《2017-2018年高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和学案（含解析）新人教a版必修5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和学案（含解析）新人教a版必修5（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、12.3 等差数列的前 n 项和数列的前 n 项和导入新知数列的前 n 项和对于数列 an，一般地，称 a1 a2 an为数列 an的前 n 项和，用 Sn表示，即Sn a1 a2 an.化解疑难数列的前 n 项和就是指从数列的第 1 项 a1起，一直到第 n 项 an所有项的和.等差数列的前 n 项和提出问题如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有 4 根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有 9 根问题 1：共有几层？图形的横截面是什么形状？提示：六层，等腰梯形问题 2：假设在这堆钢管旁边再倒放上捆扎着的同样一堆钢管，如图所示，则这样共有多少钢管？提示：(49)678.问题
2、3：原来有多少根钢管？提示： 7839.12问题 4：能否利用前面问题推导等差数列前 n 项和公式 Sn a1 a2 an?提示：能 Sn a1 a2 an，Sn an an1 a1，相加：2 Sn( a1 an)( a2 an1 )( an a1)2n(a1 an)， Sn .n a1 an2问题 5：试用 a1， d， n 表示 Sn.提示： an a1( n1) d， Sn na1 d.na1 a1 n 1 d2 n n 12导入新知等差数列的前 n 项和公式已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数选用公式 Snn a1 an2Sn na1 dn n 12化解疑难等差数列前 n 项和公
3、式的特点(1)两个公式共涉及 a1， d， n， an及 Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项、公差、项数、通项和前 n 项和(2)当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为简便；当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较好等差数列前 n 项和的有关计算例 1(1)(北京高考)已知 an为等差数列， Sn为其前 n 项和，若 a1 ， S2 a3，则12a2_； Sn_.(2)在等差数列 an中，已知 d2， an11， Sn35，求 a1和 n.解(1)设公差为 d，则由 S2 a3得2a1 d a12 d，所以 d a1 ，12故 a2 a1 d1， Sn na1 d .n n 12
4、n n 14(2)由Error!得Error!解方程组，得Error!或Error!答案(1)1n n 143类题通法a1， d， n 称为等差数列的三个基本量， an和 Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1， d， n， an， Sn中可知三求二，即等差数列的通项公式及前 n 项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前 n 项和公式联立方程(组)来求解这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用活学活用已知等差数列 an(1)a1 ， a15 ， Sn5，求 n 和 d；56 32(2)a14， S8172，求 a8和 Sn.解：(
5、1) a15 (151) d ，56 32 d .16又 Sn na1 d5，n n 12解得 n15， n4(舍去)(2)由已知，得 S8 172，8 a1 a82 8 4 a82解得 a839.又 a84(81) d39， d5. Sn4 n 5 n2 n.n n 12 52 32已知 Sn求通项公式 an例 2已知数列 an的前 n 项和 Sn2 n2 n2.(1)求 an的通项公式；(2)判断 an是否为等差数列解(1) Sn2 n2 n2，当 n2 时， Sn1 2( n1) 2( n1)22 n25 n1， an Sn Sn1(2 n2 n2)(2 n25 n1)4 n3.4又 a
6、1 S11，不满足 an4 n3，数列 an的通项公式是anError!(2)由(1)知，当 n2 时，an1 an4( n1)3(4 n3)4，但 a2 a15164， an不满足等差数列的定义， an不是等差数列类题通法已知数列 an的前 n 项和公式 Sn，求通项公式 an的步骤：(1)当 n1 时， a1 S1；(2)当 n2 时，根据 Sn写出 Sn1 ，化简 an Sn Sn1 ；(3)如果 a1也满足当 n2 时， an Sn Sn1 的通项公式，那么数列 an的通项公式为an Sn Sn1 .如果 a1不满足当 n2 时， an Sn Sn1 的通项公式，那么数列 an的通项公
7、式要分段表示为 anError!(如本例)活学活用已知下面各数列 an的前 n 项和 Sn的公式，求 an的通项公式(1)Sn2 n23 n；(2)Sn3 n2.解：(1)当 n1 时， a1 S121 2311；当 n2 时， Sn1 2( n1) 23( n1)2 n27 n5，则 an Sn Sn1 (2 n23 n)(2 n27 n5)2 n23 n2 n27 n54 n5.此时若 n1， an4 n54151 a1，故 an4 n5.(2)当 n1 时， a1 S13 121；当 n2 时， Sn1 3 n1 2，则 an Sn Sn1 (3 n2)(3 n1 2)3 n3 n133
8、 n1 3 n1 23 n1 .此时若 n1， an23 n1 23 11 2 a1，故 anError!等差数列前 n 项和的性质例 3(1)(辽宁高考)在等差数列 an中，已知 a4 a816，则该数列前 11 项和 S115等于()A58 B88C143 D176(2)等差数列 an中， S10100， S10010，求 S110.解(1)因为 an是等差数列，所以 a1 a11 a4 a82 a616 a68，则该数列的前 11 项和为 S11 11 a688.11 a1 a112(2)数列 an为等差数列， S10， S20 S10， S30 S20， S110 S100也成等差数列
9、设其公差为 d，则S10( S20 S10)( S30 S20)( S100 S90) S100，即 10S10 d S10010.1092又 S10100，代入上式，得 d22， S110 S100 S10(111) d10010(22)120， S110120 S100110.答案(1)B类题通法等差数列的前 n 项和常用的性质(1)等差数列的依次 k 项之和， Sk， S2k Sk， S3k S2k，组成公差为 k2d 的等差数列(2)数列 an是等差数列 Sn an2 bn(a， b 为常数)数列 为等差数列Snn(3)若 S 奇 表示奇数项的和， S 偶 表示偶数项的和，公差为 d.
