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1、第七章 地图投影与高斯投影本章提要本章介绍从椭球面上大地坐标系到平面上直角坐标系的正形投影过程.研究如何将大地坐标,大地线长度和方向以及大地方位角等向平面转化的问题.重点讲述高斯投影的原理和方法,解决由球面到平面的换算问题,解决相邻带的坐标坐标换算. 讨论在工程应用中,工程测量投影面与投影带选择.7.1 高斯投影概述1 投影与变形地图投影:就是将椭球面各元素(包括坐标,方向和长度 )按一定的数学法则投影到平面上.研究这个问题的专门学科叫地图投影学.可用下面两个方程式(坐标投影公式)表示:式中是椭球面上某点的大地坐标,而是该点投影后的平面直角坐标 . 投影变形:椭球面是一个凸起的,不可展平的曲面
2、.将这个曲面上的元素(距离,角度, 图形) 投影到平面上,就会和原来的距离,角度, 图形呈现差异, 这一差异称为投影变形.投影变形的形式:角度变形,长度变形和面积变形.地图投影的方式:(1)等角投影 投影前后的角度相等,但长度和面积有变形 ;(2)等距投影 投影前后的长度相等,但角度和面积有变形 ;(3)等积投影 投影前后的面积相等,但角度和长度有变形 .2 控制测量对地图投影的要求(1)应当采用等角投影(又称为正形投影 )采用正形投影时,在三角测量中大量的角度观测元素在投影前后保持不变 ;在测制的地图时,采用等角投影可以保证在有限的范围内使得地图上图形同椭球上原形保持相似.(2)在采用的正形
3、投影中, 要求长度和面积变形不大,并能够应用简单公式计算由于这些变形而带来的改正数.(3)能按分带投影3 高斯投影的基本概念(1)基本概念:如图 1 所示, 假想有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面,并与某一条子午线(此子午线称为中央子午线或轴子午线)相切,椭圆柱的中心轴通过椭球体中心 ,然后用一定投影方法,将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上, 再将此柱面展开即成为投影面,如图 2 所示,此投影为高斯投影.高斯投影是正形投影的一种.图 1 图 2(2)分带投影高斯投影带:自子午线起每隔经差自西向东分带,依次编号 1,2,3,.我国带中央子午线的经度,由起每隔而至, 共计 11
4、 带(1323 带),带号用表示,中央子午线的经度用表示,它们的关系是,如图所示.高斯投影带:它的中央子午线一部分同带中央子午线重合, 一部分同带的分界子午线重合,如用表示带的带号, 表示带中央子午线经度, 它们的关系图 8-4 所示. 我国带共计22 带(2445 带).(3)高斯平面直角坐标系在投影面上,中央子午线和赤道的投影都是直线,并且以中央子午线和赤道的交点作为坐标原点,以中央子午线的投影为纵坐标轴,以赤道的投影为横坐标轴.在我国坐标都是正的,坐标的最大值(在赤道上)约为 330km.为了避免出现负的横坐标, 可在横坐标上加上 500 OOOm.此外还应在坐标前面再冠以带号. 这种坐
5、标称为国家统一坐标.例如,有一点=19 123 456.789m,该点位在带内, 其相对于中央子午线而言的横坐标则是:首先去掉带号,再减去 500000m,最后得=-376 543.211m.(4)高斯平面投影的特点中央子午线无变形;无角度变形,图形保持相似; 离中央子午线越远,变形越大.5 椭球面三角系化算到高斯投影面将椭球面三角系归算到高斯投影面的主要内容是:(1)将起始点的大地坐标归算为高斯平面直角坐标; 为了检核还应进行反算,亦即根据反算.(2)通过计算该点的子午线收敛角及方向改正,将椭球面上起算边大地方位角归算到高斯平面上相应边的坐标方位角.(3)通过计算各方向的曲率改正和方向改正,
