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1、 - 1 -高中数学知识点高中数学第一章-集合 01. 集合与简易逻辑集合与简易逻辑 知识要点知识要点一、知识结构:本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简） 、简易逻辑三部分： 二、知识回顾：（一） 集合1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质：任何一个集合是它本身的子集，记为 A；空集是任何集合的子集，记为 ；空集是任何非空集合的真子集；如果 BA，同时 ，那么 A = B.如果 C， 那 么， .注： Z= 整数（） Z =全体整数 （）已知集合 S 中
2、 A 的补集是一个有限集，则集合 A 也是有限集.（） （例：S=N； A= N，则 CsA= 0） 空集的补集是全集. 若集合 A=集合 B，则 CBA = ， CAB = CS（C AB） = D （ 注 ： CAB = ） .3. （ x， y）|xy =0，xR ， yR 坐标轴上的点集. - 2 -（x ， y）|xy0，x R，yR 二、四象限的点集. （x ， y）|xy0，x R，yR 一、三象限的点集.注： 对方程组解的集合应是点集.例： 132 解的集合(2，1).点集与数集的交集是 . （例：A =(x，y )| y =x+1 B=y|y =x2+1 则 AB =）4.
3、n 个元素的子集有 2n 个. n 个元素的真子集有 2n 1 个. n 个元素的非空真子集有 2n 2 个.5. 一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真 . 否命题 逆命题.一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题 逆否命题.例：若 35bab或， 则 应是真命题.解：逆否：a = 2 且 b = 3，则 a+b = 5，成立，所以此命题为真. ，且1yx yx.解：逆否：x + y =3 x = 1 或 y = 2.且 ,故 是 21yx且 的既不是充分，又不是必要条件.小范围推出大范围；大范围推不出小范围.3. 例：若 25pff或， . 4. 集合运算：交、并、补. |,ABx
4、ABUI交 ： 且并 ： 或补 ： 且C5. 主要性质和运算律（1） 包含关系： ,; ;,.UAABCBABIIU（2） 等价关系： C(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式的解法根轴法（零点分段法）从右向左，从上向下，奇穿偶回，零点讨论将不等式化为 a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)0(0”,则找“线”在 x 轴上方的区间；若不等式是“b 解的讨论；一元二次不等式 ax2+box0(a0)解的讨论.0 0 0二次函数 cbxay2（ 0）的图象一元二次方程的 根02acbx有两相异实根 )(,212x有两相等实根 abx21无实根的 解 集)(221或 R的
5、解 集)0(2acbx21x2.分式不等式的解法（1）标准化：移项通分化为 )(xgf0(或 )(ff(x2),则说 f(x) 在这个区间上是减函数.若函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数 y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数 y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.2.函数的奇偶性 - 6 -正 确 理 解 奇 、 偶 函 数 的 定 义 。 必 须 把 握 好 两 个 问 题 ：（ 1） 定 义 域 在 数 轴 上 关 于 原 点 对 称 是 函 数 )(xf为 奇函 数 或 偶 函 数 的 必 要 不 充 分 条 件 ； （
6、 2） 或)()(xff是 定 义 域 上 的 恒 等 式 。 2 奇 函 数 的 图 象 关 于 原 点 成 中 心 对 称 图 形 ， 偶 函 数的 图 象 关 于 y轴 成 轴 对 称 图 形 。 反 之 亦 真 ， 因 此 ， 也可 以 利 用 函 数 图 象 的 对 称 性 去 判 断 函 数 的 奇 偶 性 。 3.奇 函 数 在 对 称 区 间 同 增 同 减 ； 偶 函 数 在 对 称 区 间 增减 性 相 反 . 4 如 果 )(xf是 偶 函 数 ， 则 |)()xff， 反 之 亦 成 立 。若 奇 函 数 在 0时 有 意 义 ， 则 0。 7. 奇函数，偶函数：偶函数
7、： )(xff设（ ba,）为偶函数上一点，则（ ba,）也是图象上一点.偶函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于 y轴对称，例如： 12xy在 ),上不是偶函数.满足 )(xff，或 0)(fxf，若 0(f时， 1)(xf.奇函数： ff设（ ba,）为奇函数上一点，则（ ba,）也是图象上一点.奇函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于原点对称，例如： 3xy在 )1,上不是奇函数.满足 )(xff，或 0)(fxf，若 0(f时， 1)(xf.8. 对称变换：y = f（x ） ）（轴 对 称 xfyy y =f（x） ）（轴 对 称 fy =f（x） ）（原 点 对 称 x
