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1、 Tel:3119520第一章 集合与函数概念课时 一：集合有关概念1. 集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东 西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。2. 一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。3. 集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。例：世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。例：由 HAPPY 的字母组成的集合H,A,P,Y（3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集
2、合例：a,b,c和 a,c,b是表示同一个集合3.集合的表示： 如：我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋（1）用大写字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5（2）集合的表示方法：列举法与描述法。1）列举法：将集合中的元素一一列举出来 a,b,c2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。xR| x-32 ,x| x-32语言描述法：例：不是直角三角形的三角形Venn 图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。4、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合 例：x|x 2=55、元
3、素与集合的关系：（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a A（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A 注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R Tel:3119520课时 二、集合 间 的基本关系1.“包含”关系子集（1）定义：如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合 A 是集合 B 的子集。记作： （或 B ）A注意： 有两种可能（1）A 是 B 的一部分，；B（2）A 与 B 是同一集合。反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作
4、 A B 或 B A2“相等”关系：A=B (55，且 55，则 5=5)实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等”即： 任何一个集合是它本身的子集。AA真子集 :如果 AB,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A B(或B A)或若集合 AB，存在 x B 且 x A，则称集合 A 是集合 B 的真子集。如果 AB, BC ,那么 AC 如果 AB 同时 BA 那么 A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 有 n 个元素的集合，含有 2n 个子集，2 n-1 个真子集课时 三、
5、集合的运算运算类型 交 集 并 集 补 集定 义 由所有属于 A 且属于 B的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集记作 AB（读 作A 交 B），即IA B=x|x A，且x B由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A,B 的并集记作：A B（读作AU并 B），即 A B =x|x A，或 x B)全集：一般，若一个集合汉语我们所研究问题中这几道的所有元素，我们就称这个集合为全集，记作：U设 S 是一个集合， A 是 S 的一个子集，由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）记作 ，CCSA= ,|x且 Tel:3119520韦
6、恩图示 A B图1A B图2性 质 A A=A A =A B=B AIA B A A B BAUA=A AU=AAUB=BUA AUB AUB B(CuA)(CuB)= Cu(AUB)(CuA) U (CuB)= Cu(AB)AU(CuA)=UA(CuA)=课时 四：函数的有关概念1 函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=f(x)，xA（1）其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；（2）与
7、x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域2 函数的三要素：定义域、值域、对应法则3、区间的概念：（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示4 函数的表示方法：（1）解析法：明确函数的定义域（2）图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。（3）列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征。4、函数图象知识归纳(1)定 义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐 标的点 P(x，y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),
8、(x A)的图象C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系 y=f(x)，反过来，以满SA Tel:3119520足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x ，y)，均在 C 上 . (2) 画法A、描点法： B、图象 变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换。（3）函数图像变换的特点：1）函数 y=f(x) 关于 X 轴对 称 y=-f(x)2）函数 y=f(x) 关于 Y 轴对 称 y=f(-x)3）函数 y=f(x) 关于原点 对 称 y=-f(-x)2映射一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B
9、中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f （对应关系）：A（原象） B（象）”对于映射 f：AB 来说，则应满足：(1)集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的；(2)集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应 的象可以是同一个；(3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。课时五：函数的解析表达式，及函数定义域的求法1、函数解析式子的求法（1）、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）、求函数的解析式的主要
10、方法有： 1）代入法：2）待定系数法：3）换元法：4)拼凑法：2定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称 为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： Tel:3119520(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、 对 数式的底必 须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.(6)指数 为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定 义域还要保证实际问题有意义.3、相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母
11、无关）；定义域一致 (两点必须同时具备)课时六：1值域 : 先考虑其定义域（1）观察法：直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域； （2）反表示法：针对分式的类型，把 Y 关于 X 的函数关系式化成 X 关于 Y 的函数关系式，由 X 的范围类似求 Y 的范围。(3)配方法：针对二次函数的 类型，根据二次函数图像的性质来确定函数的值域，注意定义域的范围。 (4)代 换法（ 换元法）：作 变量代换，针对根式的题型，转化成二次函数的类型。课时七1.分段函数 （1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。（2）各部分的自变量的取值情况（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值
12、域的并集补充：复合函数如果 y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则 y=fg(x)=F(x)(xA) 称为 f、g 的复合函数。（4）常用的分段函数1）取整函数：2）符号函数：3）含绝对值的函数： Tel:3119520注意：映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函数仅仅是针对数字来说的。所以函数是映射，而映射不一定的函数课时八函数的单调性(局部性质) 及最值1、增减函数（1）设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2，当 x11，且 *axnxannN当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个
13、负数。此时， a 的 n 次方根用符号 表示。当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个，这两个数互为相反数。此时正数 a的正的 n 次方根用符号 表示，负的 n 的次方根用符号 表示。正的 n 次方根与负的 n 次方根可以合并成 （a0）。注意：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作 。0n当 是奇数时， ，当 是偶数时，ann)(|aan式子 叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数。 3 分数指数幂正数的分数指数幂的，)1,0(*nNmanm )1,0(1* nNmaanmn0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义4 有理数指数米的运算性质（1） ra sr ；),0(Rsra（2） s)( ；（3） srb ,5、无理数指数幂一般的，无理数指数幂 aa（a0,a 是无理数）是一个确定的实数。有理数指数 幂 Tel:3119520的运算性质同样使用于无理数指数幂。课时十五：指数函数的性质及其特点（1）1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数，其中 x 是自变量，)1,0(ayx且函数的定义域为 R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1为
