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1、有理 Bzier 曲线降阶综述 蒋莉 湖南农业大学理学院 摘 要： 有理 Bzier 曲线的降阶是样条曲线和曲面造型中的关键技术之一, 为了实现不同 CAD 系统之间的数据交换, 都要用到这一技术, 因此它已经成为该领域的热点问题.本文结合作者在该领域的研究成果, 综述了近年来国内外专家学者关于有理 Bezier 曲线的降阶逼近研究的方法、理论成果及实际应用情况, 对各种不同的方法进行了分析比较.关键词： 有理 Bzier 曲线; NURBS 曲线; 齐次坐标; 权因子; 降阶逼近; 收稿日期：2017-09-22基金：15 年湖南省教育厅科学研究项目“项目名称:有理 Bzier 曲线曲面的降
2、阶逼近算法及误差分析” (项目编号:15C0656) Received： 2017-09-221 引言有理 Bzier 曲线的降阶逼近问题是指对于给定的一条 n 阶的有理 Bzier 曲线, 要求我们找到一条 m (mm) 阶降阶逼近, 指去寻找一组控制顶点 q0, q1, , qm及相应的权因子 0, 1, , m, 由其确定的 m 次有理Bzier 曲线满足条件|P (t) -Q (t) | L2为最小值, 曲线 P (t) , Q (t) 在齐次坐标下的曲线分别是指其中 Pk= ( kpk, k) , Qk= ( kqk, k) , 针对上述问题已有如下求解方法.2.1 将有理 Bzie
3、r 曲线降多阶问题转化为二次规划问题的求解方法为了解决有理 Bzier 曲线降阶的非线性规划问题的遗传算法5非常费时的问题, 覃廉和关履泰将有理 Bezier 曲线曲面和 NURBS 曲线曲面放到齐次坐标空间中来讨论2, 即考虑 r 次 NURBS 曲线对于该文的分析和评价:存在的问题是端点处只有简单的插值条件, 并没有高阶的连续性条件, 就是说没有保端点的高阶插值.而且该条件只能保证在齐次坐标下是最小, 可是在仿射坐标下不一定是最小.就是说没有在仿射坐标下进行误差分析和讨论.2.2 基于广义逆矩阵的有理 Bzier 曲线降多阶逼近方法3郭清伟, 宋颖祥提出了基于广义逆矩阵的有理 Bzier
4、曲线的降多阶逼近方法3,该方法完全类似于基于广义逆矩阵的多项式 Bzier 曲线的降阶逼近的方法, 利用了齐次坐标表示, 且分别考虑了不保端点插值和保端点高阶插值条件两种情形.假设有一条 n 次有理 Bzier 曲线 P (t) (见 (1) ) 和一条 m 次有理Bzier 曲线 Q (t) (见 (2) ) , 且 Q (t) 是 P (t) 的降阶逼近曲线.利用齐次坐标作者首先把 P (t) 和 Q (t) 分别表示成齐次坐标形式 .应用多项式 Bzier 曲线的升阶公式 n-m 次, 即逐次将 Sm (t) 升高, 每次升高 1 阶, 直到升高到 n 次, 可得其中 S 是升阶前的控制
5、顶点, R 是升阶后的控制顶点, A n是 n 阶升为 n+1 阶的升阶矩阵, 其它 Ai类似.将上式简记为:其中 A=An-An-1Am+1Am.由于此关系式中的 A (n+1) (m+1) 并非可逆矩阵, 但是是一个列满秩矩阵, 故利用广义逆矩阵来求解得:S= (AA) AR考虑保端点高阶插值的降阶逼近时, 即要求在首末端点处 (r, s) (r+s+1m+n) 阶插值的一次降 n-m (n-m2) 阶, 实际上作者是在控制顶点处增加如下条件:只需先求解上式则可以先确定前面 r+1 个顶点 S1和后面 s+1 个顶点 S3.然后只需求中间的 m-s-r-1 个顶点 S2.即把所要求的控制顶
