《2017-2018年高中数学 考点17 正弦定理和余弦定理（含2013年高考试题）新人教a版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 考点17 正弦定理和余弦定理（含2013年高考试题）新人教a版（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1考点 17 正弦定理和余弦定理一、选择题1.（2013北京高考文科5）在ABC 中，a=3,b=5,sinA= 13,则 sinB=( )A. 1 B. 9 C. 53 D.1【解题指南】已知两边及一边的对角利用正弦定理求解。【解析】选 B。由正弦定理得35,sin1sini9所 以 所 以abBAB。2.（2013新课标全国高考文科4） C的内角 ,A的对边分别为 ,abc，已知 2b， 6， 4C，则 的面积为（ ）A. 3 B. 31 C.23 D. 31【解题指南】利用正弦定理和三角形的面积公式可得【解析】选 B.因为 ,64BC,所以 71A.由正弦定理得 sini64bc，解得2
2、c。所以三角形的面积为 7sin221bc.因为 7313sini() ()14，所以 2i()2bcA，选 B.3.（2013新课标高考文科10）已知锐角ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a， c， 02cos32， 7a，c=6，则 b（ ）A.10 B.9 C.8 D.5【解题指南】由 s2A，利用倍角公式求出 Acos的值，然后利用正弦定理或余弦定理求得 b的值.【解析】选 D.因为 0cos32，所以 01s2s3，解得251cosA，2方法一:因为ABC 为锐角三角形，所以 51cosA, 62in.由正弦定理 CcAasini得， Csi6527.35612sinC， 3
3、19cos.又 )(AB，所以 CABsincosin)i(i，175603251962sin.由正弦定理 BbAasini得, 175602b，解得 b.方法二:由余弦定理 bcaos22， 51，则 492362b，解得 54.（2013陕西高考文科9） 【备注：（2013陕西高考理科7）与之题干相同】设 ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 oscsinbCBaA, 则 ABC的形状为 ( )A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定【解题指南】在含有边角关系式的三角函数恒等变形中,利用正弦定理将边的关系式化为角的正弦式或利用余弦定
4、理将余弦式化为边的关系式,这是判断三角形形状的两个转化方向.【解析】选 A.因为 bcosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,所以 sin(B+C)=sin2A,sinA=sin2A, sinA=1,所以三角形 ABC 是直角三角形.5.（2013安徽高考文科9） 【备注：（2013安徽高考理科12）与之题干相同】设ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c.若 b+c=2a,则 3sinA=5sinB,则角 C=()A. 3 B. C. 34 D. 56【解题指南】 根据正弦定理、余弦定理进行解三角形计算。3【解析】选 B
5、.由题设条件可得523357abbca，由余弦定理得2222()()1cos53bacC，所以 2 C=3。6. （2013山东高考文科7） ABC的内角 、 、 的对边分别是 abc、 、 ，若2BA， 1a， b，则 c（ ）A. 3 B. 2 C. D.1【解析】选 B.由 ,则 AB2sini，由正弦定理知 BbAasini,即ABAcosi32sinisin1,所以 cosA= 23，所以 A= 6， 32，所以 C，所以 4122ba，c=2.7.（2013湖南高考理科3）在锐角 ABC中，角 ,所对的边长分别为 ,ab.若2sin,aBbA则 角 等 于（ ）A 1 B 6 C
6、4 D 3【解题指南】本题先利用正弦定理 BbAasini化简条件等式，注意条件“锐角三角形” . 【解析】选 D.由 2asinB= 3b 得 2sinAsinB= 3sinB,得 sinA= 23,所以锐角 A= 3.8. （2013天津高考理科6）在 ABC 中, ,4ABCC则 sinBA = ()A. 10 B. 105C. 310D. 5【解题指南】先由余弦定理求 AC 边长，然后根据正弦定理求值.【解析】选 C. 在 ABC 中，由余弦定理得，4222 2cos2934ABCABC5,所以 5,由正弦定理得 ,siniBA即 5in4,siA所以 310sinBC.9. （201
7、3湖南高考文科5）在锐角 ABC 中，角 A，B 所对的边长分别为 a，b. 若2asinB= 3b，则角 A 等于（ ）A. B. 4 C. 6 D.12【解题指南】本题先利用正弦定理 BbAasini化简条件等式，注意条件“锐角三角形” . 【解析】选 A.由 2asinB= 3b 得 2sinAsinB= 3sinB,得 sinA= 23,所以锐角 A= 3.二、填空题10.(2013浙江高考理科T16)在 ABC 中, C=90,M 是 BC 的中点.若 1sinBAM,则 sinBAC =.【解题指南】分别在 RtABC 和ABM 中应用勾股定理和正弦定理.【解析】设 AC=b,AB
8、=c,BC=a,在ABM 中由正弦定理得12sinsinacBAM,因为 ACM,又 2Cbca, 22134bac,所以2sin34caBMA.又由得 2134ca,两边平方化简得 4c4-12a2c2+9a4=0,所以 2c2-3a2=0,所以 6sin3BACc.5【答案】 6311.（2013上海高考理科T4）已知ABC 的内角 A,B,C 所对应边分别为 a,b,c,若3a2+2ab+3b2-3c2=0,则角 C 的大小是(结果用反三角函数值表示).【解析】 3a2+2ab+3b2-3c2=0c2=a2+b2+ ab,故 11cos,arcos33C23【答案】 1arcos312.
