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1、高一上半期关于数学学习的总结（I）解决抽象函数的有关问题作者：高 448 班 彭斐然注意：本篇总结选取四个例题进行分析讨论和总结。例题出自平常做过的习题， “建模”与“总结”两栏皆为原创， “解析 ”方面有部分参照了参考书。另外，函数公式、算式皆是自己本人所打，不足之处还望指正。问题：已知函数 对于一切实数 满足 ，xxy、 ，且当时 ， ，则当 时 时， 的取值范=xyg00xx围是 。解析：令 ，易得当 时， 。1xax1x答案： (0)a建模：特殊模型 抽象函数正比例函数 0xkxyy幂函数 x（ 为常数）a xxyyyg或指数函数 (0,1)xa且 )xxyyy或对数函数 xxyyy或
2、总结：对于此类抽象函数的方法是将一般问题特殊化，即将抽象函数转化成为学过的、熟悉的函数模型来求解，能够使解题更加有效率。上表中列出的抽象函数与其特殊模型，可在解题中加以利用。-问题：设函数 的定义域为 ，且对于任意实数 、 都有()x(0,)xy恒成立，若已知 。()xyy21试求（1） 的值；（2） 的值，其中为 正整数。()()nn解析：（1）令 ，则有xy()0再令 ， ，则2x1y1()2()1()（2）由于 2)()(42311)(382依此类推可得 （其中 为正整数）(2)nn答案:(1) ;(2)1n建模：赋值换元法解抽象函数。总结：此类题型在作业、考试中十分常见，可建立模型赋值
3、换元法，所谓赋值还原法，望文生义，即 为通过观察思考，取出一个或是几个特殊值，最终求出所要求的值。在解题过程中观察思考的能力十分重要。-问题：已知 在实数集 R 上是增函数， ， 都是实数，若x ab，求证：abab0ab解析：假设 ，则有 ， 。0因为 在实数集 R 上是增函数x故 ， ，两式相加 ，abaabab这与题中 矛盾，故假设不成立，即有 。 0答案：如解析中所示。建模：反证法解抽象函数。总结：此题若用直接证法求解难以下手，但若使用初中就已学过的反证法就容易的多，这就需要我们拥有正难则反的策略，能 够换个角度思考，化难为易。-问题：已知 是 R 的奇函数，在区间 上是增函数，又x (0,)，那么 的解集是（ ）。gA303xx或B 或C xx或D 303或解析：根据题意，可画出该函数的大致的图像，如下图所示：如上图所示，因为 是奇函数，故 。x又 ，所以 与 异号，由上 图知 或xg 30x3x答案:D建模：数形结合思想解决抽象函数。总结：解此类题时，如若能够根据已知条件画出相应的草图，就会使题目更加直观、形象，能够帮助分析。- 总而言之，对于解决抽象函数很难用一般的方法解决，这就需要我们通过认真的观察与思考，找到一些特殊的方法来帮助解 题，提高解题的效率。-（完）
