《2017-2018年高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算（二）学案（含解析）新人教a版选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算（二）学案（含解析）新人教a版选修2-2（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第二课时复合函数求导及应用复合函数已知 y(3 x2) 2， ysin .(2x6)问题 1：这两个函数是复合函数吗？提示：是复合函数问题 2：试说明 y(3 x2) 2是如何复合的提示：令 u g(x)3 x2， y f(u) u2，则 y f(u) f(g(x)(3 x2) 2.问题 3：试求 y(3 x2) 2， f(u) u2， g(x)3 x2 的导数提示： y(9 x212 x4)18 x12， f( u)2 u， g( x)3.问题 4：观察问题 3中的导数有何关系提示： y f( u)g( x)1复合函数的概念对于两个函数 y f(u)和 u g(x)，如果通过变量 u， y
2、可以表示成 x的函数，那么称这个函数为函数 y f(u)和 u g(x)的复合函数，记作 y f(g(x)2复合函数的求导法则复合函数 y f(g(x)的导数和函数 y f(u)， u g(x)的导数间的关系为yx yu ux，即 y对 x的导数等于 y对 u的导数与 u对 x的导数的乘积对复合函数概念的理解(1)在复合函数中，内层函数的值域必须是外层函数定义域的子集(2)对于复合函数，中间变量应该选择基本初等函数判断一个函数是基本初等函数的标准是：运用求导公式可直接求导简单的复合函数求导问题求下列函数的导数：(1)y ；(2) ye sin x；1 2x2(3)ysin ；(4) y5log
3、 2(2x1)(2x3)2(1)设 y u12， u12 x2，则 y( u )(12 x2) (4 x)(12u) (12 x2) 1(4 x) .12 2x1 2x2(2)设 ye u， usin x，则 yx yu uxe ucos xe sin xcos x.(3)设 ysin u， u2 x ，3则 yx yu uxcos u22cos .(2x3)(4)设 y5log 2u， u2 x1，则 y5(log 2u)u(2 x1) x .10uln 2 10 2x 1 ln 2复合函数的求导步骤求下列函数的导数：(1)y(2 x1) 4；(2)y10 2x3 ；(3)ysin 4xco
4、s 4x.解：(1)令 u2 x1，则 y u4， y x y uu x4 u3(2x1)4 u328(2 x1) 3.(2)令 u2 x3，则 y10 u， y x y uu x10 uln 10(2x3)2ln 1010 2x3 .(3)ysin 4xcos 4x(sin 2xcos 2x)22sin 2xcos2x31 sin22x121 (1cos 4 x)14 cos 4x.34 14所以 y sin 4 x.(34 14cos 4x)复合函数与导数的运算法则的综合应用求下列函数的导数：(1)y x ；1 x2(2)y xcos sin .(2x2) (2x 2)(1) y( x )
5、1 x2 x x( )1 x2 1 x2 .1 x2x21 x2 1 2x2 1 x21 x2(2) y xcos sin(2x2) (2x 2) x(sin 2 x)cos 2x xsin 4x，12 y (12xsin 4x) sin 4x cos 4x412 x2 sin 4x2 xcos 4x.12复合函数求导应注意的问题(1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由
6、外及内逐层求导求下列函数的导数：(1)ysin 2 ；x34(2)ysin 3xsin x3；(3)y xln(12 x)解：(1) y 2sin (sin2 x3) x3 (sin x3)2sin cos sin .x3 x3 (x3) 13 2x3(2)y(sin 3xsin x3)(sin 3x)(sin x3)3sin 2xcos xcos x33x23sin 2xcos x3 x2cos x3.(3)y xln(12 x) xln(12 x) .2x1 2x复合函数导数的综合问题设 f(x)ln( x1) ax b(a， bR， a， b为常数)，曲线 y f(x)与直线x 1y x
7、在(0,0)点相切，求 a， b的值32由曲线 y f(x)过(0,0)点，可得 ln 11 b0，故 b1.由 f(x)ln( x1) ax b，x 1得 f( x) a，1x 1 12x 1则 f(0)1 a a，12 32此即为曲线 y f(x)在点(0,0)处的切线的斜率由题意，得 a ，故 a0.32 32解决复合函数求导与导数几何意义综合问题的方法正确求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离 s(单位：m)关于时间 t(单位：s)的函数为