9、（2013上海高考文科T5）已知 ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c.若a2+ab+b2-c2=0，则角 C 的大小是 .【解析】 3212- cos0- 2 abcba【答案】 32三、解答题13. （2013大纲版全国卷高考文科18）与（2013大纲版全国卷高考理科18）相同设 ABC的内角 ， ， C的对边分别为 cba,， acbc)(（I）求 ;（II）若 413sin,求 .【解题指南】 （I）由条件 acbca)(确定求 B应采用余弦定理.（II）应用三角恒等变换求出 CA及 的值，列出方程组确定 C的值.【解析】 （I）因为 b)(.所以 acb22.由余弦
10、定理得 21cos2acB，因此 o0B.（II）由（I）知 o60CA，所以 CACAsincs)s(sincosin+2)(641322.故 o0CA或 o30，因此 o15C或 o414. （2013新课标高考理科17）如图，在 AB中，o9B， ， B， P为 内一点， o90PC.（）若 21PB，求 A；（）若 o50，求 PBtan.【解析】由已知得， o6C，所以 o3PBA.在 ，由余弦定理得 4730cos2142 ,故 2PA.（）设 PBA，由已知得 inB，在 中，由正弦定理得 )30si(15sioo，化简得 sin4co3，所以43tan，即 4tanPBA.15
11、. （2013天津高考文科16）在ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c. 已知 sin3ibAc, a = 3, 2cos3. () 求 b 的值; () 求 si23B的值. 【解题指南】()根据正弦定理及 sin3ibAcB, a = 3 求出 a,c 的值，再由余弦定理7求 b 的值；()根据同角三角函数的基本关系式及二倍角公式求出 cos2B， in，再由两角差的正弦公式求值.【解析】() 在ABC 中，由正弦定理得 siniabA，即 siiAa，又由sin3ibAcB，可得， 3ac,又 a = 3，故 c=1，由 22cos,B且2o,可得 6.b(
12、)由 cs3，得 5sin3，进而得到 21coss,9B4in2io.9B所以 453sisin2cos2in.3318B16.(2013浙江高考文科T18)与(2013浙江高考理科T18)相同在锐角ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2asinB= 3b.(1)求角 A 的大小.(2)若 a=6,b+c=8,求ABC 的面积.【解题指南】(1)由正弦定理易求角 A 的大小;(2)根据余弦定理,借助三角形的面积公式求解.【解析】(1)由 2asinB= 3b 及正弦定理 siniabB,得 sinA= 32,因为 A 是锐角,所以 .(2)由余弦定理 a2=b2+c2
13、-2bccosA,得b2+c2-bc=36,又 b+c=8,所以 83bc,由三角形面积公式 S= 12bcsinA,得ABC 的面积为 73.17.（2013江西高考理科16）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 cosC(A3sin)coB0.(1)求角 B 的大小；(2)若 a1，求 b 的取值范围.8【解题指南】(1)借助三角形内角和为 ，结合三角恒等变换将条件中的等式转化为只含 B的方程，求出 B 的三角函数值，进而可求出角 B.（2）根据（1）求出的 B 与 ac1，由余弦定理可得 b2关于 a 的函数，注意到 ac可知 0a，进而可求出 b 的范围.【解
14、析】 （1）由已知得 cos(AB)so3sinAco0，即sinA3in0.因为 in，所以 s,又 cos0,所以 taB,又 ，所以 3.（2）由余弦定理，有 22bacosB，因为 ac1， osB2,所以21b3(a)4，又因为 01，所以 2b4，即 b.18. （2013江西高考文科17）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.（1）求证： a， b， c 成等差数列；（2）若 C= 3，求 的值.【解题指南】 （1）先利用二倍角公式把角 2B 化为角 B，再进行角化边的处理；（2）借助第（1）问的结果结合余弦定理进行求解.【解析】(1)由已知得 sinAsinB+sinBsinC=2sin2B,因为 sinB 0,所以 sinA+sinC=2sinB,由正弦定理可知 a+c=2b，即 a，b，c 成等差数列.(2) 由 C= 23，c=2b-a 及余弦定理得 22(a)ba，即有 25b30，所以ab5.19.（2013北京高考理科15）在ABC 中， a=3， b=2 6， B=2 A.(I)求 cosA 的值，(II)求 c 的值【解题指南】 （1）由条件可以看出，已知两角关系求角，
