《2017-2018年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.2 空间向量的数乘运算学案（含解析）新人教a版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.2 空间向量的数乘运算学案（含解析）新人教a版选修2-1（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、131.2空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算提出问题作向量 a a a， ( a)( a)( a)(a0)AB CD 问题 1： 的模是 a 的模的几倍？AB 提示：3 倍问题 2： 的方向与 a 的方向一致吗？AB 提示：一致问题 3：| |是| a|的几倍？ 与 a 的方向有怎样的关系？CD CD 提示：3 倍，相反导入新知定义与平面向量一样，实数 与空间向量 a 的乘积 a 仍然是一个向量，称为向量的数乘 0 a 与向量 a 的方向相同 0 a 与向量 a 的方向相反几何意义 0 a 0，其方向是任意的a 的长度是 a 的长度的| |倍分配律 (a b) a b运算律 结合律 (a )
2、( )a化解疑难对空间向量数乘运算的理解(1)任何实数与向量的积仍是一个向量，当 0 时， a 0.(2)向量数乘运算满足以下运算律： ( a) a， (a b) a b .(3)运算律中是实数与向量的乘积，不是向量与向量的乘法运算.2共线、共面向量提出问题空间中有向量 a， b， c(均为非零向量)问题 1：向量 a 与 b 共线的条件是什么？提示：存在唯一实数 ，使 a b .问题 2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？提示：一定；不一定问题 3：空间两非零向量 a， b 共面，能否推出 a b ( R)?提示：不能导入新知共线(平行)向量 共面向量定义表示空间向量的有向线段所
3、在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于同一个平面的向量叫做共面向量充要条件对于空间任意两个向量 a， b(b0)，a b 的充要条件是存在实数 ，使a b若两个向量 a， b 不共线，则向量 p 与a， b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对( x， y)，使 p xa yb共线(平行)向量 共面向量推论如果 l 为经过点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线，那么对于空间任一点 O，点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数t，使 ta，其中 a 叫做OP OA 直线 l 的方向向量，如图所示若在 l 上取 a，则式可化为AB tOP OA AB 如图，空间一点 P
4、 位于平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对( x， y)，使 x y ，或对空间任意一MP MA MB 点 O 来说，有 x yOP OM MA MB 3化解疑难对共线、共面向量的理解(1)共面向量不具有传递性(2)共线向量定理及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据定理中的条件 a0 不可遗漏(3)直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反(4)空间任意两个向量总是共面的，空间任意三个向量可能共面，也可能不共面(5)向量 p 与 a， b 共面的充要条件是在 a 与 b 不共线的前提下才成立的，若 a 与 b 共线，则不成立空间向量的线性
5、运算例 1已知正四棱锥 PABCD， O 是正方形 ABCD 的中心， Q 是 CD 的中点，求下列各式中 x， y， z 的值(1) y z ；OQ PQ PC PA (2) x y .PA PO PQ PD 解如图(1) ( )OQ PQ PO PQ 12 PA PC ，PQ 12PC 12PA y z .12(2) O 为 AC 的中点， Q 为 CD 的中点， 2 ， 2 ，PA PC PO PC PD PQ 2 ， 2 ，PA PO PC PC PQ PD 4 2 2 ，PA PO PQ PD x2， y2.类题通法利用向量的加减运算是处理此类问题的基本方法一般地，可以找到的封闭图形
