《2017-2018年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2.1 抛物线的简单几何性质课后提升训练（含解析）新人教a版选修1-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2.1 抛物线的简单几何性质课后提升训练（含解析）新人教a版选修1-1（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1抛物线的简单几何性质(45 分钟70 分)一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)1.在抛物线 y2=2px 上,横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5,则 p 的值为()A. B.1 C.2 D.412【解析】选 C.y2=2px 的准线为 x=- ,p2所以 +4=5,p=2.p22.经过抛物线 y2=2x 的焦点且平行于直线 3x-2y+5=0 的直线 l 的方程是()A.6x-4y-3=0 B.3x-2y-3=0C.2x+3y-2=0 D.2x+3y-1=0【解析】选 A.设直线 l 的方程为 3x-2y+c=0,抛物线 y2=2x 的焦点 F ,(12,0)所以 3 -20+c=0
2、,12所以 c=- ,故直线 l 的方程是 6x-4y-3=0.323.(2017衡水高二检测)若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合,则 p 的值x26y22为()A.-2 B.2 C.-4 D.4【解析】选 D.椭圆 + =1 的右焦点为(2,0),x26y22所以 =2,所以 p=4.p24.已知抛物线 C:y2=x 的焦点为 F,A(x0,y0)是 C 上一点,|AF|= x0,则 x0=()542A.4 B.2 C.1 D.8【解析】选 C.如图,F ,过 A 作 AA准线 l,所以|AF|=|AA|,所以 x0=x0+ =x0+ ,所(14,0) 54 p2
3、14以 x0=1.5.已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直线 y=2x-4 与 C 交于 A,B 两点,则 cosAFB=()A. B. C.- D.-45 35 35 45【解析】选 D.由 得 x2-5x+4=0,y2=4,=24所以 x=1 或 x=4.不妨设 A(4,4),B(1,-2),则| |=5,| |=2, =(3,4)(0,-2)=-8,所以 cosAFBF F F F= = =- .F| -852456.(2017全国甲卷)过抛物线 C:y2=4x 的焦点 F,且斜率为 的直线交 C 于点 M(M 在 x 轴3上方), l 为 C 的准线,点 N 在 l 上且 MN
4、 l,则 M 到直线 NF 的距离为()A. B.25 2C.2 D.33 3【解析】选 C.由题意知,MF:y= (x-1),与抛物线 y2=4x 联立得 3x2-10x+3=0,解得3x1= ,x2=3,所以 M(3,2 ),因为 MN l,所以 N(-1,2 ),13 3 33又 F(1,0),所以 NF:y=- (x-1),3即 x+y- =0,3 3所以 M 到直线 NF 的距离为| 33+23 3|( 3)2+12=2 .3【补偿训练】设 M(x0,y0)为抛物线 C:x2=8y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 y0
5、的取值范围是()A.(0,2) B.0,2C.(2,+) D.2,+)【解析】选 C.因为 x2=8y,所以焦点 F 的坐标为(0,2),准线方程为 y=-2.由抛物线的定义知|FM|=y0+2.以 F 为圆心、|FM|为半径的圆的标准方程为 x2+(y-2)2=(y0+2)2.由于以 F 为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交,又圆心 F 到准线的距离为 4,故 42.7.(2016全国卷)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A,B 两点,交 C 的准线于 D,E 两点.已知|AB|=4 ,|DE|=2 ,则 C 的焦点到准线的距离为()2 5A.2 B.4 C.6 D.8【解析】选 B
