《2017-2018年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆及其标准方程学案（含解析）新人教a版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆及其标准方程学案（含解析）新人教a版选修2-1（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、122.1椭圆及其标准方程椭圆的定义提出问题取一条定长的细绳，把它的两端分别固定在图板的两点 F1， F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖问题 1：若绳长等于两点 F1， F2的距离，画出的轨迹是什么曲线？提示：线段 F1F2.问题 2：若绳长大于两点 F1， F2的距离，画出的轨迹还是线段吗？其图形又是什么？提示：不是线段，椭圆导入新知椭圆的定义平面内与两个定点 F1， F2的距离的和等于常数(大于| F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距化解疑难定义中的条件 2a| F1F2|0 不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的否则：(1)
2、当 2a| F1F2|时，其轨迹为线段 F1F2；(2)当 2a| F1F2|时，其轨迹不存在.椭圆的标准方程提出问题在平面直角坐标系中，设 A(4,0)， B(4,0)， C(0,4)， D(0，4)问题 1：若| PA| PB|10，则点 P 的轨迹方程是什么？提示：轨迹方程为 1.x225 y29问题 2：若| PC| PD|10，则点 P 的轨迹方程是什么？提示： 1.y225 x29导入新知若| F1F2|2 c，| MF1| MF2|2 a(a c)，则椭圆的标准方程、焦点坐标及 a， b， c 的关系见下表：2焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上标准方程 1( a b0)x2a2
3、y2b2 1( a b0)y2a2 x2b2焦点坐标 ( c,0)，( c,0) (0， c)，(0， c)a， b， c 的关系 c2 a2 b2化解疑难1标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在 x 轴或 y 轴上，对称轴是坐标轴2标准方程的代数特征：方程右边是 1，左边是关于 x， y 的平方和，并且分母不相等3 a， b， c 三个量的关系：椭圆的标准方程中， a 表示椭圆上的点 M 到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆.椭圆标准方程的识别例 1当 3 k9 时，指出方程 1 表示的曲线x29 k y2k 3解3 k9，9 k0， k30.(1)当 9 k k3，即 3
4、 k6 时，方程表示焦点在 x 轴上的椭圆；(2)当 9 k k3，即 k6 时，方程表示圆 x2 y23；(3)当 9 k k3，即 6 k9 时，方程表示焦点在 y 轴上的椭圆类题通法根据椭圆标准方程的两种形式可知，焦点在哪一坐标轴上，哪一变量对应的分母大，即 x2对应的分母大，焦点就在 x 轴上； y2对应的分母大，焦点就在 y 轴上活学活用已知椭圆 1 的焦点在 y 轴上，若焦距为 4，则 m 等于_x210 m y2m 2解析：由题意得 m210 m0，解得 6 m10.又 a2 m2， b210 m，则 c2 a2 b22 m124，解得 m8.答案：83求椭圆的标准方程例 2求满
5、足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在 y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)解(1)因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为 1( a b0)x2a2 y2b2将点(5,0)代入上式解得 a5，又 c4，所以 b2 a2 c225169.故所求椭圆的标准方程为 1.x225 y29(2)因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为 1( a b0)y2a2 x2b2因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以Error! Error!故所求椭圆的标准方程为 x21.y24类题通法确定椭圆的方程包括“定
6、位”和“定量”两个方面(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)“定量”是指确定 a2， b2的具体数值，常根据条件列方程求解活学活用求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过两点(2， )， ；2 ( 1，142)(2)过点( ， )，且与椭圆 1 有相同的焦点3 5y225 x29解：(1)法一：若焦点在 x 轴上，设椭圆的标准方程为 1( a b0)x2a2 y2b2由已知条件得Error!解得Error!所以所求椭圆的标准方程为 1.x28 y244若焦点在 y 轴上，设椭圆的标准方程为 1( a b0)y2a2
7、x2b2由已知条件得Error!解得Error!即 a24， b28，则 a2 b2，与题设中 a b0 矛盾，舍去综上，所求椭圆的标准方程为 1.x28 y24法二：设椭圆的一般方程为 Ax2 By21( A0， B0，A B)将两点(2， )， 代入，2 ( 1，142)得Error!解得Error!所以所求椭圆的标准方程为 1.x28 y24(2)因为所求椭圆与椭圆 1 的焦点相同，y225 x29所以其焦点在 y 轴上，且 c225916.设它的标准方程为 1( a b0)y2a2 x2b2因为 c216，且 c2 a2 b2，故 a2 b216.又点( ， )在椭圆上，3 5所以 1
