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1、基于分层 Copula 的 CDS 定价研究 郁农欣 李晋枝 中央民族大学理学院 摘 要： 本文研究了基于双边交易对手风险的信用违约互换 (CDS) 的定价问题, 建立了以分层 Copula 为核心的 CDS 定价公式.分析了不同变量间违约相关性变化对CDS 票息率的影响, 并且通过与一般多元 copula 模型进行比较, 展示了分层Copula 在刻画多变量不同违约相关性情况下的优势, 对如何建立更合理的 CDS定价公式进行一定的探究.关键词： 信用违约互换; 双边交易对手风险; 分层 Copula; 违约相关性; 作者简介：郁农欣 (1993-) , 男 (汉族) , 江西吉安人, 中央民
2、族大学理学院在读硕士研究生, 研究方向:金融统计.作者简介：李晋枝 (1974-) , 女 (汉族) , 山西清徐人, 中央民族大学理学院副教授, 博士, 硕士生导师, 研究方向:金融统计.收稿日期：2017-02-27基金：中央民族大学自主科研项目 (No.2016LXY09) ;中央民族大学一流大学与一流学科建设过渡经费专项资金CDS Pricing Based on Hierarchical CopulaYU Nong-xin LI Jin-zhi School of Science, Minzu University of China; Abstract： By studying a
3、pricing problem about credit default swaps based on bilateral counterparty risk, we construct a CDS pricing equation with hierarchical copula. We analyse the variation of CDS spread when dierent variables default correlation has been changed; and compare with general multivariate copula. Then we sho
4、w hierarchical copula is better in capturing dierent default correlation for multivariate, and makes some attempts to construct a fairly and reasonable CDS pricing equation.Keyword： credit default swaps; bilateral counterparty risk; default correlation; hierarchical copula; Received： 2017-02-27引言信用衍
5、生品作为一种金融工具为投资者在投资过程中遇到的信用风险提供了一种有效的对冲工具.在 2008 年之前, 信用衍生品曾经有过一段狂野发展的时期, 但由于监管不到位、投机行为猖獗等多种原因, 造成信用衍生品市场的失控, 继而引发了次贷危机.在金融危机之后, 各国对信用衍生品的监管日益加强, 投资者也逐步趋于理性, 如何合理的对信用衍生品进行估值成为了学者们关心得主要问题.本文以信用衍生品中占比最大的信用违约互换 (CDS) 为研究对象, 讨论在信用不完美假设下如何更精确的对 CDS 进行定价.在研究信用衍生品的定价问题时, 主要有两种方法:结构化方法和简约化方法.本文是基于简约化方法对 CDS 的
6、定价问题进行研究.简约化方法又被称为强度模型方法, 即它采用强度为 (t) 的 Poisson 分布来反映交易各方的违约事件发生情况.对比结构化方法, 它更加灵活和易于处理, 主要通过数学模型来描述问题, 而不需要涉及公司财务方面的知识.简约化模型的 CDS 定价, 已经有不少学者进行了研究, Hull 和 White1,2首先对 CDS 估值中交易对手风险的影响进行了研究, 对无交易对手风险和有交易对手风险的情况进行了分析.在研究中发现, CDS 的信用事件并不是独立的, 参考资产和交易双方之间存在关联违约, 因此对违约相关性的研究成为 CDS 估值的核心问题.Li3提出使用 Copula
7、函数来刻画 CDS 中的违约相关性, 这是 Copula 方法在信用衍生品估值中的首次尝试.之后不断有学者尝试使用 Copula 方法对 CDS 定价进行研究.本文在考虑双边交易对手风险的情况下, 使用分层 Copula 来刻画参考资产、CDS 卖方和 CDS 买方的违约相关性.相比较普通的多元 Copula 函数, 分层Copula 在构建的过程中, 能够更灵活的对变量进行组合, 选择合适的 Copula连接函数进行拟合, 逐步分层构建出新的 Copula 函数, 从而弥补普通多元Copula 函数只能使用一个 Copula 函数的缺陷.正文分为 4 节, 第 1 节介绍分层Copula 函
8、数的基本概念;第 2 节介绍基于双边交易对手风险的 CDS 定价模型;第3 节是利用蒙特卡洛模拟对 CDS 定价进行数值模拟;第 4 节为结论.1 分层 Copula 的基本概念Copula 函数由 Sklar 于 1959 年首先提出, 但直到 20 世纪 90 年代才开始大量应用于金融领域.Nelsen4对 Copula 函数的基本性质做了比较全面的介绍, Cherubini, Mulinacci, Gobbi 等5对 copula 方法在金融中的应用进行了总结.通过总结前人的研究, 我们能给出分层 Copula 的一个基本概念:定义 2.1 函数 C (L, N) =CL, 1 (CL-