6、将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上的由相应直线组成的三角形内角.(4)通过计算距离改正, 将椭球面上起算边的长度归算到高斯平面上的直线长度.(5)当控制网跨越两个相邻投影带,需要进行平面坐标的邻带换算.7.2 正形投影的一般条件高斯投影首先必须满足正形投影的一般条件.图 1 为椭球面, 图 2 为它在平面上的投影.在椭球面上有无限接近的两点和,投影后为和,其坐标均已注在图上, 为大地线的微分弧长,其方位角为.在投影面上,建立如图 2 所示的坐标系,的投影弧长为.图 2 图 37椭球面到平面的正形投影一般公式 称柯西-黎曼条件 :平面正形投影到椭球面上的一般条件:7.3 高斯平面直角坐标系与
7、大地坐标系1 高斯投影坐标正算公式(1)高斯投影正算: 已知椭球面上某点的大地坐标, 求该点在高斯投影平面上的直角坐标, 即的坐标变换.(2)投影变换必须满足的条件中央子午线投影后为直线;中央子午线投影后长度不变;投影具有正形性质,即正形投影条件.(3)投影过程在椭球面上有对称于中央子午线的两点和,它们的大地坐标分别为 ()及(), 式中为椭球面上点的经度与中央子午线的经度差:, 点在中央子午线之东, 为正,在西则为负,则投影后的平面坐标一定为和.(4)计算公式当要求转换精度精确至 0.OOlm 时,用下式计算: 2 高斯投影坐标反算公式(1)高斯投影反算: 已知某点的高斯投影平面上直角坐标,
8、求该点在椭球面上的大地坐标, 即的坐标变换.(2)投影变换必须满足的条件坐标轴投影成中央子午线,是投影的对称轴;轴上的长度投影保持不变;投影具有正形性质,即正形投影条件.(3)投影过程根据计算纵坐标在椭球面上的投影的底点纬度,接着按计算 ()及经差, 最后得到,.(4)计算公式当要求转换精度至时,可简化为下式:3 高斯投影相邻带的坐标换算(1)产生换带的原因高斯投影为了限制高斯投影的长度变形,以中央子午线进行分带 ,把投影范围限制在中央子午线东,西两侧一定的范围内.因而,使得统一的坐标系分割成各带的独立坐标系.在工程应用中,往往要用到相邻带中的点坐标,有时工程测量中要求采用带, 带或任意带,而
9、国家控制点通常只有带坐标,这时就产生了带同带(或带,任意带)之间的相互坐标换算问题,如图所示:(2)应用高斯投影正, 反算公式间接进行换带计算计算过程把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标.首先把某投影带(比如带)内有关点的平面坐标, 利用高斯投影反算公式换算成椭球面上的大地坐标, 进而得到;然后再由大地坐标,利用投影正算公式换算成相邻带的(第带)的平面坐标.在这一步计算时,要根据第带的中央子午线来计算经差,亦即此时.算例在中央子午线的带中,有某一点的平面直角坐标,现要求计算该点在中央子午线的第带的平面直角坐标.计算步骤根据,利用高斯反算公计算换算,得到,.采用已求得的,并顾及到第带的中央子午线,求
10、得,利用高斯正算公式计算第带的直角坐标,为了检核计算的正确性,要求每步都应进行往返计算4 子午线收敛角公式(1)子午线收敛角的概念如图所示,及分别为椭球面点,过点的子午线及平行圈在高斯平面上的描写. 由图可知, 所谓点子午线收敛角就是在上的切线 与坐标北之间的夹角,用表示.在椭球面上,因为子午线同平行圈正交,又由于投影具有正形性质,因此它们的描写线及也必正交,由图可见, 平面子午线收敛角也就是等于在点上的切线同平面坐标系横轴的倾角.(2)由大地坐标计算平面子午线收敛角公式(3)由平面坐标计算平面子午线收敛角的公式上式计算精度可达 1.如果要达到 0.001计算精度,可用下式计算:(4)实用公式
11、已知大地坐标计算子午线收敛角已知平面坐标计算子午线收敛角7.4 椭球面上观测成果归化到高斯平面上计算1 概述由于高斯投影是正形投影,椭球面上大地线间的夹角与它们在高斯平面上的投影曲线之间的夹角相等.为了在平面上利用平面三角学公式进行计算,须把大地线的投影曲线用其弦线来代替.控制网归算到高斯平面上的内容有:(1)起算点大地坐标的归算将起算点大地坐标归算为高斯平面直角坐标.(2)起算方向角的归算.(3)距离改化计算 椭球面上已知的大地线边长(或观测的大地线边长)归算至平面上相应的弦线长度.(4)方向改计算 椭球面上各大地线的方向值归算为平面上相应的弦线方向值.2 方向改化(1)概念如图所示,若将椭
