《2017-2018年高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（一）学案（含解析）新人教a版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（一）学案（含解析）新人教a版必修4（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、- 1 -14.2正弦函数、余弦函数的性质第一课时正弦函数、余弦函数的性质(一)正弦、余弦函数的周期性提出问题问题 1：终边相同的角的三角函数值有什么关系？提示：相等即 sin(2k x)sin x，cos(2 k x)cos x(kZ)问题 2：正弦曲线具有什么特点？提示：“周而复始” ，每隔 2 就重复一次问题 3：余弦曲线是否也具有上述特点？提示：是导入新知1函数的周期性(1)对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x T) f(x)，那么函数 f(x)就叫周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期(2)如果在周期函数 f(x)的所有周
2、期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期2正弦、余弦函数的周期性正弦函数 ysin x(xR)和余弦函数 ycos x(xR)都是周期函数，2 k( kZ，且k0)都是它们的周期最小正周期为 2.化解疑难细解周期函数(1)一定要强调是对定义域内的每一个值都有 f(x T) f(x)成立，即 x 的任意性，否则不能说 y f(x)是周期函数(2)并非所有周期函数都有最小正周期例如，对于常数函数 f(x) c(c 为常数， xR)，所有非零实数 T 都是它的周期，最小正数不存在，所以常数函数没有最小正周期(3)在周期函数 y f(x)中，若 x D，则 x nT D(nZ)
3、，从而要求周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界.正弦、余弦函数的奇偶性提出问题问题 1：正弦曲线、余弦曲线各有怎样的对称性？提示：正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于 y 轴对称- 2 -问题 2：诱导公式 sin( x)sin x，cos( x)cos x 体现了函数的什么性质？提示：奇偶性导入新知正弦、余弦函数的奇偶性正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数化解疑难函数 y Asin(x )(A 0)或 y Acos(x )(A 0)奇偶性的判断方法由于函数 y Asin x (A 0)是奇函数， y Acos x (A 0)是偶函数，因此判断函数 y Asin(x )(A 0)或 y Aco
4、s(x )(A 0)是否具备奇偶性，关键是看它们能否通过诱导公式转化为 y Asin x (A 0)或 y Acos x (A 0)函数的周期例 1求下列三角函数的周期：(1)y3sin x， xR；(2)ycos 2 x， xR；(3)ysin ， xR；(13x 4)(4)y|cos x|， xR.解(1)因为 3sin(x2)3sin x，由周期函数的定义知， y3sin x 的周期为 2.(2)因为 cos2(x)cos(2 x2)cos 2x，由周期函数的定义知， ycos 2x 的周期为 .(3)因为 sin sin x213 x 6 4 13 4sin ，(13x 4)由周期函数
5、的定义知， ysin 的周期为 6.(13x 4)(4)y|cos x|的图象如图(实线部分)所示，由图象可知， y|cos x|的周期为 .类题通法求函数最小正周期的常用方法- 3 -求三角函数的周期，一般有两种方法：公式法，即将函数化为 y Asin(x ) b或 y Acos(x ) b 的形式，再利用 T 求得；图象法，利用变换的方法或作出2| |函数的图象，通过观察得到最小正周期活学活用求下列函数的最小正周期：(1)y3sin ；(2) ycos| x|.( x2 3)答案：(1)4(2)2三角函数的奇偶性例 2(1)函数 f(x) sin 2x 的奇偶性为()2A奇函数B偶函数C既
6、是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数(2)判断函数 f(x)sin 的奇偶性(34x 32)解析(1)(1)A(2) f(x)sin cos x，(34x 32) 34 f( x)cos cos x，(34x) 34函数 f(x)sin 为偶函数(34x 32)类题通法与三角函数奇偶性有关的结论(1)要使 y Asin(x )(A 0)为奇函数，则 k( kZ)；(2)要使 y Asin(x )(A 0)为偶函数，则 k (kZ)； 2(3)要使 y Acos(x )(A 0)为奇函数，则 k (kZ)； 2(4)要使 y Acos(x )(A 0)为偶函数，则 k( kZ)活学活用1函数 yco
