《2017-2018年高中数学 考点23 数列求和及综合应用（含2017年高考试题）新人教a版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 考点23 数列求和及综合应用（含2017年高考试题）新人教a版（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1考点 23 数列求和及综合应用1、选择题1.(2017全国乙卷理科T12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列 1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一项是20,接下来的两项是 20,21,再接下来的三项是 20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数 N:N100且该数列的前 N项和为 2的整数幂.那么该款软件的激活码是()A.440 B.330 C.220 D.110【命题意图】本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起,首
2、先需要读懂题目所表达的具体含义,以及观察所给定数列的特征,进而判断出该数列的通项,进行求和.另外,本题的难点在于数列里面套数列,第一个数列的和又作为下一个数列的通项,而且最后几项并不能放在一个数列中,需要进行判断.【解题指南】将已知的数列列举成下列形式,20第一行,1 个数,求和为 21-12021第二行,2 个数,求和为 22-1202122第三行,3 个数,求和为 23-120212223第四行,4 个数,求和为 24-12021222324第五行,5 个数,求和为 25-1故而可得,第 n行,n 个数,求和为 2n-1,因此前 n行,一共有 1n个数,求和为 2n+1-n-2.【解析】选
3、 A.由题意得,数列如下:1,1,2,1,2,4,1,2,4,2k-1则该数列的前 1+2+k=项和为 S 12k=1+(1+2)+(1+2+2k)=2k+1-k-2,要使 12k100,有 k14,此时 k+21时有 a1+3a2+(2n-3)an-1=2(n-1),所以两式作差可得:(2n-1)a n=2,即 an= 2(n1,且 nN *),又因为 n=1时,a 1=2符合,所以 an= (nN *).(2)设 bn= 21,则 bn=21= 1n- 2,3所以数列 21na的前 n项和为Sn=b1+b2+bn=1-3+ -5+ 12- n=1- = 21n.4.(2017全国甲卷文T1
4、7)已知等差数列a n的前 n项和为 Sn,等比数列b n的前 n项和为 Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1)若 a3+b3=5,求b n的通项公式.(2)若 T3=21,求 S3.【命题意图】本题考查等差数列和等比数列的性质以及数列求和,通项公式,意在考查学生的方程思想的运用和求解运算能力.【解析】(1)设a n的公差为 d,bn的公比为 q,则 an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由 a2+b2=2得,d+q=3,(1)由 a3+b3=5得,2d+q 2=6联立和解得 0dq(舍去), 12dq因此b n的通项公式 bn=2n-1.(2)由 b1=1,T3=21得 q2
5、+q-20=0.解得 q=-5或 q=4,当 q=-5时,由得 d=8,则 S3=21;当 q=4时,由得 d=-1,则 S3=-6.5.(2017北京高考文科T15)已知等差数列a n和等比数列b n满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.(1)求a n的通项公式.(2)求和:b 1+b3+b5+b2n-1.【命题意图】本题主要考查等差与等比数列的基本运算,意在培养学生计算能力.【解析】(1)设等差数列a n公差为 d,因为 a2+a4=2a3=10,所以 a3=5=1+2d,所以 d=2.所以an=2n-1.(2)设b n的公比为 q,b2b4=a5qq3=9,所以 q2=3
6、,所以b 2n-1是以 b1=1为首项,q=q 2=3为公比的等比数列,所以 b1+b3+b5+b2n-1=13= .【答题模版】1.看到求等差、等比数列的通项公式,想到利用基本元素首项与公差、公比,充分利用题目中条件求解.2.看到求和,想到求数列和的几种类型是分组,还是错位相减,还是并项求和,裂项相消.6.(2017北京高考理科T20)设a n和b n是两个等差数列,记 cn=maxb1-a1n,b2-a2n,bn-ann(n=1,2,3,),其中 maxx1,x2,xs表示 x1,x2,xs这 s个数中最大的数.(1)若 an=n,bn=2n-1,求 c1,c2,c3的值,并证明c n是等
7、差数列.4(2)证明:或者对任意正数 M,存在正整数 m,当 nm 时, nCM;或者存在正整数 m,使得cm,cm+1,cm+2,是等差数列.【命题意图】本题主要考查数列的综合.意在培养学生的计算能力及分类意识.【解析】(1)当 n1 时,c 1=maxb1-a1=max0=0,c2=maxb1-2a1,b2-2a2=max-1,-1=-1,c3=maxb1-3a1,b2-3a2,b3-3a3=max-2,-3,-4=-2,所以,对于nN *且 n2,都有 cn=b1-a1n,只需比较 b1-a1n与其他项的大小,当 kN *且10,且 2-n0,所以 bk-aknb 1-a1n,所以对于n
