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1、习题一 解答1.在 1,2,3,4,四个数中可重复地先后取两个数，写出这个随机事件的样本空间及事件A=“一个数是另一个数的 2 倍” ，B=“两个数组成既约分数”中的样本点。解 =（1，1） ， （1，2） ， （1，3） ， （1，4） ， （2，1） ， （2，2） ， （2，3） ， （2，4） ，（3，1) ， （3，2） ， （3，3） ， （ 3，4） ， （4，1） （4，2） ， （4 ，3） ， （4，4） ；A=（1，2） ， （2，1） ， （2，4） ， （4，2）；B=（1，2） ， （1，3， （1，4 ） ， （2，1） ， （2，3） ， （3，1)， （3，2
2、） ， （3，4） ， （4，1）（4，3）2. 在数学系学生中任选一名学生设事件 A选出的学生是男生，B 选出的学生是三年级学生，C选出的学生是科普队的 (1)叙述事件 的含义AC(2)在什么条件下，ABCC 成立？(3)在什么条件下，C B 成立？解 (1)事件 的含义是，选出的学生是三年级的男生，不是科普队员(2)由于 ABC C，故 ABC C 当且仅当 C ABC这又当且仅当 C AB，即科普队员都是三年级的男生(3)当科普队员全是三年级学生时，C 是 B 的子事件，即 C B 成立3.将下列事件用 A，B，C 表示出来：（1）只有 C 发生；（2）A 发生而 B，C 都不发生；（3
3、）三个事件都不发生；（4）三个事件至少有一个不发生；（5）三个事件至少有一套（二个不发生）发生；（6）三个事件恰有二个不发生；（7）三个事件至多有二个发生；（8）三个事件中不少于一个发生。解 （1） ；ABC（2） ：（3）（4） ；ABCU（5） ；（6） ；（7） ；ABC（8） 。U4.设 A，B ，C 是三个随机事件，且 0，)()(,41)()( CBPACPBAp,求 A，B，C 中至少有一个发生的概率81)(P解 设 DA ，B ，C 中至少有一个发生 ，则 DABC，于是P(D)P(ABC)P(A )P(B )P(C)P(AB )P(BC )P(AC)P( ABC)又因为,41
4、,081)(AP而由 P(AB)0，有 P(ABC)0，所以 853)(D5.掷两枚匀称的硬币，求它们都是正面的概率解 设 A 出现正正 ，其基本事件空间可以有下面三种情况：() 1 同面、异面，n 1 2() 2 正正、反反、一正一反 ，n 23() 3 正正、反反、反正、正反 ，n 34于是，根据古典概型，对于() 来说，由于两个都出现正面，即同面出现，因此，m11，于是有21)(AP而对于() 来说，m 21，于是有3)(而对于() 来说，m 31，于是有4AP6.口袋中装有 4 个白球，5 个黑球。从中任取两个球，求取出的两个球都是白球的概率。解 试验的基本事件（样本点）总数 ，设 A
5、=“取得两个白球 ”，则 A 包含的基29nC本事件数 ，有古典概型有24mC291()6PA7.两封信任意地向标号为 1，2，3，4 的四个邮筒投递，求：（1）第三个邮筒恰好投入一封信的概率；（2）有两个邮筒各有一封信的概率。解 （1）设事件 A 表示“第三个邮筒恰好投入一封信” 。两封信任意投入 4 个邮筒，共有 42 种等可能投法，组成事件 A 的不同投法有 种，于是123C1236()48CP（2）设 B 表示“有两个邮筒各有一封信 ”，则24!3()CPA8.在 100 个产品中有 70 件一等品，20 件二等品，10 件三等品，规定一、二等品为合格品，考虑这批产品的合格率与一、二等
6、品率的关系。解 设事件 A，B 分别表示产品为一、二等品，显然事件 A 与 B 互补相容，并且事件表示产品为合格品，于是U， , .70()1P20()17029()1PABU可见 9.三只外观相同的钢笔分别属于甲、乙、丙三人如今三人各取一只，求：（1）恰好取到自己的笔的概率；（2）都没有取到自己的笔的概率分析 设 D1都取到自己的笔 ，D 2 都没有取到自己的笔这是一个古典概型问题我们有n3!6情况 甲 乙 丙 m每个人都取到自己的笔（与下相同） A B C 1恰有两个人取到自己的笔 A B C 1恰有一个人取到自己的笔 A C B C B A B A C 3三个人都没有取到自己的笔 C A
7、 B B C A 2因此 31)(,6)(21DP10.设随机事件 B 是 A 的子事件，已知 P(A)1/4 ，P(B) 1/6，求 P(B|A)解 因为 B A，所以 P(B)P( AB)，因此32)()(|11.在 100 件产品中有 5 件是不合格的，无放回地抽取两件，问第一次取到正品而第二次取到次品的概率是多少？解 设事件A第一次取到正品，B 第二次取到次品用古典概型方法求出 .0195)(AP由于第一次取到正品后不放回，那么第二次是在 99 件中(不合格品仍是 5 件) 任取一件，所以 9)|(B由公式(14) ， 396150)|()(ABPA12.五个人抓一个有物之阄，求第二个
