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1、1第一章 行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1） ； （2）381402bac（3） ； （4） .22cba yxy解 （1） 3810 81)(103)( 482= 468= 4（2） bac cabca33（3） 221cba 222cbaab)()(c（4） yxyyx)()()( 33)(xy223322.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3；（5）1 3 2 4 ；)(n)(n（6）1 3 2.解（1）逆序数为 02（2）逆序数为 4：4 1，4 3，4 2，3 2（
2、3）逆序数为 5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1（4）逆序数为 3：2 1，4 1，4 3（5）逆序数为 ：)(n3 2 1 个5 2，5 4 2 个7 2，7 4，7 6 3 个 2， 4， 6， )1(n)()12(n)(n)(个（6）逆序数为3 2 1 个5 2，5 4 2 个 2， 4， 6， )1(n)()12(n)(n)(个4 2 1 个6 2，6 4 2 个 2， 4， 6， 个)()()2()(3.写出四阶行列式中含有因子 的项.31a解 由定义知，四阶行列式的一般项为，其中 为 的逆序数由于4321)(pptat432p3,12p已固定， 只能形如 ，即 1324 或
3、 1342.对应的 分别为t或020和 为所求.43214231a4.计算下列各行列式：（1） ； （2） ；71054260531（3） ； （4）efcbfdadcba10解(1) 710254342c010423= 34)1(31024= =04321c147209(2) 26053124c260531=024r041314r034(3) =efcbfdaecb= =1adeaf4(4) dcb102ardcba10= 2)(123 0ca= =23)1(cdab1dcab5.证明:4(1) = ;122ba3)(2) = ;bzayxbazyxyxz)(3(3) ;0)3()2()1(
4、)()( 2222222 ddcc(4) 4422dcba;)()()( dbca )(dcba(5) .1221001axaxnn LLL nnaxx11L证明(1) 02132bc左 边 aba2)(21)右 边3)(b(2) zayxzyxa分 开按 第 一 列左 边 bzayxzy02baz分 别 再 分 zyxb5zyxbzyxa33分 别 再 分 右 边233 )1(zyxz(3) 222222 )3()()1( )(ddcccbbaa左 边 964122143 ddccbbaac9642ddccbbaa分 成 二 项按 第 二 列 964122dcba9496243dcbac第
5、二 项第 一 项 06412dccba(4) 4444 2222001adcab左 边= )()()( 22222= )()()(11222 adcabdacb = )()(6)()()()()( 00122222 abdabcab = d)()()()( 112222c= dbcaba dcba(5) 用数学归纳法证明 ., 21212 命 题 成 立时当 xxDn假设对于 阶行列式命题成立，即)1(,12 nnn aaL:列 展 开按 第则 1100)(1 xxxDnnL右 边naD1所以，对于 阶行列式命题成立.6.设 阶行列式 ,把 上下翻转、或逆时针旋转 、或依)det(ijao90
6、副对角线翻转，依次得， ， ，nnaD11LM112nnaDLM113aDnnLM证明 .32)(2,证明 detijQnnnnn aaD2211111)(LMLMLnnnna331211)(7nnnaLM1121)()(Dn2)()(21)( L同理可证 nnaD11)(2 DnTn2)1()1( nn )1(2)1(2)1(2)(37.计算下列各行列式（ ）：阶 行 列 式为 k(1) ,其中对角线上元素都是 ，未写出的元素都是 0；aDn1Oa(2) ;xaxnL(3) ;11)()(111LnaaDnn n提示：利用范德蒙德行列式的结果(4) ;nnnndcbaDON012(5) ;j
7、iajij 其 中),det(8(6) , .nn aaD1121L021naL其 中解(1) aaDn00100L按 最 后 一 行 展 开)1(1 001)( nnaaL )1(2nnaO( )再 按 第 一 行 展 开 nnna )2(1()O2n)1(2a(2)将第一行乘 分别加到其余各行，得 axxaaaxDn 00LL再将各列都加到第一列上，得 axanDn 00)1( LL9)()1(1axnxn(3)从第 行开始，第 行经过 次相邻对换，换到第 1 行，第n行经 次对换换到第 2 行，经 次行)( 2)()(L交换，得 nnnn aaD)()1(11)1( 112( LL此行列
8、式为范德蒙德行列式 12)1(1 )1()(jinn ji 121)(2)(12)( )( jinnnjin L1)(jin(4) nnnnn dcbaD00012 ONnn dcdbaa00011111 LONM展 开按 第 一 行10000)1( 111112cdcbabn nnnn ON22nnDcbda都 按 最 后 一 行 展 开由此得递推公式：22)(nnD即 i iicbda2而 111c得 ni iicbdaD12)(5) jiaj 04321331022130)det( LLLnnnaDijnL,321r043211LnnL,1432c11=15243210021nnnLLL
9、L21)()nn(6) nn aaD1121L,43321cnnaaa10000014321LLL 展 开 （ 由 下 往 上 ）按 最 后 一 列)(1121nnaL nnaa000002432LLLnaa0001321LLL12naaa000001432LLLnnn aaL32232121)( 21ia8.用克莱姆法则解下列方程组： ;0123,254,)1(4332xx.15,06,165)2(4321 xx解(1) 1231D81207314508 4120512031D12053913120395123095112030461142081203512D8107331905 24809
10、42610352D4201324 1,3, 432 DxxDxx(2) 51065D展 开按 最 后 一 行 61055 D)5( 3914D14656514965( ),的 余 子 式中为 行 列 式 a ,1的 余 子 式中为 aD 类 推D510601展 开按 第 一 列 65104D4397510652展 开按 第 二 列 510660354185106013D展 开按 第 三 列 5106606734951060154D展 开按 第 四 列 61050615391510561105D展 开按 最 后 一 列 D10562165;6539;657;654;67 44321 xxxx9.
11、 有非零解？齐 次 线 性 方 程 组取 何 值 时问 ,0231解 ，123D齐次线性方程组有非零解，则 03D即 得 1或不难验证，当 该齐次线性方程组确有非零解.,0时或10. 齐 次 线 性 方 程 组取 何 值 时问 ,0)1(324)(312xx有非零解？解 13241D10243)()()()(32123齐次线性方程组有非零解，则 0D得 ,或不难验证，当 时，该齐次线性方程组确有非零解.或16第二章矩阵及其运算1已知线性变换：,325,132yyx求从变量 到变量 的线性变换,321解由已知： 23215yx故 32121xy 3214769y32134769x2已知两个线性变换,54,3213yx,32,312zy求从 到 的线性变换3,zx解 由已知 21321540yx 3210254z316109z所以有 321324zzx3设 , A,150423B求 .2BT及17解 AB231504231192650829407150231BAT 06584计算下列乘积：(1) ; (2) ; (3) ;127053123,2,1(4) ;2043(5) ;321231321),( xax(6) .