6、不是唯一的，但无论哪一种途径，结果应是唯一的应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量在几何中应用的前提，一定要熟练掌握活学活用如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， O 为 AC 的中点(1)化简： ；A1O 12AB 12AD (2)设 E 是棱 DD1上的点，且 ，若DE 23DD1 x y z ，试求实数 x， y， z 的值EO AB AD AA1 解：(1)原式 ( ) .A1O 12 AB AD A1O AO A (2) ( ) EO AO AE 12 AB AD AD 23AA1 ，12AB 12AD 23AA1 x ， y ， z .12 12 23空间向量共
7、线问题例 2如图所示，已知四边形 ABCD， ABEF 都是平行四边形且不共面， M， N 分别是 AC， BF 的中点，判断 与 是否共线CE MN 解因为 M， N 分别是 AC， BF 的中点，且四边形 ABCD，四边形ABEF 都是平行四边形，所以 .MN MA AF FN 12CA AF 12FB 又因为 ，MN MC CE EB BN 12CA CE AF 12FB 以上两式相加得 2 ，所以 ，CE MN CE MN 5即 与 共线CE MN 类题通法(1)判断向量共线就是充分利用已知条件找到实数 ，使 a b 成立，同时要充分运用空间向量的运算法则，结合空间图形，化简得出 a
8、b ，从而得出 a b.(2)当两个空间向量共线时，即存在实数 ，使得 a b 成立，既可以用于证明，也可以用待定系数法求参数的值活学活用如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E 在 A1D1上，且 2 ，点 F 在对角线 A1C 上，且A1E ED1 .求证： E， F， B 三点共线A1F 23FC 证明：设 a， b， c.AB AD AA1 2 ， ，A1E ED1 A1F 23FC ， ，A1E 23A1D1 A1F 25A1C b，A1E 23AD 23 ( )A1F 25 AC AA1 ( )25 AB AD AA1 a b c.25 25 25 EF A1F A1
9、E a b c25 415 25 .25(a 23b c)又 EB EA1 A AB b c a23 a b c，236 .又 EF EB E，EF 25EB E， F， B 三点共线.空间向量共面问题例 3已知 A， B， C 三点不共线，平面 ABC 外一点 M 满足 OM 13OA 13OB 13.OC (1)判断 ， ， 三个向量是否共面；MA MB MC (2)判断 M 点是否在平面 ABC 内解(1) 3 ，OA OB OC OM ( )( ) ，OA OM OM OB OM OC BM CM ，MA BM CM MB MC 向量 ， ， 共面MA MB MC (2)由(1)知向量
10、 ， ， 共面，而它们有共同的起点 M，且 A， B， C 三点不共MA MB MC 线，点 M， A， B， C 共面，即点 M 在平面 ABC 内类题通法(1)证明向量共面，可以利用共面向量的充要条件，也可直接利用定义，通过线面平行或直线在平面内进行证明(2)向量共面向量所在的直线不一定共面，只有这些向量都过同一点时向量所在的直线才共面(向量的起点、终点共面)活学活用已知 E， F， G， H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB， BC， CD， DA 的中点，求证：(1)E， F， G， H 四点共面(2)BD平面 EFGH.证明：如图，连接 EG， BG.7(1)因为 EG EB
11、BG ( )EB 12 BC BD EB BF EH ，EF EH 由向量共面的充要条件知： E， F， G， H 四点共面(2)因为 ，所以 EH BD.EH AH AE 12AD 12AB 12BD 又 EH平面 EFGH， BD平面 EFGH，所以 BD平面 EFGH.5.空 间 向 量 共 线 、 共 面 充 要 条 件 的 应 用典例(8 分)空间四边形 ABCD 中， E， H 分别是 AB， AD 的中点，F， G 分别在边 CB， CD 上，且 ， .CF 23CB CG 23CD 求证：四边形 EFGH 为梯形解题流程规范解答8根据题意， ， ，又 ， EH AH AE BD
12、 AD AB AH 12AD AE 12，AB .(2 分)EH 12BD ， ，又 ， ，FG CG CF BD CD CB CG 23CD CF 23CB 活学活用对于任意空间四边形 ABCD， E， F 分别是 AB， CD 的中点，试判断 与 ， 的EF BC AD 关系解：如图所示，空间四边形 ABCD 中， E， F 分别是 AB， CD 的中点，利用多边形加法法则可得， ，EF EA AD DF .EF EB BC CF 又 ， ，EA EB DF CF ，EF EB AD CF 2 ，EF AD BC 所以 ，EF 12AD 12BC 与 ， 共面EF BC AD 随堂即时演练1已知空间四边形 ABCD 中， G 为 CD 的中点，则 ( )等于()AB 12 BD BC A BAG CG nt