8、N *且 n2,c n=b1-a1n=1-n,所以 cn-cn-1=-1,n2,又 c2-c1=-1,所以c n是以 c1=0为首项,d=-1 为公差的等差数列.(2)设a n和b n的公差分别为 d1,d2,则 bi-ain=b1+(i-1)d2-a1+(i-1)d1n=(d2-nd1)i+b1-d2-a1n+nd1(i=1,2,n).当 d10时,则存在正整数 m,当 nm 时,d 2-d1n0,则 bi-ain随 i的增大而增大,所以 cn=bn-ann=b1-d2+(d2-a1)n是等差数列.所以当 d1=0时,存在 m=1,c1,c2,c3是等差数列.当 d10,此时 bi-ain随
9、 i的增大而增大,所以当 nm 时,c n=bn-ann,所以 nc= -an= 2+d2-a1+d1-d1n= A+B-d1n,其中 A=b1-d2,B=d2-a1+d1.取正整数 m1|A|,则当 nm 1时, An-1,取正整数 m2- 1MBd,则当 nm 2时,B-d 1nB-d1 1MBd=M+1.令 m=maxm1,m2,当 nm 时, nc = A+B-d1n-1+(M+1)=M.所以当 d1M,综上所述,或者对任意正数 M,存在正整数 m,当 nm 时, nc M,或者存在正整数 m,使得5cm,cm+1,cm+2,是等差数列.7.(2017天津高考理科T18)已知a n为等
10、差数列,前 n项和为 Sn(nN *),bn是首项为2的等比数列,且公比大于 0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求a n和b n的通项公式.(2)求数列a 2nb2n-1的前 n项和(nN *).【命题意图】本题综合考查等差等比数列通项公式及复杂数列求和等问题.考查学生灵活应用基本量的能力,考查学生利用“错位相减”进行数列求和的应用能力.【解析】(1)设等差数列a n的公差为 d,等比数列b n的公比为 q.由已知得:b 2+b3=12,即b1(q+q2)=12,又 b1=2,所以 q2+q-6=0,因为 q0,所以 q=2,所以 bn=2n,由 b3=a4-2
11、a1,S11=11b4得,3d-a1=8,a1+5d=16,联立解得,a 1=1,d=3,所以 an=3n-2,所以,a n和b n的通项公式分别为 an=3n-2,bn=2n.(2)设数列a 2nb2n-1的前 n项和为 Tn,由 a2n=6n-2,b2n-1=24n-1,有 a2nb2n-1=(3n-1)4n,故 Tn=24+542+843+(3n-1)4n,4Tn=242+543+844+(3n-4)4n+(3n-1)4n+1,上述两式相减,得-3T n=24+342+343+34n-(3n-1)4n+1= 1n-4-(3n-1)4n+1=-(3n-2)4n+1-8.得 Tn=324n+
12、1+83.所以,数列a 2nb2n-1的前 n项和为 234n+1+8.【方法技巧】用错位相减法求数列a nbn的前 n项和一般地,如果数列a n是等差数列,b n是等比数列,求数列a nbn的前 n项和时,可采用错位相减法求和,一般是在和式的两边同乘以等比数列b n的公比,然后错位作差求解.8.(2017天津高考文科T18)已知a n为等差数列,前 n项和为 Sn(nN *),bn是首项为2的等比数列,且公比大于 0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求a n和b n的通项公式.(2)求数列a 2nbn的前 n项和(nN *).【命题意图】本题综合考查等差等比数列
13、通项公式及复杂数列求和等问题.考查学生灵活应用基本量的能力,考查学生利用“错位相减”进行数列求和的应用能力.【解析】(1)设等差数列a n的公差为 d,等比数列b n的公比为 q.由已知 b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而 b1=2,所以 q2+q-6=0.又因为 q0,解得 q=2.所以,b n=2n.由 b3=a4-2a1,可得 3d-a1=8.由 S11=11b4,可得 a1+5d=16,联立,解得 a1=1,d=3,由此可得 an=3n-2.所以,a n的通项公式为 an=3n-2,bn的通项公式为 bn=2n.(2)设数列a 2nbn的前 n项和为 Tn,由 a2n=6n
14、-2,有 Tn=42+1022+1623+(6n-2)2n,2Tn=422+1023+1624+(6n-8)2n+(6n-2)2n+1,6上述两式相减,得-T n=42+622+623+62n-(6n-2)2n+1= 12-4-(6n-2)2n+1=-(3n-4)2n+2-16.得 Tn=(3n-4)2n+2+16.所以,数列a 2nbn的前 n项和为(3n-4)2 n+2+16.【方法技巧】用错位相减法求数列a nbn的前 n项和一般地,如果数列a n是等差数列,b n是等比数列,求数列a nbn的前 n项和时,可采用错位相减法求和,一般是在和式的两边同乘以等比数列b n的公比,然后错位作差
15、求解.9.(2017山东高考理科T19)已知x n是各项均为正数的等比数列,且 x1+x2=3,x3-x2=2.(1)求数列x n的通项公式.(2)如图,在平面直角坐标系 xOy中,依次连接点 P1(x1,1),P2(x2,2),Pn+1(xn+1,n+1)得到折线 P1P2Pn+1,求由该折线与直线 y=0,x=xi(xx n)所围成的区域的面积 Tn.【命题意图】本题考查等比数列的通项公式的求解以及应用错位相减法求数列的和,意在考查考生运算求解能力.【解析】(1)设数列x n的公比为 q,由已知 q0,由题意得 123xq所以 3q2-5q-2=0,因为 q0,所以 q=2,x1=1,因此数列x n的通项公式为 xn=2n-1.(2)过 P1,P2,Pn+1向 x轴作垂线,垂足分别为 Q1,Q2,Qn+1,由(1)得 xn+1-xn=2n-2n-1=2n-1,记梯形 PnPn+1Qn+1Qn的面积为 bn,由