8、fy9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：在进行讨论.10. 外层函数的定义域是内层函数的值域.例如：已知函数 f（x）= 1+ x1的定义域为 A，函数 ff（x）的定义域是 B，则集合 A 与集合 B 之间的关系是 . 212122121 )()( bxxbxff ）（ B - 7 - xy解： )(xf的值域是 )(xf的定义域 B， )(xf的值域 R，故 B，而 A 1|x，故AB.11. 常用变换： )()()( yfxfyfxyf .证： )()( yffxfff )()()( yfyfxyf 证： )(fxfyf12. 熟悉常用函数图象：例： |
9、2xy |关于 y轴对称. |21xy |1xy |21xy x (0,) (-2,)|12|y |y关于 x轴对称.熟悉分式图象：例： 37x定义域 ,3|Rx，值域 ,2|Ry值域 前的系数之比.（三）指数函数与对数函数指数函数 )10(aayx且 的图象和性质a1 00 时，y1;x0 时，01.性质（5）在 R 上是增函数 （5）在 R 上是减函数 xy23 - 8 -对数函数y=logax 的图象和性质:对数运算： nanaacbaNanaaaaNMN1121 logl.logllllog1loglllog)(og3)12)1(推 论 ：换 底 公 式 ：（以上 0且.a,1c0,1
10、,b0,1,a0,N0,M n2 ffffff ）a1 01a0)1,(x时 0y ,时 （5 ）在（0 ，+）上是增函数在（0，+）上是减函数 - 10 -（以上 10且.a,1c0,1,b0,1,a0,N0,M n2 ffffff ）注：当 ,pba时， )log()l()log(b .：当 0f时，取 “+”，当 n是偶数时且 0pM时， fn，而 0p，故取“”.例如： xxaaal2(llog2Q中 x0 而 2lxa中 xR）. y（ 1,0f）与 ylog互为反函数.当 1fa时， xalog的 值越大，越靠近 x轴；当 10pa时，则相反.函数表达式的求法：定义法；换元法；待定
11、系数法.反函数的求法：先解 x,互换 x、y，注明反函数的定义域(即原函数的值域).函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为分母不为 0；偶次根式中被开方数不小于 0；对数的真数大于 0，底数大于零且不等于 1；零指数幂的底数不等于零；实际问题要考虑实际意义等.函数值域的求法：配方法(二次或四次)；“判别式法” ；反函数法；换元法；不等式法；函数的单调性法.单调性的判定法：设 x1,x 2是所研究区间内任两个自变量，且 x1x 2；判定 f(x1)与 f(x 2)的大小；作差比较或作商比较.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对
12、称，再计算 f(-x)与 f(x)之间的关系：f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；f(-x)-f(x)=0 为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；f(-x)/f(x)=1 是偶；f(x)f(-x)=-1 为奇函数.图象的作法与平移：据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.高中数学 第三章 数列考试内容：数列等差数列及其通项公式等差数列前 n 项和公式等比数列及其通项公式等比数列前 n 项和公式考试要求：（1 ）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推
13、公式写出数列的前几项（2 ）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并能解决简单的实际问题（3 ）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式，井能解决简单的实际问题03. 数数 列列 知识要点知识要点 - 11 -1. 等差、等比数列：等差数列 等比数列定义 常 数 ）为 (1daPAann 常 数 ）为 (1qaPGann通项公式 n= 1+（n-1）d= k+（n-k ）d= +a-dknq1等差数列 等比数列定义 dan1 )0(1qan递推公式； mdan1； mna通项公式dnan)1(nqa（ 0,）中项 2kA（ 0,*fnNk）)(fknknaG（0,*fNkn）前 n项和 )(21aSdnn)2(1)(1qaqaSnnn重要性质 ),(*qpmNqpmn ),(*pnmNpnqpnm 数列数列的定义数列的有关概念数列的通项数列与函数的关系项项数通项等差数列等差数列的定义等差数列的通项等差数列的性质等差数列的前 n 项和等比数列等比数列的定义等比数列的通项等比数列的性质等比数列
