《2017-2018年高中数学 第三章 概率 3.3.1 几何概型学案（含解析）新人教a版必修3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 第三章 概率 3.3.1 几何概型学案（含解析）新人教a版必修3（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、- 1 -3.3.1几何概型提出问题每逢节假日，各大型商场竞相出招，吸引顾客，其中某商场设立了一个可以自由转动的转盘，规定顾客消费 100 元以上，就能获得一次转动转盘的机会如果转盘停止后，指针正好对准，或区域，顾客就可以分别获得 100 元、50 元、20 元的购物券(转盘被等分成 20 个扇形)，一位顾客消费了 120 元问题 1：这位顾客获得 100 元购物券的概率与什么因素有关？提示：与标注的小扇形个数多少(面积大小)有关问题 2：在该实例试验中，试验结果有多少个？其发生的概率相等吗？提示：试验结果有无穷多个，但每个试验结果发生的概率相等问题 3：如何计算该顾客获得 100 元购物券的
2、概率？提示：用标注的扇形面积除以圆的面积导入新知1几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型2几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个(2)每个基本事件出现的可能性相等3几何概型概率公式在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式为：P(A).构 成 事 件 A的 区 域 长 度 面 积 或 体 积 试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 长 度 面 积 或 体 积 化解疑难理解几何概型应关注三点(1)几何概型中，每个基本事件在一个区域内均匀分布，所以随机事件概率的大小与随机
3、事件所在区域的形状、位置无关，只与区域的大小有关；(2)如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为 0，则它出现的概率为 0，但不是不可能事件；(3)如果一个随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为 1，但不- 2 -是必然事件与长度有关的几何概型例 1(1)在区间1,2上随机取一个数 x，则| x|1 的概率为_(2)某汽车站每隔 15 min 有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过 10 min 的概率解析(1)区间1,2的长度为 3，由| x|1 得 x1,1，而区间1,1的长度为 2， x 取每个值为随机的，在
4、1,2上取一个数 x，| x|1 的概率 P .23(2)设上一辆车于时刻 T1到达，而下一辆车于时刻 T2到达，则线段 T1T2的长度为 15，设T 是线段 T1T2上的点，且 T1T5， T2T10，如图所示记“等车时间超过 10 min”为事件 A，则当乘客到达车站的时刻 t 落在线段 T1T 上(不含端点)时，事件 A 发生 P(A) ，T1T的 长 度T1T2的 长 度 515 13即该乘客等车时间超过 10 min 的概率是 .13答案(1)23类题通法1几何概型概率问题的一般步骤(1)选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能性)；(2)把基本事件转化为与之对应的区域 D；(
5、3)把所求随机事件 A 转化为与之对应的区域 I；(4)利用概率公式计算2与长度有关的几何概型问题的计算公式如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：P(A) .构 成 事 件 A的 区 域 长 度试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 长 度活学活用1(重庆高考)在区间0,5上随机地选择一个数 p，则方程 x22 px3 p20 有两个负根的概率为_- 3 -解析：设方程 x22 px3 p20 的两个负根分别为 x1， x2，Error!解得 p1 或 p2.23故所求概率 P .(1 23) 5 25 23答案：232一个路口的红灯亮的时间为 30
6、 秒，黄灯亮的时间为 5 秒，绿灯亮的时间为 40秒当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯亮；(2)黄灯亮；(3)不是红灯亮解：在 75 秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型(1)P .红 灯 亮 的 时 间全 部 时 间 3030 40 5 25(2)P .黄 灯 亮 的 时 间全 部 时 间 575 115(3)P ，或 P1 P(红灯亮)不 是 红 灯 亮 的 时 间全 部 时 间 黄 灯 亮 或 绿 灯 亮 的 时 间全 部 时 间 4575 351 .25 35与面积有关的几何概型例 2(1)有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，
7、小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为()(2)四边形 ABCD 为长方形， AB2， BC1， O 为 AB 的中点，在长方形 ABCD 内随机取一点，取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为()A. B1 4 4C. D1 8 8解析(1)根据几何概型的面积比，选项 A 中的游戏盘中奖概率为 ，选项 B 中游戏盘38- 4 -的中奖概率为 ，选项 C 中游戏盘的中奖概率为 ，选项 D 中游戏盘的13 2r 2 r2 2r 2 4 4中奖概率为 ，故 A 游戏盘的中奖概率最大r2 r2 1(2)如图所示，长方形面积为 2，以 O 为圆心，1 为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)面积为 ，因此取到