6、点 S 分为 3 部分 S1, S2和S3, 而 S2的具体求解则是利用前面式子的等价式子来求得, 其中 A1和 A3分别是 A 的前面 r+1 列和后面 s+1 列, 由此解得分析和评价:优点是利用升阶的反过程, 但因为其矩阵并非方阵, 没有逆, 故而利用广义逆矩阵, 原理比较清晰易懂.给出了显示表达式.存在的问题是采用的是齐次坐标, 即在齐次坐标下利用升阶的逆过程来求解得到降阶曲线, 但是在仿射坐标系下有本质上的不同, 所得到的降阶曲线完全不是严格意义上的升阶的逆.因此也并没有给出降阶后误差函数的界的估计, 逼近的效果如何不明显.2.3 基于权因子优化的有理 Bzier 曲线的约束降阶周联
7、首先利用齐次坐标变换和蔡宏杰的结论6, 得到保端点高阶插值的降多阶的顶点的显式变换公式.(Q0, Q1, , Qm) =M (P0, P1, , Pn) 其中 Q0, Q1, , Qm和 P0, P1, , Pn分别是降阶前后的控制顶点, 变换矩阵M 要经过计算给出.显然, 他给出了一个显式的变换公式.接着推导了一个误差上界函数的公式:周联在文献7中证明了, 缩小原曲线权因子之间的比值可以减少降阶误差;而且, 利用文献7的一种重新参数化的技术, 也就是利用 M 觟 bius 参数变换只改变权因子但不改变控制顶点的性质重新参数化原曲线, 得到新的含参数 的权因子;利用权因子方差最小化建立关于参数
8、 的一个目标函数, 它是一个二次函数, 解此最优化问题求出这个合适的参数 的值.从而实现了原曲线权因子之间的比值缩小的目的.又作者研究出在有些情况下, 利用上述方法求出的结果中可能会出现负权因子, 所以作者在此目标函数上增加了一个不等式约束, 以保证降阶曲线的权因子为正.分析和评价:该文章的优点是首先利用了已有的一个 Bzier 曲线的显式降阶算法, 该算法在两端点处保任意阶连续, 利用的是齐次坐标, 原理比较清晰易懂.且给出了显示表达式.然后证明了一个定理, 即缩小最大和最小权因子间的比值就能减少误差.利用此定理和 M 觟 bius 变换, 即重新参数化的方法得到含参数的新的权因子, 这是因
9、为 M 觟 bius 变换中有一个自由参数, 就利用这个自由参数建立了一个目标函数, 使得方差最小化, 从而优化最大权因子和最小权因子之间的比值, 得到最优参数的值.文章还给出了降阶误差函数的上界的一个表达式, 对误差进行了一定的分析和讨论.但是并没有讨论其他参数化方法.2.4 基于 NURBS 曲线显式矩阵表示和 Chebyshev 逼近理论的 NURBS 曲线降阶逼近4在齐次坐标空间中, 成敏利用规范化参数变换将 NURBS 曲线在非空区间中的一段转换成幂基形式4.即考虑相应于节点向量 T 的 k 阶 (k-1 次) NURBS 曲线:先转换成幂基形式其中系数矩阵 Ar, k, T的求解是
10、 NURBS 曲线表示为幂基形式的一个关键问题.利用广义差商和 Marsden 恒等式可以求出系数矩阵的两种显示形式.其次, 根据可退化即可降一阶的充分必要条件 (这是一个线性方程组) 求出 rr-k+1, rr-k+2, , rr的值.由此推出降阶曲线的表达式为又利用 Chebyshev 基与 Bernsetin 基的转换公式推出 Chebyshev 多项式基 Tn (x) =cos (narccosx) 与幂基 Mn= (1, u, , u) 的线性转换矩阵:从而将 NURBS 曲线转化成 Chebyshev 多项式形式:它的特点是系数完全相同, 只是减少了一项.最后再利用前面的公式将它化