8、人抓到的概率解 这是一个乘法公式的问题设 Ai 第 i 个人抓到有物之阄(i1，2，3，4，5)，有 ,)|(,5)(,1)( 12APP所以 54)|()(1212A13.加工某一零件共需经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别是2、3、5、3，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率解 设 ，且 相互独立，,2,3iAi第 道 工 序 加 工 的 零 件 是 次 品 iA，由题意得，A加 工 的 零 件 是 次 品、 、 、1()2%P2()33()5%PA4()从而 12341234()()()()50.987.509.124APA14.一批零件共 100 个，其中有
9、次品 10 个每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第一、二次取到的是次品，第三次才取到正品的概率解 设 ，由题意得，,12,3iAi第 次 取 到 的 是 次 品、 、10()P219(|)PA129045(|)8PA从而 123121312()(|)(|).0A15.由以往记录的数据分析，某船只在不同情况下运输某种物品，损坏2，10，90的概率分别为 0.8，0.15 和 0.05现在从中随机地取三件，发现这三件全是好的，试分析这批物品的损坏率为多少？分析 设B 三件都是好的 ，A 1损坏率为 2，A2损坏率为 10，A 3 损坏率为 90，则 A1，A 2，A 3 两两互斥，且
10、A1A 2A 3已知 P(A1)0.8，P(A 2)0.15，P( A3)0.05，且， ， 3198.0)|(BP3290.)|(BP3310.)|(B由全概率公式可知 )(|()(31iii APBP 05.1.09.8.0333 624由贝叶斯公式，这批物品的损坏率为 2，10，90的概率分别是 ,8731.064.9)(|)|( 311 BPAA,26.5)(|)|( 322 .01864.10)(|)|( 333 BPAAP由于 P(A1|B)比 P(A2|B)，P (A3|B)大得多，因此可以认为这批货物的损坏率为 216. 袋中有 15 个小球，其中 7 个是白球，8 个是黑球现
11、在从中任取 4 个球，发现它们颜色相同，问它们都是黑色的概率为多少？解 设 A1“4 个球全是黑的” ，A 2“4 个球全是白的” ，A“4 个球颜色相同” 使用古典概型，有 P(A1) ，P (A2) 而 AA 1A 2 且 A1A2 ，得1548/C4157/ 4157821C所以概率是在 4 个球的颜色相同的条件下它们都是黑球的条件概率，即 P(A1|A)注意到 A1 A，A 1AA 1，有 32)()()|( 478111APP17.设袋中有 4 个乒乓球，其中 1 个涂有白色，1 个涂有红色，1 个涂有蓝色，1 个涂有白、红、蓝三种颜色今从袋中随机地取一个球，设事件A 取出的球涂有白
12、色，B 取出的球涂有红色 ，C 取出的球涂有蓝色试验证事件 A，B，C 两两相互独立，但不相互独立此题从现实情况分析是不合理的，故不要深究。证 根据古典概型，我们有 n4，而事件 A，B 同时发生，只能是取到的球是涂有白、红、蓝三种颜色的球，即 m 1，因而 41)(P同理，事件 A 发生，只能是取到的球是涂红色的球或涂三种颜色的球，因而 2)(2)(BA因此，有 ,412)(BPA所以 P(AB)P( A)P(B)，即事件 A，B 相互独立类似可证，事件 A，C 相互独立，事件 B，C 相互独立，即 A，B，C 两两相互独立，但是由于 ,41)(AP而 ,4182) 所以 A，B ，C 并不
13、相互独立18.设两两相互独立的三事件 A，B，C ，满足：ABC ，P(A)P( B)P(C) ,并21且 ，求事件 A 的概率169)(P分析 设 P(A)p由于 ABC ，有 P(ABC)0，根据三个事件两两独立情况下的加法公式，有P(ABC)P(A) P(B)P( C)P( A)P(B)P(B )P(C)P( A)P(C)P (ABC)，即 ,169032p亦即 解得 或 (由题意舍去)41p于是 AP19 设 A，B 是两个随机事件，且 0P(A)1，P( B)0， ，则)|()|(ABPP(AB)P (A)P(B)分析 由公式 ()()()(|),(|),1PAPA由题设 ,|(B即
14、 ,)(1)(AP于是，有 ()()()()(),PABBBPA即 A、B 相互独立20.设两个随机事件 A，B 相互独立，已知仅有 A 发生的概率为 ，仅有 B 发生的概率41为 ，求 P(A)，P(B) 41分析 方法 1 因为 P(A) 0，P(B)0，且 A 与 B 相互独立，所以 AB (想一想为什么) 一方面P(AB) P(A)P( B)P(A)P( B)； (16)另一方面(17).(21)()()()( PA由于 ，有BAP),()() BPAB于是由式(16)，式(1 7)有 ,)(21)(22A即 ,4)(BPAP方法 2 因为 A 与 B 相互独立，所以 A 与 也相互独立由于 ，有)()(BAPP(A)
