《2017-2018年高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式阶段质量检测a卷（含解析）新人教a版选修4-5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式阶段质量检测a卷（含解析）新人教a版选修4-5（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第三讲 柯西不等式与排序不等式（时间 90 分钟，满分 120 分）一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设 a， bR ，且 a b16，则 的最小值是()1a 1bA. B.14 18C. D.116 12解析：选 A( a b) 24，(1a 1b) (a1a b1b) .当且仅当 ，1a 1b 14 a 1b b 1a即 a b8 时取等号2已知 x， y， zR ，且 x y z3，则 x2 y2 z2的最小值是()A1 B.13C. D312解析：选 D x2 y2 z2(1 21 21 2)(x2 y
2、2 z2) (1 x1 y1 z)132 3.当且仅当 x y z1 时，等号成立13 933已知 a， b， c 为正数，且 a b c3 ，则 的最小值2 a2 b2 b2 c2 c2 a2为()A4 B4 2C6 D6 2解析：选 C a， b， c 为正数 a b.2 a2 b2 1 1 a2 b2同理 b c， c a，相加，2 b2 c2 2 c2 a2得 ( )2( b c a)6 ，2 a2 b2 b2 c2 c2 a2 2即 6.a2 b2 b2 c2 c2 a2当且仅当 a b c 时，等号成立24已知( x1) 2( y2) 24，则 3x4 y 的最大值为()2A21
3、B11 C18 D28解析：选 A根据柯西不等式得 2(3 x4 y11) 2，(3 x4 y11) 2100，可得 3x4 y21.当且仅当 时，等号成立x 13 y 24 255已知 a， b， c 为正数，则( a b c) 的最小值为()(1a b 1c)A1 B. 3C3 D4解析：选 D( a b c)(1a b 1c) (1a b)2 (1c)2 22 24.(a b1a b c1c)当且仅当 a b c 时，等号成立6函数 f(x) 的最大值为()2x 1 6 3xA. B. 15 30C. D2302 15解析：选 C易知 x 且 f(x)0，12， 2 f(x) 2x 12
4、 3 2 x 2 2 3 2(x 12)2 2 x 2 .532 302当且仅当 ，2 2 x 3x 12即 2(2 x)3 ，即 x 时，等号成立(x12) 11107设 a， b， c 为正数， a b4 c1，则 2 的最大值是()a b cA. B. C2 D.5 3 3323解析：选 B1 a b4 c( )2( )2(2 )2a b c (121 21 2)13( 2 )2 ，a b c13( 2 )23，当且仅当 a b4 c 时等号成立，所求为 .a b c 38函数 f(x) cos x，则 f(x)的最大值是()1 cos 2xA. B. C1 D23 2解析：选 A由 f
5、(x) cos x，1 cos 2x所以 f(x) cos x2 sin2x 2 1 sin2x cos2x ，当且仅当 cos x 时，等号成立3339已知 a b c1，且 a， b， cR ，则 的最小值为()2a b 2b c 2c aA1 B3 C6 D9解析：选 D a b c1， 2( a b c)2a b 2b c 2c a ( 1a b 1b c 1c a) (111) 29.(1a b 1b c 1c a)10设 a1， a2， a3， a4是 1,2,3,4 的一个排列，则 a12 a23 a34 a4的取值范围是()A(0,30 B(20,30 C D 二、填空题(本大
6、题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把正确答案填写在题中的横线上)11 x， yR，若 x y1，则 x2 y2的最小值为_解析：令 a(1,1)， b( x， y)，则 ab x y1.又| ab| a|b|，1( )2( )22( x2 y2)，12 12 x2 y2当且仅当 x y 时，等号成立，12 x2 y2 .12答案：12412设 a0， b0，则( a2 b) 的最小值为_(1a 2b)解析：原式 2(1a)2 (2b)2 (a1a 2b2b)(12) 29.当且仅当 a b 时，等号成立答案：913函数 y2 的最大值是_2 x 2x 3解析： y .2 4 2x 2
7、x 3 2 2 1 4 2x 2x 3 3当且仅当 x 时，等号成立53答案： 314已知 x， y 均为正数，且 x y1，则 的最大值为_3x 4y解析：由柯西不等式得 .3x 4y 3 x 4 y (3)2 (4)2 x y 7答案： 7三、解答题(本大题共 4 小题，共 50 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分 12 分)求函数 y 的最大值1 sin x 4sin x 1解：由Error! 得 sin x1，14则 y2 2(1 sin x 2 sin x 14)(14) ，即 y ，(1 sin x sin x14) 154 152当且仅当 4(1s
8、in x)sin x ，14即 sin x 时，等号成立，1720所以函数 y 的最大值为 .1 sin x 4sin x 115216(本小题满分 12 分)已知 a b c1， a， b， c 都为正实数求证：(1)abc ；127(2)a2 b2 c2 .3abc证明：(1)因为 a b c3 ，又 a b c1，3abc所以 abc ，127当且仅当 a b c 时，等号成立135(2)由柯西不等式，得 a2 b2 c2 (a b c)2 ，13 13当且仅当 a b c 时，等号成立由(1)知 ，3abc13所以 a2 b2 c2 ，3abc当且仅当 a b c 时，等号成立17(本
9、小题满分 12 分)(1)已知： a， bR ， a b4，证明： 1；1a 1b(2)已知： a， b， cR ， a b c9，证明： 1.1a 1b 1c并类比上面的结论，写出推广后的一般性结论(不需证明)证明：(1)根据柯西不等式，得(a b) 24.(1a 1b) (a1a b1b) a b4， 1.1a 1b(2)根据柯西不等式，得( a b c)(1a 1b 1c) 29.(a1a b1b c1c) a b c9， 1.1a 1b 1c可以推广：若 a1 a2 an n2，则 1.1a1 1a2 1an18(本小题满分 14 分)已知正数 x， y， z 满足 x y z xyz，且不等式 恒成立，求 的取值范围1x y 1y z 1z x解： 1x y 1y z 1z x 12xy 12yz 12zx12(1 zx y z 1 xx y z 1 yx y z)12 12 12 12 ( zx y z xx y z yx y z)12 ，326 的取值范围是 .32， )