9、1, 1, , CL-1, NL-1) 满足0, 10, 1, 其中 N 表示总变量个数, C L, NL表示在第 L 层的第 NL个变量;且对任意 L0 和 NL0, 函数 CL, NL都是一个 copula 函数, 则称函数 C (L, N) 是一个 N 元 L 层分层Copula.很容易发现, 关于分层 Copula 的定义其实是一种递归, 而研究者最早是使用Archimedean copula 来实现的.根据 Savu 和 Trede6的研究, 分层 Copula 对于每层的 copula 函数并不限制其种类和参数, 所以可以用不同类型的 copula例如 Guassian copul
10、a、t copula、Archimedean copula 来构造, 模型成立的条件是每一层函数都能达到 copula 函数成立的要求, 即在建立一层函数模型后需要对其进行检验.本文主要使用 Archimedean copula 构造的分层 Copula 模型HAC 模型来展示分层 Copula 的优势.定义 2.2 函数 C:0, 10, 1满足且 (1) =0, 同时逆函数 满足就称 C 为 d 维 Archimedean copula 函数, 称 为 copula 的生成元.如果 (0) =, 那么我们就说 是一个严格生成元, 其得到的 copula 被称为严格 Archimedean
11、copula.由式 (1) 得到的 Archimedean copula 函数具有以下代数性质:定理 2.34C 是由生成元 生成的 Archimedean copula.那么1.C 是对称的.例:C (u 1, , ud) =C (u (1) , , u (d) ) , (1) , , (d) 是 1, , d 的排列2.C 是可结合的.例:对所有 u1, u2, u30, 1成立.同样的在高维情况下也是成立的.3.如果 c0 是一个常数, 那么 c 还是 C 的一个生成元.在对 Archimedean copula 有了基本的了解后, 我们介绍分层 Archimedean copula 的
12、概念.HAC 模型就是在每一层选择 Archimedean copula 对变量进行建模, 再将得到的 copula 函数代入下一层, 最终在最顶层形成一个关于均匀分布随机变量 U1, , Ud的联合分布的分层 Archimedean copula.图 1 给出了一个6 维分层 Archimedean copula 的结构示意图, 通过式 (1) 可以给出图 1 中分层 Archimedean copula 的函数生成形式:图 1 6 维分层 Archimedean copula 的结构 Fig.1 The structure of six-dimension hierarchical Arc
13、himedean copula 下载原图另外 Savu 和 Trede6指出, 当所有生成元都是完全单调的且满足式 (2) , 那么 C (2, 6) 就是一个分层 Archimedean copula.如果三个生成元 1, 1, 1, 2, 2, 1都是 Gumbel 或者 Clayton 类型, 那么它们的参数只要满足 2, 1 1, 1和 2, 1 1, 2, 它们一定构成一个 HAC 模型.但是当生成元属于不同族的Archimedean copula 时, 需要考虑到不同 copula 族的相容性, 例如 Gumbel 和Clayton 的生成元在分层模型中就是不相容的, 更详细的内容
14、可以参考Hofert7.对于定理 2.3 中 Archimedean copula 的代数性质, 分层Archimedean copula 只有在同一层时满足交换律, 所以是部分可交换的;结合律是否成立考虑分层 Archimedean copula 选择的 copula 类型和参数不同视情况而定.相比较于一般的多元 copula 函数, 分层 Copula 能够对变量进行更加灵活的处理, 允许各层使用不同的参数, 甚至是不同类型的 Copula 函数, 所以在处理多个变量的问题时, 使用分层 copula 能够更好的刻画变量间的相关结构, 使得对变量样本数据的拟合效果达到最好.2 基于双边交易
15、对手风险的 CDS 定价信用违约互换 (CDS) 是一种信用风险交易和转移的金融工具, CDS 的买方 A 为了避免在持有参考资产 C 时受到信用风险而遭受损失, 向 CDS 卖方 B 购买 CDS合约, 定期支付名义本金的一定基点数作为保费, 在参考资产发生信用事件时获得一定的赔偿, 如果在合约期内未参考资产未发生信用事件, 则合约在到期日自然终止, 不发生赔付行为.CDS 的定价其实就是寻找一个交易双方都能够接受的公平价格, 所以在定价过程中除了考虑参考资产的违约行为, 还需要考虑交易双方可能发生的违约情况, 也就是考虑存在双边交易对手风险.所以我们将CDS 的价格定义为风险中性概率测度下
16、 CDS 买方支付款贴现后的条件期望值.在简约化方法中, 违约事件使用违约强度为 (t) 的 Poisson 分布来表示, 当 Poisson 分布发生第一次跳跃时认为发生违约.我们用随机变量 来表示违约停时, 所以合约参与方在时刻 t 的生存函数 S (t) 可以表示为在时刻 t 的违约概率为:知道了给定违约强度的违约概率 F 后, 可以根据式 (4) 计算出违约停时 , 对于多个边缘违约分布, 我们利用 Copula 函数将其连接起来, 构成一个多变量的联合分布 F (t1, , tn) =P ( 1t 1, , nt n) =C (F (t1) , , F (tn) ) .当分析值从 0 跳跃到 1 时, 即资产从未违约跳跃至违约状态.本文中计算 Copula 函数的参数主要通过随机变量的 Kendall 秩相关系数来实现, 因为其能够反映出随机变