7、s 的奇偶性是()(x2 2)A奇函数 B偶函数- 4 -C非奇非偶函数 D既是奇函数也是偶函数答案：A2若函数 ysin( x )(0 )是 R 上的偶函数，则 等于()A0B. C. D 4 2答案：C三角函数的奇偶性与周期性的应用例 3已知函数 f(x)既是奇函数又是周期函数，若 f(x)的最小正周期为 ，且当 x时， f(x)sin x，则 f 的值为()( 2， 0 ( 53 )A B.12 12C D.32 32答案D类题通法解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法利用函数的周期性，可以把 x nT(nZ)的函数值转化为 x 的函数值利用奇偶性，可以找到 x 与 x 的函数值的关
8、系，从而可解决求值问题活学活用已知 f(x)是以 为周期的偶函数且 x 时， f(x)1sin x，求 x0， 2时， f(x)的解析式52， 3 答案： f(x)1sin x， x 52， 3 4.三 角 函 数 周 期 性 的 应 用 误 区典例函数 y3sin 的最小正周期是 ，则 a_.(ax 6)解析 ，| a|2， a2.2|a|答案2易错防范- 5 -1函数 y Asin(x )的最小正周期为 ，若忽视这一点，则易得出 a2 的错误2| |答案2对于函数 y Asin(x )或 y Acos(x )(A， ， 是常数， A0， 0)，T .2| |成功破障函数 y2cos 的最小
9、正周期为 4，则 _.( 3 x)答案：12随堂即时演练1函数 ycos 的奇偶性为()(32 x)A奇函数 B偶函数C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数答案：A2函数 f(x)7sin 是()(23x 152 )A周期为 3 的偶函数B周期为 2 的奇函数C周期为 3 的奇函数D周期为 的偶函数43答案：A3 f(x)sin xcos x 是_(填“奇”或“偶”)函数答案：奇4函数 ycos 的最小正周期是_ 1 x 2答案：45求 y|sin x|cos x|的最小正周期，并判断其奇偶性答案：最小正周期为 ；偶函数 2课时达标检测一、选择题- 6 -1(陕西高考)函数 f(x)cos 的
10、最小正周期是()(2x 4)A. B 2C2 D4答案：B2函数 y4sin(2 x)的图象关于()A x 轴对称 B原点对称C y 轴对称 D直线 x 对称 2答案：B3已知函数 f(x)sin 1，则下列命题正确的是()( x 2)A f(x)是周期为 1 的奇函数B f(x)是周期为 2 的偶函数C f(x)是周期为 1 的非奇非偶函数D f(x)是周期为 2 的非奇非偶函数答案：B4已知 aR，函数 f(x)sin x| a|， xR 为奇函数，则 a 等于()A0 B1C1 D1答案：A5函数 ycos (k0)的最小正周期不大于 2，则正整数 k 的最小值应是()(k4x 3)A1
11、0 B11C12 D13答案：D二、填空题6函数 f(x)sin ( 0)的周期为 ，则 _.( x 4) 4答案：87函数 f(x) 的奇偶性为_1 sin x cos2x1 sin x答案：非奇非偶函数8若函数 f(x)的定义域为 R，最小正周期为 ，且满足 f(x)Error!则32- 7 -f _.(154 )答案：22三、解答题9已知函数 y sin x |sin x|.12 12(1)画出函数的简图(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期解：(1) y sin x |sin x|12 12Error!图象如图所示：(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是 2.10设有函数 f
12、(x) asin 和函数 g(x) bcos (a0， b0， k0)，若它(kx 3) (2kx 6)们的最小正周期之和为 ，且 f g ， f g 1，求这两个函数的解析32 ( 2) ( 2) ( 4) 3( 4)式解： f(x)和 g(x)的最小正周期和为 ，32 ，解得 k2.2k 22k 32 f g ，( 2) ( 2) asin bcos ，(2 2 3) (4 2 6)即 asin bcos .( 3) (2 6) a b，即 a b.32 32又 f g 1，( 4) 3( 4)则有 asin bcos 1， 6 3 56即 a b1.12 32- 8 -由解得 a b1，
13、 f(x)sin ， g(x)cos .(2x 3) (4x 6)11已知函数 y5cos (其中 kN)，对任意实数 a，在区间 a， a3上(2k 13 x 6)要使函数值 出现的次数不少于 4 次且不多于 8 次，求 k 的值54解：由 5cos ，(2k 13 x 6) 54得 cos .(2k 13 x 6) 14函数 ycos x 在每个周期内出现函数值 有两次，而区间 a， a3长度为 3，为了使14长度为 3 的区间内出现函数值 不少于 4 次且不多于 8 次，必须使 3 不小于 2 个周期长度且14不大于 4 个周期长度即 2 3，且 4 3.22k 13 22k 13 k .又 kN，故 k2,3.32 72