6、.以开口向右的抛物线为例来解答,其他开口同理可得.设抛物线为 y2=2px(p0),设圆的方程为 x2+y2=r2,题目条件翻译如图:设 A(x0,2 ),D ,2 (-2, 5)点 A(x0,2 )在抛物线 y2=2px 上,所以 8=2px0.24点 D 在圆 x2+y2=r2上,(-2, 5)所以 5+ =r2.(-2)2点 A(x0,2 )在圆 x2+y2=r2上,所以 +8=r2.2 x20联立解得:p=4,焦点到准线的距离为 p=4.8.(2017天津高二检测)若抛物线 x2=2y 上距离点 A(0,a)的最近点恰好是抛物线的顶点,则 a 的取值范围是()A.a0 B.00,即 a
7、1 时,y=a-1 时 d2取到最小值,不符合题意.综上可知 a1.【易错警示】忽视了 y 的取值范围是0,+),只想到当点在 y 轴负半轴时,d 最小,导致错选 D,或胡乱猜测以致错选 B.二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)9.(2017青岛高二检测)抛物线 x2=2py(p0)的焦点为 F,其准线与双曲线 - =1 相交于x23y23A,B 两点,若ABF 为等边三角形,则 p=_.【解析】由于 x2=2py(p0)的准线为 y=- ,p2由 y=2,22=3,解得准线与双曲线 x2-y2=3 的交点为5A ,B ,(- 3+142,2) ( 3+142,2)所以 AB=2 .3+
8、142由ABF 为等边三角形,得 AB=p,解得 p=6.32答案:610.(2017长春高二检测)已知点 P 是抛物线 y2=4x 上的动点,点 P 在 y 轴上射影是 M,点A(4,6),则|PA|+|PM|的最小值是_.【解题指南】将 P 到 y 轴的距离,转化为点 P 到焦点的距离,当 A,P,F 共线时,|PA|+|PM|最小.【解析】由 y2=4x,得 p=2,所以焦点 F(1,0),如图,|PM|=|PN|- =|PF|-1,p2所以|PA|+|PM|=|PA|+|PF|-1|AF|-1= -1=3 -1.(41)2+(60)2 5答案:3 -15三、解答题(每小题 10 分,共
9、 20 分)11.(2017吉林高二检测)已知双曲线 - =1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线x22y22y2=2px(p0)的准线分别交于 A,B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为 2,AOB 的面积为 ,求抛物线的标准方程.36【解题指南】由双曲线离心率求得其渐近线方程,从而求得交点 A,B 的坐标,即可得到三角形面积表达式,从而得到 p 的值,进而写出标准方程.【解析】由已知得 =2,所以 =4,解得 = ,c a2+22 b 3即渐近线方程为 y= x.3而抛物线准线方程为 x=- ,p2于是 A ,B ,(-2, 32) (-2, 32)从而AOB 的面积为 p = ,可得
10、 p=2.因为抛物线开口向右,所以其标准方程为12 3 p2 3y2=4x.12.抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,点 A 是抛物线上一点,且AFO=120(O 为坐标原点),AK l,垂足为 K,求AKF 的面积.【解析】如图,设 A(x0,y0),过 A 作 AHx 轴于 H,在 RtAFH 中,|FH|=x 0-1,由AFO=120,得AFH=60,故 y0=|AH|= (x0-1).所以点 A3的坐标为(x 0, (x0-1),3将此代入抛物线方程可得 3 -10x0+3=0,x20解得 x0=3 或 x0= (舍),13故 SAKF = (3+1)2 =4 .12 3 3
11、【能力挑战题】7已知抛物线 C:y2=2px(p0),焦点为 F,准线为 l,抛物线 C 上一点 A 的横坐标为 3,且点 A 到准线 l 的距离为 5.(1)求抛物线 C 的方程.(2)若 P 为抛物线 C 上的动点,求线段 FP 的中点 M 的轨迹方程.【解析】(1)由题意得,3+ =5,所以 p=4,p2所以抛物线的方程为 y2=8x.(2)由(1)知 F(2,0),设 P(x0,y0),M(x,y),则 即x=0+22 ,=02, x0=22,0=2,而点 P(x0,y0)在抛物线 C 上, =8x0,y20所以(2y) 2=8(2x-2),即 y2=4(x-1),此即为所求点 M 的轨迹方程.
