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1、生活中的二次函数 邓革周 二次函数是初中数学的核心内容, 它在生活中的应用非常广泛, 涉及到桥梁建筑、市场经济、体育竞技等方面.请看下面的例子.一、喷泉、桥梁例 1 小明家附近的广场中央新修一个圆形喷水池 (如图 1) , 在水池中心竖直安装了一根高为 2 米的喷水管.它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为 1 米处达到最高, 水柱落地处离池中心 3 米.(1) 请你建立适当的平面直角坐标系, 并求出水柱抛物线的解析式;(2) 求出水柱的最大高度是多少.图 2 下载原图图 1 下载原图解: (1) 如图 2 所示, 以水管与地面交点为原点, 以原点与水柱落地点所在直线为 x 轴、水管所在
2、直线为 y 轴, 建立平面直角坐标系.评注:利用二次函数解决喷泉、桥梁和拱门等建筑设计类问题时, 要把数据转化为抛物线上的点, 从而确定解析式, 利用二次函数的性质解题.二、市场经济例 2 某超市销售一种商品, 成本每千克 40 元, 规定每千克售价不低于成本, 且不高于 80 元.经市场调查, 每天的销售量 y (千克) 与每千克售价 x (元) 满足一次函数关系, 部分数据如下表:(1) 求 y 与 x 之间的函数表达式;(2) 设销售该商品每天的总利润为 W (元) , 求 W 与 x 的函数表达式 (利润=收入-成本) ;(3) 试说明 (2) 中总利润 W 随售价 x 的变化而变化的
3、情况, 并指出售价为多少元时获得最大利润, 最大利润是多少?解: (1) 设 y 越 kx 垣 b, 由已知得即 W 越-2x+280x-8000.(3) W 越-2x+280x-8000 越-2 (x-70) 垣 1800, 40x80, 当 40x70 时, W 随 x 的增大而增大, 当 70x80 时, W 随 x 的增大而减小, 当 x 越 70 时, 总利润 W 取得最大值, 此时 W 越 1800.答:每千克售价为 70 元时获得最大利润, 最大利润是 1800 元.评注:二次函数在市场经济中的应用, 可分为投资策略、销售定价、货物存放等方面.它们的共同点就是要求利润最大化, 需
4、要建立函数关系, 运用函数的性质求解.三、体育竞技(1) 求 h 的值;(2) 通过计算判断此球能否过网.此球能过网.评注:篮球、排球、羽毛球的运动路径就是抛物线.在运动过程中, 运动员对球落点的预判离不开二次函数.四、共享单车例 4 随着地铁和共享单车的发展, “地铁+单车”已成为很多市民出行的选择.李华从文化宫站出发, 先乘坐地铁, 准备在离家较近的 A, B, C, D, E 中的某一站出地铁, 再骑共享单车回家.设他出地铁的站点与文化宫距离为 x (单位:千米) , 乘坐地铁的时间 y1 (单位:分钟) 是关于 x 的一次函数, 其关系如下表:(1) 求 y1关于 x 的函数表达式;(
5、2) 设李华从文化宫回到家所需的时间为 y, 则答:李华在 B 站出地铁, 从文化宫回到家所需的时间最短, 最短时间为 39.5 分钟.评注:在求二次函数的最值时, 一定要注意自变量 x 的取值范围.五、判断说理例 5 某农场拟建一间矩形种牛饲养室, 饲养室的一面靠现有墙 (墙足够长) , 已知建筑材料可建围墙的总长为 50m.设饲养室长为 x (m) , 占地面积为 y (m) .(1) 如图 4, 问饲养室长 x 为多少时, 占地面积 y 最大?(2) 如图 5, 现要求在图中所示位置留 2m 宽的门, 且仍使饲养室的占地面积最大.小敏说:“只要饲养室长比 (1) 中的长多 2m 就行了.”请你通过计算, 判断小敏的说法是否正确.图 4 下载原图图 5 下载原图小敏的说法不正确.评注:用自变量表示矩形的长和宽, 从而得出函数关系式是解题的关键.
