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1、目录摘要 .1一、反演问题基本概念 .1二、线性反演问题 .2三、线性反演问题的求解 .43.1 适定和超定问题 .43.2 欠定问题 .43.3 混定问题 .4四、非线性反演方法 .54.1 线性化迭代算法 .54.2 最速下降法 .54.3 共轭梯度法 .64.4 遗传算法 .74.5 模拟退货法 .74.6 人工神经网络法 .8总结： .81地球物理反演理论综述摘要在地球物理学中，其核心问题就是如何根据地面上的观测信号推测地球内部与信号有关部分的物理状态。不同的地球物理问题，其数学物理是不同的；同一个物理问题，应为观测方式不同，也会有不同的物理模型。在地球物理学中，大多数的观测数据核模型
2、参数之间是不满足线性关系的。但是在一定近似条件想均可简化或近似简化为线性关系。因此线性反演是地球物理的关键问题。关键词： 反演；线性反演；非线性反演一、反演问题基本概念把数据模型中的一个点定义为 m，把数据空间中的一个点定义为 d，两者的关系可以成： Gmd式中，G 为模型空间 M 到数据空间 D 的一个映射，也称反函数算子，反应了模型 m 与数据 d 之间的物理规律从空间映射来看，如果存在一个映射 A，使得A则 A 为有数据空间 D 到模型空间 M 的映射，即 A 为 G 的逆映射，称逆算子。也可以写成 dGm1我们把给定模型 m 求解数据 d 的过程称为正演；把给定数据 d 求解模型参数
3、m 的过程称为繁衍问题。m dG- 1G图 1.1 模型空间域数据空间之间的映射关系示意图2反演问题的研究归纳为四个方面的问题：1) 解的存在性：给定数据 d，按照物理定律，能否找到满足要求的模型参数 m；2) 模型构制：若解存在，如何让构制问题的数学模型使得反演问题的解能迅速而准确地确定；3) 解的非唯一性：若解存在，其是否唯一；4) 解的评价：若解的非唯一性的，如何从非唯一解中获取真实解的信息。关于上述四方面问题的研究就构成了地球物理反演的基本理论。二、线性反演问题为了使问题简单明了而又不失一般性，我们在此讨论一维问题。设有积分方程badmxGd,式中， 。在观测数据数目有限的情况下，为便
4、于书写，我们把各参量表示成如下形式jjdxjjj Gx, mbajjmGM,2,1L由于 与 线性无关，则式(2-2)可以表示成内积形式,xdjj,j,我们先用核函数 构造另一组正交函数，即jMjjkkG1M,2,1L以 为系数对观测数据 作一个线性组合，并令其为 ，则kjajdkEmGamadE kjjkMj jjkkjk ,111 由此可见， 是 m 在正交基 轴上的投影。kk311kkm这里 是 Hilbert 空间的任意坐标基，可以正交，也可以是不正交。若将其分成两部分，并取kM,2,1L为其他任意坐标基 k则式(2-8)可写成可以证明 。11Mkkkm kE因为11,MllklMlk
5、lllkE1l klk10Mllkl所以有 。第二项 是无限维空间中一个向量投影之和，且该kE1Mlkl向量在 M 维正交基 中的投影为零，则对于问题中的模型 m，它可视为零向量，即10Mkkm故10kkE即4jjMlkkjllMkijkillkjdaGadmG12110,讨论:1) 对于给定的观测数据总是能找到与之对应的数据模型，即解是存在的；2) 模型的构制本质上就是对线性无关的核函数实行正交变换，求得相应的新正交坐标基及模型在这个正交坐标基上投影的过程；3) 反演问题是在特征解上加以任何零化子向量所得的模型，都可拟合观测数据，所以姐是非唯一的。 三、线性反演问题的求解3.1适定和超定问题
6、在线性反演问题中，如果观测数据的个数多于模型参数的个数，我们想得到一组与观测系统之间误差平方和最小的观测数据所对应的模型参数，也就是适用最小二乘法。3.2欠定问题欠定问题中假设方程数比未知的模型参数少，则可以找到很多的最小方差解。即，虽然数据能提供有关模型参数的信息，但是由于信息不足所以不能唯一确定模型参数。为了唯一确定解，可以把某些为引入的信息附加到该问题上，这些附加信息称为先验信息。它是不依赖实际数据使解以某种定量的形式出现。3.3混定问题混定问题是一种混合模式，观测数据个数多于模型参数的个数，但特征值5接近或等于零，具有欠定性质。混定问题可以引入 求解， 取决于预测误差22E 与模型长度
7、 L 在极小化过程中的相对重要性，称为阻尼因子或加权因子。四、非线性反演方法4.1线性化迭代算法我们所遇到的问题中都是求解多远函数的最优化问题，即寻找目标函数极小点或极大点所对应的数学实现过程。迭代算法在给定一个初始点 b0 后按照一定的规则产生一个新的点 b1 ，如此迭代产生 k 个点，形成一个序列b k ，并使得 bk 不断逼近极值点 b*，最终得到最优化问题的解。对于迭代酸度最重要的是极小化序列的收敛性和收敛速度问题。线性化迭代反应过程中包含有分辨率的快速、慢速提高，方差的急增和混沌的相态，数据误差的大小会影响相态的转变速度。在解估计方差急增之前停止迭代就可以得到分辨率高而方差不大的反问
8、题。线性迭代算法的主要问题是可能陷入空间的局部极小区，因此建议把所有可能的模型都作为初始模型输入，然后再反演结果中找出拟合误差最小的解估计。4.2最速下降法最速下降法是一种运用梯度与极值的性质，综合数值计算方法寻找局部极值。基本思想：任一点的负梯度方向是函数值在该点下降最快的方向。将 n维问题转化为一系列沿负梯度方向用一维搜索方法寻优的问题，利用负梯度作为搜索方向，故称最速下降法。6图 4.1：最快下降法具体步骤：Step 1 给定初始点 0nxR，允许误差 0，令 1k。Step 2 计算搜索方向 ()kkdfx。Step 3 若 kP，则 k为所求的极值点，否则，求解最优步长 k，使得()
9、min()kkfxdfx。Step 4 令1kkd， 1最速下降方向是反映了目标函数的局部性质，它只是局部目标函数值下降最快的方向。4.3 共轭梯度法基本思想：将共轭性与最速下降法相结合利用已知迭代点的梯度方向构造一组共轭方向，并沿此方向搜索，求出函数的极小值。例如： 1min()2TfxAbx其中， 0nR， 是对称正定矩阵具体步骤：Step 1 取初始点 (0)x，取第一次搜索方向为 (0)(0)dfx。Step 2 设已求得 (1)k，若 (1)kfx，令 (1)kg，则下一个搜索方向 (1)()1kkkdgd由于 (1)k与 ()kd关于 A共轭，所以给（1）两边同时乘以 TA，即：()(1)()()()10TTTkkkddg解得：()()kkTStep 3 搜索步长的确定，已知迭代点 ()kx，和搜索方向 ()kd，确定步长 k，即：()()minkkfxd7解得：()TkkgdA共轭梯度法是对最速下降法的一种改进，减少了迭代次数从而提高了程序运行效率。4.4遗传算法遗传算法设计步骤如下：Step0 设置迭代参数Step1 确定进化代数 随机产生规模为 且满足约束条件的群体,0nNA0。Step2 对群体 An 中的个体进行评价，如果个体 Ai 不满足约束条件，则随机生成一个满足约束条件的个体来替换，并保存当前最好的个体Step3