8、， 5 2a2 3 2b2即 1.5a2 3b2由得 b24， a220，所以所求椭圆的标准方程为 1.y220 x24椭圆的定义及其应用例 3已知 P 为椭圆 1 上一点， F1， F2是椭圆的焦点， F1PF260，求x212 y23F1PF2的面积解在 PF1F2中，| F1F2|2| PF1|2| PF2|22| PF1|PF2|cos 60，5即 36| PF1|2| PF2|2| PF1|PF2|.由椭圆的定义得| PF1| PF2|4 ，3即 48| PF1|2| PF2|22| PF1|PF2|.由得| PF1|PF2|4. S 12VFP |PF1|PF2|sin 60 .1
9、2 3类题通法(1)椭圆的定义具有双向作用，即若| MF1| MF2|2 a(2a| F1F2|)，则点 M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点 M 到两焦点的距离之和必为 2a.(2)椭圆上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1， F2构成的 PF1F2，称为焦点三角形解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解活学活用已知椭圆 1( a b0)， F1， F2是它的焦点过 F1的直线 AB 与椭圆交于 A， Bx2a2 y2b2两点，求 ABF2的周长解：| AF1| AF2|2 a，| BF1| BF2|2 a，则 ABF2的周长| AB| BF2| A
10、F2| AF1| BF1| AF2| BF2|4 a， ABF2的周长为 4a.2.定 义 法 求 解 轨 迹 方 程定义法是求轨迹方程的一种常用方法求解时，若能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法下面利用椭圆的定义求轨迹方程1求三角形顶点的轨迹方程例已知 B， C 是两个定点，| BC|8，且 ABC 的周长等于 18，求这个三角形的顶点 A 的轨迹方程解以过 B， C 两点的直线为 x 轴，线段 BC 的垂直平分线为 y 轴，6建立直角坐标系 xOy，如图所示由| BC|8，可知点 B(4,0)， C(4，0)
11、， c4.由| AB| AC| BC|18，| BC|8，得| AB| AC|10.因此，点 A 的轨迹是以 B， C 为焦点的椭圆，设其方程为 1( ab0，且 y0)，x2a2 y2b2这个椭圆上的点与两焦点的距离之和 2a10，但点 A 不在 x 轴上由 a5， c4，得 b2 a2 c225169.所以点 A 的轨迹方程为 1( y0)x225 y29类题通法利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的方程这就是用定义法求椭圆标准方程的方法，
12、要注意检验活学活用1若本题中“且 ABC 周长等于 18”变为“且 ABC 周长等于 24”，试求此时顶点 A的轨迹方程解：由题可知，此时 2a24816，则 a8， c4，得 b2 a2 c248，所以点 A 的轨迹方程为 1( y0)x264 y2482求动圆圆心的轨迹方程例已知动圆 M 过定点 A(3,0)，并且内切于定圆 B：( x3) 2 y264，求动圆圆心 M 的轨迹方程解设动圆 M 的半径为 r，则| MA| r，| MB|8 r，| MA| MB|8，且 8| AB|6，动点 M 的轨迹是椭圆，设其方程为 1( ab0)，且焦点分别是 A(3,0)，x2a2 y2b2B(3,
13、0)，且 2a8， a4， c3， b2 a2 c21697.所求动圆圆心 M 的轨迹方程是 1.x216 y27类题通法巧妙地应用几何知识(两圆内切时圆心距与半径之间的关系)，寻求到| MA| MB|8，7而且 8| AB|6，从而判断动点 M 的轨迹是椭圆活学活用2已知动圆 M 和定圆 C1： x2( y3) 264 相内切，并且外切于定圆 C2： x2( y3)24，求动圆圆心 M 的轨迹方程解：设动圆 M 的半径为 r，圆心 M(x， y)，两定圆圆心 C1(0,3)， C2(0，3)，半径r18， r22.则| MC1|8 r，| MC2| r2.故| MC1| MC2|(8 r)(
14、 r2)10.又| C1C2|6，则动圆圆心 M 的轨迹是椭圆，设其方程为 1( ab0)，y2a2 x2b2且焦点为 C1(0,3)， C2(0，3)，2 a10，即 a5， c3，则 b2 a2 c225916.所以动圆圆心 M 的轨迹方程是 1.y225 x216随堂即时演练1已知椭圆 1 的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是()x2a2 y22A. 1 B. 1x24 y22 x23 y22C x2 1 D. 1y22 x26 y22解析：选 D由题意知，椭圆焦点在 x 轴上，且 c2， a2246，因此椭圆方程为 1，故选 D.x26 y222椭圆 y21 的两个焦点为 F1， F2，过 F1作 x 轴的垂线与椭圆相交，一个交点为x24P，则 PF1F2的面积等于()A. B. C. D432 3 72解析：选 A如图所示，由定义可知，| PF1| PF2|2 a4，8c ，a2 b2 3又由 PF1 F1F2，可设点 P 的坐标为( ， y0)，3代入 y21，得| y0| ，x24 12即| PF1| ，12所以 SV12PF |PF
