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1、第 1 页 共 4 页8矩阵多项式与多项式矩阵设 A是 n阶阵，则为矩阵 A的特征多项式事实上， 因此有nnaaEf 11)( L一、 Hamilton-Cayley Th（哈密顿开莱）Th2.每个 n阶矩阵 A，都是其特征多项式的根，即（矩阵）011aAnnL注：该定理旨在用于：当一个 n阶矩阵的多项式次数高于 n次时，则可用该定理将它化为次数小于 n的多项式来计算。eg1.设 试计算012 EAA432)(2458解： A的特征多项式为)(23Ef取多项式 42458)()192(3 rf余项 1074)(r由上定理 )(Af 34610952813724)(EArDf2.一般地，设 是多
2、项式， A为方阵，若 ，则称 是矩阵 A的零化多项)()()(式。根据定义：每个矩阵都有其零化多项式，即 AEf)(Df3.设 A是 n阶矩阵，则的首项系数为 1的次数最小的零化多项式 ，称为 A的最小)(m多项式。显然：矩阵 A的零化多项式都被其最小多项式整除。矩阵 A的最小多项式是唯一的Th3.矩阵 A的最小多项式的根必是 A的特征根；反之， A的特征根也必是 A的最小多项式的根特征多项式与最小多项式之间的关系。由此可得，求最小多项式的一个方法：设 ，其所有不同的特征值为 ，则其特征多项式为nCs,21LkskkAEf )()()()(1第 2 页 共 4 页则 A的最小多项式必具有如下形
3、式： nsnnm)()()()21 L其中 siki ,eg2.求 的最小多项式03125A)(m解： )4()(2EfQ的最小多项式,只能是：A,或 ， , 及)4(2)(m2)()m)2()4(mf经计算可知： 是 A的最小多项式，由此可得：)()(Th4.若 A的特征多项式没有公因子，则特征多项式为最小多项式。下面定理给出了求最小多项式的另一种方法：Th5.设 A是 n阶矩阵， 是特征矩阵 的 n-1阶行列式因子，则 A的最小多项)(1nDE式为 n阶不变因子。)()(1nnEmeg3.求 的最小多项式024A3)(nD)(1n 2)(nEm二、多项式矩阵：在线性控制系统理论中有着重要的
4、应用。Df1.称 为 矩阵，或多项式矩阵，其中 是 的多项式。nmijaA)()( )(ijaDf2.若 n阶多项式矩阵 的行列式 （非零多项式） ，则称 是满秩的0)(A)(A（秩= n）或非奇异的。Df3.若 使 ，则称 是可逆的，或称 是单模矩)(BEBA)()( )()(阵，记为 。1注意：非奇异比可逆的定义要广，可逆一定非奇异，非奇异未必可逆，这里，非奇异与可逆是两个不同的概念，要与数字矩阵区别开来。第 3 页 共 4 页Th1.n阶多项式矩阵 可逆 为非零常数。)(A)(detA注： 也可象 A一样，进行初等变换。)(互换的任意两行（列）以非 0数 c( 乘以 的一行（列）)P)(
5、以多项式 乘 的某一行（列）并加到另一行（列）Df4.由单位阵 E，经过一次上述初等变换，得到的矩阵称为初等矩阵。Df5.多项式矩阵 称为与 等价，若 经过有限次初等变换能变为)(A)(B)(A)(B记为 )(亦具有自反性，对称性，传递性。Th2.对任一非零多项式矩阵 ，有：)(00)(0)()(21OrdJA其中 是 的秩， 是首项系数为 1 的多项式，且1r)(A),21()ridiL,2)(ridii L称 为 的更密斯（Smith）标准形，称 为 的不变因子。J)( )(idA同数字矩阵一样，也可以定义 的 k 阶行列式因子与初等因子。)(Aeg1.求多项式矩阵：的 Smith 标准形
6、。201)()(A解：利用初等变换可得： )(2()101)( J第 4 页 共 4 页且有 , ,1)(d)(2 )2(1)(3dTh3.若 ，则 与 必有相同的秩及相同的各阶行列式因子。BAABTh4. 与 具有相同的行列式因子，或不变因子。)()(利用多项式矩阵与 Smith 标准形等价还可以求出一个矩阵 A 的 Jordan 标准形。eg2.求： 的 Jordan 标准形。413062A解： )()1(012 JE )()()(1)(32dd初等因子为 ，故21,01JA由上述重要结论： ， 的主要理论依据。BEABJA9.矩阵的分解Th1.若阶矩阵的各阶顺序主子式不为 0，则可分解成单位下三角阵与上三角矩阵的乘积，即。若阶矩阵的各阶顺序主子式不为 0，则可分解成单位下三角阵，非奇异矩阵，单位上三角矩阵的乘积，即。实对称（正定）矩阵可分解成，其中为主对角线元素全为正的非单位下三角矩阵。实对称（正定）矩阵可分解为，其中为正交矩阵。若为矩阵，则存在酉矩阵，使。其中。若为非奇异的阶复矩阵，则存在酉矩阵和主对角线上元素全为零的上三角阵，使。（舒尔） 。若为非奇异的阶实矩阵，则存在正交矩阵和主对角线上元素全为正的上三角矩阵，使。本定理称为矩阵的分解。设求的分解。解：是非奇异的阶实矩阵。由知：存在分解。