11、回 NURBS 形式:用这种方法一次降多阶就相当于逐次应用降一阶的方法来降阶.算法给出了NURBS 降阶逼近曲线的显式表达式, 且不需要解方程组, 每次降阶都只需要减少一项就可以了.降多阶时就重复其步骤, 等价于取曲线在 Chebyshev 级数表示下的部分和, 快速高效, 方法独特, 计算方便, 并且避免了累积误差.类似地利用了它的近似最佳一致逼近性质作者得到了低次的 Chebyshev 多项式.算法对单区间上的 NURBS 曲线段有较好的降阶效果, 然而对于整条曲线的降阶, 作者首先分段处理, 然后再对不同段上相同位置的控制点和权因子进行平均, 从而得出整条曲线的近似最优降阶逼近曲线.显然
12、, 该方法得到的曲线不一定是整条曲线的最优降阶逼近曲线.2.5 其他有理 Bzier 曲线的降阶方法Sederberg 和常庚哲在 1993 年给出了有理平面 Bzier 曲线的一种降阶方法, 利用的是最佳线性公因子, 该方法是对没有公因子的多项式组x (t) , y (t) , w (t) , atb进行一个微小摄动X x (t) , Xy (t) , Xw (t) , 使得扰动后的x (t) +X x (t) , y (t) +Xy (t) , w (t) +Xw (t) 具有有公因子 t-T, 将问题转化为多变量的管道问题, 然后结合 Chebyshev 多项式进行求解, 接着求出有理降
13、阶逼近曲线.但是此方法没有实现在端点处插值.利用移位的Chebyshev 多项式, 陈发来进行了保端点的摄动, 给出了保端点插值的有理曲线降阶逼近方法.康宝生、石茂则把有理曲线的降阶问题转化为求解最优化问题, 结合仿生学和遗传算法来实现保端点插值的多次降阶.但是没有显式解, 且计算繁琐.3 结论鉴于它的实际应用背景, 有理平面 Bzier 曲线的降阶问题已经成为了研究热点, 且已经取得了一些研究成果.但这些方法各有弊端, 有的可以得到好的降阶效果, 有的效果却不明显.本文小结了已有的国内外几乎所有的方法, 为将方法推广到B 样条曲面和 NURBS 曲线曲面降阶提供了思路, 其中的问题也很多,
14、如齐次坐标下逼近误差与非齐次误差之间的关系研究成果还比较少, 需要更进一步地研究.参考文献1张锐, 张彩明.B 样条曲线曲面降阶综述J.工程图学学报, 2009 (2) :1-8. 2覃廉, 关履泰.有理曲线曲面的降阶逼近J.中国图像图形学报, 2006, 11 (8) :1062-1067. 3郭清伟, 宋颖祥.基于广义逆矩阵的有理 Bzier 曲线降多阶逼近J.合肥工业大学学报 (自然科学版) , 2005, 28 (7) :824-828. 4成敏.基于显式矩阵表示和多项式逼近论的 NURBS 曲线降多阶J.中国科学 (E 辑) , 2003, 33 (8) :673-681. 5康宝生
15、, 石茂, 张景峤.有理 Bzier 曲线的降阶J.软件学报, 2004, 15 (10) :1522-1527. 6Cai hong-jie WANG-Guo-jin- (Institute-of-Computer-Images-and-Graphics, -State-Key-Laboratory-ofCAD-&-CG, -Zhejiang-University, -Hangzhou-310027, -China) .Constrained multi-degree reduction of rational Bzier curves using reparameterizationJ.Journal of Zhejiang University (Science A:An International Applied Physics&Engineering Journal) , 2007, 8 (10) :1650-1656. 7周联.用重新参数化技术改进有理参数曲线曲面的导矢界J.计算机辅助设计与图形学学报, 2010, 22 (7) :1104-1109.
