是从 2开始变化，变量 y1， y2， y3， y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量 y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量
5、 y2关于 x呈指数函数变化答案 y2类题通法常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型 y kx b(k0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变(2)指数函数模型指数函数模型 y ax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸” 3(3)对数函数模型对数函数模型 ylog ax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓(4)幂函数模型幂函数 y xn(n0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间活学活用今有一组实验数据如下：t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12v 1.5 4.04
6、 7.5 12 18.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是()A vlog 2t B vlog t12C v D v2 t2t2 12解析：选 C从表格中看到此函数为单调增函数，排除 B，增长速度越来越快，排除 A和 D，选 C.指数函数、对数函数与幂函数模型的比较例 2函数 f(x)2 x和 g(x) x3的图象如图所示设两函数的图象交于点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，且 x1g(1)， f(2)g(10)，1x2.从图象上可以看出，当 x1x2时， f(x)g(x)， f(2 014)g(2 014)又 g(2 014)g(6)， f(
7、2 014)g(2 014)g(6)f(6)4类题通法由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数活学活用函数 f(x)lg x， g(x)0.3 x1 的图象如图所示(1)试根据函数的增长差异指出曲线 C1， C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异以两图象交点为分界点，对 f(x)，g(x)的大小进行比较解：(1) C1对应的函数为 g(x)0.3 x1， C2对应的函数为 f(x)lg x.(2)当 xf(x)；当 x1g(x)
8、；当 xx2时， g(x)f(x)；当 x x1或 x x2时， f(x) g(x).函数模型的选取例 3某汽车制造商在 2017年初公告：公司计划 2017年生产目标定为 43万辆已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：年份/年 2014 2015 2016产量/万辆 8 18 30如果我们分别将 2014,2015,2016,2017定义为第一、二、三、四年现在你有两个函数模型：二次函数模型 f(x) ax2 bx c(a0)，指数函数模型 g(x) abx c(a0， b0， b1)，哪个模型能更好地反映该公司年生产量 y与年份 x的关系？解建立年生产量 y与年份 x的函数，可知函数必过
9、点(1,8)，(2,18)，(3,30)构造二次函数模型 f(x) ax2 bx c(a0)，将点坐标代入，可得Error!解得 a1， b7， c0，则 f(x) x27 x，故 f(4)44，与计划误差为 1.构造指数函数模型 g(x) abx c(a0， b0， b1)，将点坐标代入，可得Error!解得 a ， b ， c42，1253 655则 g(x) x42，1253 (65)故 g(4) 44244.4，与计划误差为 1.4.1253 (65)由可得， f(x) x27 x模型能更好地反映该公司年生产量 y与年份 x的关系类题通法不同函数模型的选取标准不同的函数模型能刻画现实世
10、界中不同的变化规律：(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题活学活用某学校为了实现 100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到 5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金 y随生源利润 x的增加而增加，但奖金总数不超过 3万元，同时奖金不超过利润的 20%.现有三个奖励模型：y0.2 x， ylog 5x，
11、 y1.02 x，其中哪个模型符合该校的要求？解：借助工具作出函数 y3， y0.2 x， ylog 5x， y1.02 x的图象(图略)观察图象可知，在区间5,100上， y0.2 x， y1.02 x的图象都有一部分在直线 y3 的上方，只有 ylog 5x的图象始终在 y3 和 y0.2 x的下方，这说明只有按模型 ylog 5x进行奖励才符合学校的要求12.搞 错 函 数 的 变 化 规 律 而 致 误典例下列函数中随 x的增大而增大且速度最快的是()A y ex B y100ln x1100C y x100 D y1002 x解析指数爆炸式形容指数函数6又e2， ex比 1002x增
12、大速度快1100答案A易错防范1影响指数型函数增长速度的量是指数函数的底数，而并非其系数，本题易发生误认为 100 ，所以 1002x比 ex增大速度快的错误结论1100 11002函数 y abx c(b0，且 b1， a0)图象的增长特点是随着自变量 x的增大，函数值增大的速度越来越快(底数 b1， a0)，常形象地称为指数爆炸活学活用四人赛跑，假设他们跑过的路程 fi(x)(其中 i1,2,3,4)和时间 x(x1)的函数关系分别是 f1(x) x2， f2(x)4 x， f3(x)log 2x， f4(x)2 x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()A f1(x)
13、 x2 B f2(x)4 xC f3(x)log 2x D f4(x)2 x解析：选 D显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是 f4(x)2 x，故选 D.随堂即时演练1下列函数中，随着 x的增大，增长速度最快的是()A y50 B y1 000 xC y2 x1 D y ln x11 000解析：选 C指数函数模型增长速度最快，故选 C.2三个变量 y1， y2， y3，随着自变量 x的变化情况如下表：x 1 3 5 7 9 11y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149y3
14、 5 6.10 6.61 6.985 7.2 7.4则关于 x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为()A y1， y2， y3 B y2， y1， y37C y3， y2， y1 D y1， y3， y2解析：选 C通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量 y3随 x的变化符合此规律；指数函数的增长速度成倍增长， y2随 x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间， y1随x的变化符合此规律，故选 C.3若 a1， n0，那么当 x足够大时， ax， xn，log ax的大小关系是_解析： a1， n0，函
15、数 y1 ax， y2 xn， y3log ax都是增函数由指数函数、对数函数、幂函数的变化规律可知，当 x足够大时， axxnlogax.答案： axxnlogax4函数 y x2与函数 y xln x在区间(1，)上增长较快的一个是_解析：当 x变大时， x比 ln x增长要快， x2比 xln x增长要快答案： y x25某地发生地震，各地纷纷捐款捐物，甲、乙、丙三个公司分别派代表到慈善总会捐款给灾区甲公司的代表说：“在 10天内，我们公司每天捐款 5万元给灾区 ”乙公司的代表说：“在 10天内，我们公司第 1天捐款 1万元，以后每天比前一天多捐款 1万元 ”丙公司的代表说：“在 10天内，我们公司第 1天捐款 0.1万元，以后每天捐款都比前一天翻一番 ”你觉得哪个公司在 10天内捐款最多？解：三个公司在 10天内捐款情况如下表所示：甲公司 乙公司 丙公司第 1天 5 1 0.1
