《2017-2018年高中数学 考点23 数列求和及综合应用（含2015年高考试题）新人教a版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 考点23 数列求和及综合应用（含2015年高考试题）新人教a版（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1考点 23 数列求和及综合应用一、填空题1.(2015新课标全国卷理科T16)设 Sn是数列a n的前 n 项和,且 a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=.【解题指南】由 an+1=Sn+1-Sn=Sn+1Sn,两边同时除以 Sn+1Sn,得 - =-1,构造数列 ,求 Sn.1Sn+11Sn 1Sn【解析】由已知得 an+1=Sn+1-Sn=Sn+1Sn,两边同时除以 Sn+1Sn,得得 1nS，构造数列 1nS，求 n.【解析】由已知得 11nnnaSS，两边同时除以 1nS，得 1nS，故数列 nS是以 为首项， 为公差的等差数列，则 ()n，所以1n答案:-1n2. (201
2、5江苏高考T11)数列a n满足 a1=1,且 an+1-an=n+1(nN *),则数列 1na的前 10项和为.【解题指南】利用累加法求出数列a n的通项公式,再利用裂项相消法计算 1na的前 10 项和.【解析】a n=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+(n-2)+2+1= (1)2,所以12()n,所以1na的前 10 项和2()()3()10()L=)23410L=2.答案: 013.(2015福建高考理科T15)一个二元码是由 0 和 1 组成的数字串 x1x2xn(nN *),其中2xk(k=1,2,n)称为第 k 位码元.二元码是
3、通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由 0 变为 1,或者由 1 变为 0).已知某种二元码 x1x2x7的码元满足如下校验方程组:x4x5x6x7=0,x2x3x6x7=0,x1x3x5x7=0,其中运算定义为:00=0,01=1,10=1,11=0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 k 位发生码元错误后变成了 1101101,那么利用上述校验方程组可判定 k 等于.【解题指南】根据题中所给信息解题.【解析】根据题意,列出检验方程组, 101显然第一个式子和第三个式子错误,第二个式子没有影响,所以错误的应该出现在第一个式子和第三个式子都有而第二个式子没有的码元,只有
4、 x5,验证一下把 x5换成 0,上式检验方程组都成立,所以 x5出错了,即 k=5.答案:5二、解答题4.(2015浙江高考理科T20)已知数列a n满足 a1= 且 an+1=an- (nN *).12 a2(1)证明:1 2(nN *).a+1(2)设数列 的前 n 项和为 Sn,证明 (nN *).a2 12(+2)S 12(+1)【解题指南】 （1）首先根据递推公式可得 2na ，再由递推公式变形可知 21nna,2na，从而得证；（2）由 11nn和 12na 得，1n ，从而得 1()2na *()N，即可得证.【证明】 （1）由题意得， 21nn0 ，即 1na ， 2n ，由
5、31()nna得121()0nnnaa，由 12na 得， 21nna1,n，即 1n （2）由题意得， 21nna，所以 1nnSa，由 11nna和 1n 得， 12n ，所以 12na 所以 12()2n *()N，由得 ()()nS .5. (2015广东高考理科T21)数列a n满足 a1+2a2+nan=4- ,nN *.n+221(1)求 a3的值.(2)求数列a n的前 n 项和 Tn.(3)令 b1=a1,bn= + an(n2),证明: 数列b n的前 n 项和 Sn满足T1 (1+12+13+1)Sn1 时1211212 42 nnnnnn aa，4所以12na，又因为
6、411也适合此式，所以数列 的 等 比 数 列 ， 公 比 为是 首 项 为 21na故121nnT.(3) 121 112223 3.b.b,2,1, nn naaaba依 题 由 知 12 12S.1.21. . .,nn nnbaT 记 f(x)=lnx+ -1(x1), 1则 f(x)= - = 0,1 12x12所以 f(x)在(1,+)上是增函数,又 f(1)=0 即 f(x)0,又 k2 且 kN *时, 1k511ln0n123l,.l,1n.nl.122l3kkkf即即 有,6. (2015广东高考文科T19)设数列a n的前 n 项和为 Sn,nN *.已知 a1=1,a2
7、= ,a3= ,32 54且当 n2 时,4S n+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1.(1)求 a4的值.(2)证明: 为等比数列.a+112(3)求数列a n的通项公式.【解题指南】 （1）令 可得 4a的值；（2）先将 21458nnSS（ 2）转化为 214nna，再利用等比数列的定义可证 1nna是等比数列；（3）先由（2）可得数列 12nna的通项公式，再将数列 12nn的通项公式转化为数列 12na是等差数列，进而可得数列 n的通项公式【解析】 （1）当 2时， 423158SS，即435341a，解得： 478a(2) （2）因为 215nnSS（ 2） ，所以21144nnnS