10、当项数为偶数 2n 时， S 偶 S 奇 nd， ；S奇S偶 anan 1当项数为奇数 2n1 时， S 奇 S 偶 an， .S奇S偶 nn 1活学活用1在等差数列 an中，若 S41， S84，则 a17 a18 a19 a20的值为()A9 B12C16 D17解析：选 A由等差数列的性质知 S4， S8 S4， S12 S8，也构成等差数列，不妨设为bn，且 b1 S41， b2 S8 S43，于是可求得 b35， b47， b59，即6a17 a18 a19 a20 b59.2等差数列 an中， a2 a7 a1224，则 S13_.解析：因为 a1 a13 a2 a122 a7，又
11、 a2 a7 a1224，所以 a78.所以 S13 138104.13 a1 a132答案：104等差数列前 n 项和的最值例 4在等差数列 an中， a125， S17 S9，求前 n 项和 Sn的最大值解由 S17 S9， nN *，得2517 d259 d，17 17 12 9 9 12解得 d2，法一： Sn25 n (2)( n13) 2169.n n 12由二次函数的性质得，当 n13 时， Sn有最大值 169.法二： a1250，由Error!得Error! 即 12 n13 .12 12当 n13 时， Sn有最大值 169.法三：由 S17 S9，得 a10 a11 a1
12、70.而 a10 a17 a11 a16 a12 a15 a13 a14，故 a13 a140. d20， a130， a140， d0 时，满足Error!的项数 n 使 Sn取最小值活学活用已知 an是等差数列，其中 a1030， a2050.(1)求数列 an的通项公式；(2)若 bn an20，求数列 bn的前 n 项和 Tn的最小值解：(1)由 a1030， a2050，得Error!解得 a112， d2，所以 an2 n10.(2)由 bn an20 得 bn2 n10，所以，当 n5 时， bn0；当 n5 时， bn0.由此可知，数列 bn的前 4 项或前 5 项的和最小易知
13、 T4 T520，故数列 bn的前 n 项和 Tn的最小值为20.3.求 等 差 数 列 前 n项 和典例(12 分)已知等差数列 an满足 a37， a5 a726， an的前 n 项和为 Sn.求an及 Sn.解题流程规范解答设等差数列 an的公差为 d，因为 a37， a5 a726，所以有Error! (4 分)解得 a13， d2，所以 an32( n1)2 n1，(9 分)Sn3 n 2 n22 n.(12 分)n n 12名师批注8解决等差数列问题时，有以下几点容易造成失分：(1)利用方程的思想联立求解在计算上容易出现失误，不能准确求出首项 a1和公差d；(2)基本公式中的项数或奇偶项的确定不正确；(3)判断一个数列是否为等差数列时，易忽略验证第 1 项活学活用已知等差数列 an中， a11， a33.(1)求数列 an的通项公式；(2)若数列 an的前 k 项和 Sk35，求 k 的值解：(1)设等差数列 an的公差为 d，则 an a1( n1) d.由 a11， a33 可得 12 d3，解得 d2.从而， an1( n1)(2)32 n.(2)由(1)可知 an32 n，所以 Sn 2 n n2.n1 3 2n 2进而由 Sk35 可得 2k k235.又 kN *，故 k7 为所求随堂即