8、 y s(t)5 .求函数在 t 时的导数，并解释它的实际意义25 9t2715解：函数 y5 可以看作函数 f(x)5 和 x (t)259 t2的复合函25 9t2 x数，其中 x是中间变量5由导数公式表可得 f( x) x ， ( t)18 t.12 12再由复合函数求导法则得 y t s( t) f( x) ( t) (18 t)(12x 12)，9t25 9t2将 t 代入 s( t)，得 s 0.875(m/s)715 (715)它表示当 t 时，梯子上端下滑的速度为 0.875 m/s.7153.复 合 函 数 求 导 不 完 全 致 误函数 y xe12 x的导数为_ye 12
9、 x x(e12 x)e 12 x xe12 x(12 x)e 12 x xe12 x(2)(12 x)e12 x.y(12 x)e12 x1本题易发生对 e12 x的求导不按照复合函数的求导法则进行，导致求导不完全，得出 ye 12 x x(e12 x)e 12 x xe12 x(1 x)e12 x的错误结论2复合函数的求导法则通常称为链条法则，因为它像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的任何一环函数 yln 在 x0 处的导数为_ex1 ex解析： yln ln e xln(1e x) xln(1e x)，ex1 ex则 y1 .ex1 ex当 x0 时， y1 .11 1 12
10、答案：1261函数 y(2 0178 x)3的导数 y等于()A3(2 0178 x)2 B24 xC24(2 0178 x)2 D24(2 0178 x)2解析：选 C y3(2 0178 x)2(2 0178 x)3(2 0178 x)2(8)24(2 0178 x)2.2函数 y x2cos 2x的导数为()A y2 xcos 2x x2sin 2xB y2 xcos 2x2 x2sin 2xC y x2cos 2x2 xsin 2xD y2 xcos 2x2 x2sin 2x解析：选 B y( x2)cos 2x x2(cos 2x)2 xcos 2x x2(sin 2x)(2x)2
11、xcos 2x2 x2sin 2x.3已知 f(x)ln(3 x1)，则 f(1)_.解析： f( x) (3x1) ，13x 1 33x 1 f(1) .32答案：324设曲线 ye ax在点(0,1)处的切线与直线 x2 y10 垂直，则 a_.解析：令 y f(x)，则曲线 ye ax在点(0,1)处的切线的斜率为 f(0)，又切线与直线 x2 y10 垂直，所以 f(0)2.因为 f(x)e ax，所以 f( x)(e ax)e ax(ax) aeax，所以 f(0) ae0 a，故 a2.答案：25求下列函数的导数：(1)ycos( x3)；(2) y(2 x1) 3；(3)ye 2
12、 x1 .解：(1)函数 ycos( x3)可以看作函数 ycos u和 u x3 的复合函数，由复合函数的求导法则可得yx yu ux(cos u)( x3)sin u1sin usin( x3)(2)函数 y(2 x1) 3可以看作函数 y u3和 u2 x1 的复合函数，7由复合函数的求导法则可得yx yu ux( u3)(2 x1)3 u226 u26(2 x1) 2.(3)ye 2 x1 (2 x1)2e 2 x1 .一、选择题1函数 y( x21) n的复合过程正确的是()A y un， u x21B y( u1) n， u x2C y tn， t( x21) nD y( t1)
13、n， t x21答案：A2函数 y 5的导数为()(x1x)A y5 4(x1x)B y5 4(x1x)(1 1x)C y5 4(x1x)(1 1x2)D y5 4(x1x)(x 1x)解析：选 C函数 y 5是函数 y u5与 u x 的复合函数，(x1x) 1x y x y uu x5 4 .(x1x)(1 1x2)3函数 y xln(2x5)的导数为()Aln(2 x5)x2x 5Bln(2 x5)2x2x 5C2 xln(2x5)D.x2x 5解析：选 B y xln(2 x5) xln(2 x5) x (2x5)12x 5ln(2 x5)8.2x2x 54(新课标全国卷)设曲线 y axln( x1)在点(0,0)处的切线方程为 y2 x，则 a的值为()A0B1C2 D3解析：选 D y a ，由题意得 y| x0 2，即 a12， a3.1x 15曲线 yln(2 x1)上的点到直线 2x y30 的最短距离是()A. B25 5C3 D05解析：选 A设曲线 yln(2 x1)在点( x0， y0)处的切线与直线 2x y30 平行 y ， y| x x0 2，解得 x01，22x 1 22x0 1 y0ln(21)0，即切点坐标为(1,0