8、S（ ） ，即 4a（ ） ，因为3 256aa，所以 21nn，6因为 21211114422nnnnnnaaaa，所以数列 12nn是以 21为首项，公比为 2的等比数列(3) 由（2）知：数列 1nna是以 21a为首项，公比为 12的等比数列，所以 1nna即 142nn，所以数列 12na是以 12为首项，公差为 4的等差数列，所以 11nan，即 1422nnna，所以数列 na的通项公式是 12nna7. (2015北京高考文科T16)(13 分)已知等差数列a n满足 a1+a2=10,a4-a3=2.(1)求a n的通项公式.(2)设等比数列b n满足 b2=a3,b3=a7
9、.问:b 6与数列a n的第几项相等?【解题指南】利用等差数列与等比数列的基本量计算.【解析】(1)设等差数列公差为 d,则 d=a4-a3=2,a1+a2=2a1+2=10,所以 a1=4.因此,a n=4+(n-1)2=2(n+1).(2)设等比数列公比为 q,则 b2=8,b3=16,所以 q= 52b=2,b1=4,bn=2n+1,b6=26+1=128.由 2(n+1)=128 得 n=63.所以 b6是数列a n的第 63 项.8.(2015山东高考理科T18)(本小题满分 12 分)设数列a n的前 n 项和为 Sn,已知2Sn=3n+3.(1)求数列a n的通项公式.(2)若数
10、列b n满足 anbn=log3an,求数列b n的前 n 项和 Tn.7【解题指南】(1)a n=Sn-Sn-1要注意 n2 并验证 n=1 是否满足所求出的关系式.(2)利用错位相减求解.【解析】(1) ） 32nS，当 1时， 1632aS；当 2n时， 1nna，即 13nnn，所以 13,2.na(2) 当 1时， 1b，所以 13b；当 2时，1133lognnab，所以 1n，故 1,3,2.nb当 1n时， 13Tb；当 2时， 1234n nbL23113nL，则 23413n nT 两式相减得 231193n nL1()23()()93182nnn，所以 1132()(43
11、nnT.因为 13T符合上式，所以 nb的前 项和 13()(43nnT9.(2015山东高考文科T19)(本小题满分 12 分)已知数列an是首项为正数的等差数列,数列 1na的前 项和为 21n.（I）求数列 na的通项公式；8（II）设 (1)2nanb，求数列 nb的前 项和 nT.【解析】(1) 由题意设 11(),0nda，数列 1na的前 项和为 nS，因为 11()nnada，1231()()()n nSa L211()ndaad，解得 2d. 所以 .(2) ()24nannb.13nTbL1234nL，则 2414nn ，两式相减得 23111()343 +44nnnnnn
12、TL ，所以 149nn10.（2015四川高考文科T16)(本小题满分 12 分) 设数列 na（ 1,23）的前项和 nS满足 12na，且 ， 12a， 3成等差数列。（）求数列 的通项公式；（）记数列 na的前 项和 nT，求【解题指南】直接利用前 项和 nS与通项 na的关系以及等差、等比数列的通项公式及求和公式解题。【解析】 （1）当 2n时有， 1112()nnna 则 1a() 912na-= ()则 n是以 1为首项，2 为公比的等比数列。又由题意得 13a142则 na *()N（2）由题意得 12n * 由等比数列求和公式得1()2()nnnT11 .(2015天津高考理
13、科T18)(本小题满分 13 分)已知数列a n满足 an+2=qan(q 为实数,且 q1),nN*,a 1=1,a2=2,且 a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.(1)求 q 的值和a n的通项公式.(2)设*21log,nabN,求数列b n的前 n 项和.【解题指南】(1)由(a 3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4)得 a4-a2=a5-a3,先求出 q,分 n 为奇数与偶数讨论即可.(2)求出数列 的通项公式,用错位相减法求和即可 .bn【解析】(1)由已知, 由(a 3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4)，即 a4-a2=a5-a3,所以 a2(q-1)=a3(q-1).又因为 q1,故 a3=a2=2,由 a3=a1q,得 q=2.当 n=2k-1(kN*)时, 1221nkn当 n=2k(kN*)时, ka10所以, 的通项公式为12,na为 奇 数 ， 为 偶 数 .an(2)由(1)得得211nnlogb.设 nb的前 n 项和为 nS，则022131nS ，1 1.2 nn上述两式相减,得21 22.nnnnS，整理得， 14nn.所以，数列