8、的点到 O 的距离小于 1 的概率 2为 2 ，取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 1 . 2 4 4答案(1)A(2)B类题通法1与面积有关的几何概型的概率公式如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：P(A) .构 成 事 件 A的 区 域 面 积试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 面 积2解与面积相关的几何概型问题的三个关键点(1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积；(3)套用公式，从而求得随机事件的概率活学活用1(福建高考改编)如图，矩形 ABCD 中，
9、点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为(1,0)，且点 C与点 D 在函数 f(x)Error!的图象上. 若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于_解析：因为 f(x)Error! B 点坐标为(1,0)，所以 C 点坐标为(1,2)， D 点坐标为(2,2)，A 点坐标为(2,0)，故矩形 ABCD 的面积为 236，阴影部分的面积为 31 ，故 P12 32 .326 14答案：142在平面直角坐标系 xOy 中，设 M 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域，向 M 中随机投一点，则所投的点落入 E中的
10、概率是_- 5 -解析：如图，区域 M 表示边长为 4 的正方形 ABCD 的内部(含边界)，区域 E 表示单位圆及其内部，因此 P . 1244 16答案：16与角度有关的几何概率例 3在等腰直角三角形 ABC 中，过直角顶点 C 在 ACB 内部任意作一条射线 CM，与线段 AB 交于点 M.求 AM AC 的概率解如图，在 AB 上取 AC AC，连接 CC，则 ACC 67.5.180 452设 D ，则所有可能结果的区域角度为 90，事件 D在 ACB内 部 任 意 作 一 条 射 线 CM，与 线 段 AB交 于 点 M， AM AC 的区域角度为 67.5， P(D) .67.5
11、90 34类题通法与角度有关的几何概型概率的求法(1)如果试验的所有结果构成的区域的几何度量可用角度表示，则其概率的计算公式为P(A) .构 成 事 件 A的 区 域 角 度试 验 的 全 部 结 果 构 成 的 区 域 角 度(2)解决此类问题的关键是事件 A 在区域角度内是均匀的，进而判定事件的发生是等可能的活学活用在平面直角坐标系中，射线 OT 为 60角的终边，在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在 xOT 内的概率是()A. B16 23- 6 -C. D13 160解析：选 A如图，在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在 xOT 内对应的角度为 60 度，而整个角集合对应的角度
12、为圆周角，该角终边落在 xOT内的概率 P .6036016与体积有关的几何概型例 4(1)在一球内有一棱长为 1 的内接正方体，一点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为()A. B6 32C. D3 233(2)已知正方体 ABCDA1B1C1D1内有一个内切球 O，则在正方体 ABCDA1B1C1D1内任取点M，点 M 在球 O 内的概率是_解析(1)由题意可得正方体的体积为 V11.又球的直径是正方体的对角线，故球的半径 R .球的体积 V2 R3 .这是一个几何概型，则此点落在正方体内的概率为32 43 32P .V1V2 132 233(2)设正方体的棱长为 2.正方体 ABCD
13、A1B1C1D1的内切球 O 的半径是其棱长的一半，其体积为 V1 1 3 .则点 M 在球 O 内的概率是 .43 43 4323 6答案(1)D(2) 6类题通法与体积有关的几何概型概率的求法如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为P(A) .构 成 事 件 A的 区 域 体 积试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 体 积活学活用有一个底面圆的半径为 1、高为 2 的圆柱，点 O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱- 7 -内随机取一点 P，求点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率解：圆柱的体积 V 圆柱 1 222 是试验的全部结果构成的区域
14、体积以 O 为球心，1 为半径且在圆柱内部的半球的体积 V 半球 13 ，则构成事件12 43 23A“点 P 到点 O 的距离大于 1”的区域体积为 2 ，23 43由几何概型的概率公式得 P(A) .432 233.几 何 概 型 中 的 交 汇 性 问 题典例设关于 x 的一元二次方程 x22 ax b20，若 a 是从区间0,3上任取的一个数，b 是从区间0,2上任取的一个数，求上述方程有实根的概率解题指导设事件 A 为“方程 x22 ax b20”有实根则 4 a24 b20，即 a2 b2.又 a0， b0. a b.试验的全部结果所构成的区域为( a， b)|0 a3，0 b2， 而构成事件 A 的区域为( a， b)|0 a3,0 b2， a b，即如图所 示的阴影部分所以 P(A) .32 122232 23多维探究几何概型与其他知识的交汇问题，以其新颖性、综合性而渐成为命题者的一个重要着眼点，本题是以方程的根为依托考查了与面积有关的几何概型的求法，另外，几何概型还常与集合、解析几何等问题相交汇命题，出现在试卷中角度一几何概型与集合的交汇问题已知集合 M ， N x， y |x y 8， x 0， y 0，若向区域 M 随机投一点，则点 P 落入区域 N 的概 x， y |x 3y 0， x 6， y 0率为()A. B