12、球面上的大地线方向改化为平面上的弦线 ab 方向,其相差一个角值,即称为方向改化值.(2)方向改化的过程如图所示,若将大地线方向改化为弦线 ab 方向.过,点,在球面上各作一大圆弧与轴子午线正交,其交点分别为,它们在投影面上的投影分别为和. 由于是把地球近似看成球, 故和都是垂直于轴的直线.在,点上的方向改化分别为和. 当大地线长度不大于 10km,坐标不大于 l00km 时,二者之差不大于 0.05,因而可近似认为=.(3)计算公式球面角超公式为:适用于三,四等三角测量的方向改正的计算公式:式中,为 a,b 两点的 y 坐标的自然的平均值.3 距离改化(1)概念如图所示,设椭球体上有两点及其
13、大地线,在高斯投影面上的投影为及. 是一条曲线, 而连接两点的直线为如前所述由化至所加的改正,即为距离改正 .(2)长度比和长度变形长度比:指椭球面上某点的一微分元素,其投影面上的相应微分元素 ,则 称为该点的长度比.长度变形:由于长度比恒大于 1,故称为长度变形.(3)长度比的计算公式式中:表示按大地线始末两端点的平均纬度计算的椭球的平均曲率半径.为投影线两端点的平均横坐标值.(4)长度比和长度变形的特点长度比随点的位置而异,但在同一点上与方向无关;当 y=0(或 l=0)时,m=1,即中央子午线投影后长度不变;当 y0(或 l0)时,即离开中央子午线时,长度设形(m-1) 恒为正, 离开中
14、央子午线的边长经投影后变长.长度变形()与(或)成比例地增大,对于在椭球面上等长的子午线来说 ,离开中央子午线愈远的那条,其长度变形愈大.(5)距离改化计算公式或7.5 工程测量投影面与投影带选择1 概述对于工程测量,其中包括城市测量,既有测绘大比例尺图的任务,又有满足各种工程建设和市政建设施工放样工作的要求.如何根据这些目的和要求合适地选择投影面和投影带,经济合理地确立工程平面控制网的坐标系,在工程测量是一个重要的课题.2 工程测量中选择投影面和投影带的原因(1)有关投影变形的基本概念平面控制测量投影面和投影带的选择,主要是解决长度变形问题 .这种投影变形主要是由于以下两种因素引起的: 实测
15、边长归算到参考椭球面上的变形影响,其值为 :式中:为归算边高出参考椭球面的平均高程,为归算边的长度 ,为归算边方向参考椭球法截弧的曲率半径.归算边长的相对变形:值是负值,表明将地面实量长度归算到参考椭球面上,总是缩短的;值与,成正比, 随增大而增大. 将参考椭球面上的边长归算到高斯投影面上的变形影响,其值为:式中:,即为投影归算边长,为归算边两端点横坐标平均值,为参考椭球面平均曲率半径.投影边长的相对投影变形为值总是正值,表明将椭球面上长度投影到高斯面上,总是增大的;值随着平方成正比而增大,离中央子午线愈远, 其变形愈大.(2)工程测量平面控制网的精度要求工程测量控制网不但应作为测绘大比例尺图
16、的控制基础,还应作为城市建设和各种工程建设施工放样测设数据的依据.为了便于施工放样工作的顺利进行,要求由控制点坐标直接反算的边长与实地量得的边长,在长度上应该相等 ,这就是说由上述两项归算投影改正而带来的长度变形或者改正数,不得大于施工放样的精度要求 .一般来说, 施工放样的方格网和建筑轴线的测量精度为 1/5 0001/20 000.因此,由投影归算引起的控制网长度变形应小于施工放样允许误差的 1/2,即相对误差为 1/10 0001/40 000,也就是说,每公里的长度改正数不应该大于 102.5cm.3 投影变形的处理方法(1)通过改变从而选择合适的高程参考面,将抵偿分带投影变形,这种方法通常称为抵偿投影面的高斯正形投影;(2)通过改变,从而对中央子午线作适当移动,来抵偿由高程面的边长归算到参考椭球面上的投影变形,这就是通常所说的任意带高斯正形投影 ;(3)通过既改变(选择高程参考面 ),又改变(移动中央子午线), 来共同抵偿两项归算改
