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1、停车问题1 问题描述如下图所示，考虑一个 10m*7m 大小的停车场，将车从如下初始位置停到停车场中任意位置，如图停车位置 14 所示。-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-10123456位 位 位 位位 位 位 位 1位 位 位 位 2位 位 位 位 3位 位 位 位 4x(m)y(m)图 1 问题描述示意图2 数学模型车的模型示意图如下所示，则可以得到如下数学模型方程式：（1）15323544152cosintaxtxxut&x2x1x3x4x5图 2 车的模型示意图3 问题求解3.1 变分法求解最优控制定义如下性能指标函数：（2）021tdftJu通过构建 Hamilt
2、onian 求解，并采用数值法求解两点边值问题。（1）停车位置 1：-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-10123456x(m)y(m)0 1 2 3 4 5 6 7 8-1-0.500.511.52t(s) x3-位位位x4-位位位位位x5-位位0 1 2 3 4 5 6 7 8-1-0.500.511.5t(s) u1u2图 3 变分法求解结果（停车位置 1）（2）停车位置 3-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-10123456x(m)y(m)0 1 2 3 4 5 6 7-1-0.500.511.52t(s) x3-位位位x4-位位位位位x5-位位0
3、1 2 3 4 5 6-1-0.500.511.52t(s) u1u2图 4 变分法求解结果（停车位置 3）3.2 动态规划法求解最优控制定义如下性能指标函数：（3）0221tdftffbJxtu采用离散动态规划求解，分别将时间、状态量、控制量、状态方程和性能指标函数离散化。分别尝试不同的离散化程度。（1 ）第一次离散化求解：运行时间（1120s）离散化后的维度为：时间（150） ；状态（4*10*2*3*6） ；控制（6*6 ）-0.12 -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.0200.511.50 20 40 60 80 100 120 140 16000.20
4、.40.60.811.21.41.61.8x3x4x50 50 100 150-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81u1u2图 5 动态规划求解结果（第一次离散化）（2 ）第二次离散化求解： 运行时间（ 70291s）离散化后的维度为：时间（30） ；状态（10*25*12*16*15） ；控制（15*15）图 6 动态规划求解结果（第二次离散化）3.3 直接打靶法求解最优控制定义如下性能指标函数：（4）021tdftJu采用 SQP 方法求解，结果如下：（1 ）停车位置 1-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-10123456x(m)y(m)0 1
5、2 3 4 5 6 7 8-0.4-0.200.20.40.60.811.21.41.6t(s) x3-位位位x4-位位位位位x5-位位0 1 2 3 4 5 6 7 8-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.6t(s) u1u2图 7 直接打靶法求解结果（停车位置 1）（2 ）停车位置 3-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-10123456x(m)y(m)0 1 2 3 4 5 6 7-0.4-0.200.20.40.60.811.21.41.6t(s) x3-位位位x4-位位位位位x5-位位0 1 2 3 4 5 6-0.8-0.6-0.4-0.200.20.4
6、0.60.8t(s) u1u2图 8 直接打靶法求解结果（停车位置 3）3.4 模型预测控制求解最优控制定义如下性能指标函数： 5 221 1:1: :12ipirefpjpRQi jq rJxkNxkNukN （5）预测步长 ，控制步长 。=0pc（1）停车位置 1-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-10123456x(m)y(m)0 2 4 6 8 10 12 14 16-0.4-0.200.20.40.60.811.21.41.6t(s) x3-位位位x4-位位位位位x5-位位0 2 4 6 8 10 12 14 16-1-0.500.511.5t(s) u1u2图 9
7、 模型预测控制求解结果（停车位置 1）（2 ）停车位置 3-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-10123456x(m)y(m)0 2 4 6 8 10 12 14-0.500.511.52t(s) x3-位位位x4-位位位位位x5-位位0 2 4 6 8 10 12 14-1-0.500.511.52t(s) u1u2图 10 模型预测控制求解结果（停车位置 3）3.5 自适应动态规划求解最优控制（尝试）首先采用经典的 HDP92 方法进行尝试，但多次试验的效果都不好；之后尝试每次用数值法求解最优的控制量，但效果依旧很差；然后采用值迭代的方法，并尝试用二次型近似值函数和神经网
8、络近似值函数两种方式，但是最后的效果依旧很差（包括一般值迭代和广义值迭代） 。 （上述方法对 PPT 上的例子，效果还不错）4 结果分析变分法求解最优控制：针对本问题这样一个相对复杂的模型，变分法无法很好地处理控制量和状态量的约束。而且在求解过程中，由于无法得到解析解，因而需要采用数值法求解一个两点边值问题。而在采用 BVP4C 求解时，需要经过多次初值选择试凑，才能保证可解，否则 BVP4C 无法求解。因此只能采用自己编写打靶法程序求解，致使最后的求解结果不是特别好（速度在刚开始一下增加到很大，即加速度过大；针对停车位置 3，路径曲线不是很光滑） 。另外，所得结果是一个开环控制。离散动态规划
9、求解最优控制：如果对时间、状态、控制的离散化程度太低，则求解结果很差；当增加离散化程度，求解结果有一定的改善，但还远远不够，需要继续提高离散化程度。然而，由于本问题状态量的维数较大，此时将导致维数灾难问题。第二次离散化求解的运行时间为 70291s（19 个多小时） ，如果继续增加离散化程度，虽然求解结果会更加好，但求解时间会更长。而针对本问题，如此长的求解时间是没有太多价值的。直接打靶法求解最优控制：相比变分法，求解结果更加好。而且可以比较好地处理控制量和状态量的约束。但是，最后时刻的控制并不是 0，而在实际停车过程中最后时刻控制应该为 0。另外，所得结果是一个开环控制。模型预测控制求解最优
10、控制：同样可以比较好地处理控制量和状态量的约束。而且相比直接打靶法求解，最后时刻的控制能缓慢变为 0。另外，所得结果是一个近似闭环控制，这在实际停车过程中是很有必要的，因为车的每一步运动都会有误差。自适应动态规划求解最优控制：我们尝试了几种自适应动态规划的方法，但效果都不是很好。针对 PPT 上的例子，这些方法的效果还可以。在这些例子中，系统最后的稳定状态都是 0，而且控制的目标是要使状态尽可能快得到 0。然后，停车问题和这些例子不太相同，并不是使车一下停到终点，状态应该缓慢变化。所以，可能这些方法不能直接应用于本问题，需要将问题和方法都进行一定的修改，但限于时间因素和自身水平有限，我们没能尝试成功。
